बोह्र-सोमरफेल्ड मॉडल

1913 के सौर मंडल बोह्र मॉडल के हाइड्रोजन परमाणु के सोमरफेल्ड एक्सटेंशन वर्णक्रमीय सूक्ष्म संरचना की व्याख्या करने के लिए अण्डाकार कक्षाओं को जोड़ते हुए दिखाते हैं।

बोहर-सोमरफेल्ड मॉडल (सोमरफेल्ड मॉडल या बोह्र-सोमरफेल्ड सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है) परमाणु नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉनों की अण्डाकार कक्षाओं की अनुमति देने के लिए बोहर मॉडल का विस्तार था। बोह्र-सोमरफेल्ड सिद्धांत का नाम डेनिश भौतिक विज्ञानी नील्स बोह्र और जर्मन भौतिक विज्ञानी अर्नोल्ड सोमरफेल्ड के नाम पर रखा गया है। सोमरफेल्ड ने तर्क दिया कि यदि इलेक्ट्रॉनिक कक्षाएँ वृत्ताकार के बजाय दीर्घवृत्त हो सकती हैं, तो चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति को छोड़कर, इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा समान होगी, जिसे अब क्वांटम अध:पतन के रूप में जाना जाता है।

बोह्र-सोमरफेल्ड मॉडल ने अतिरिक्त रेडियल क्वांटिज़ेशन स्थिति, विलियम विल्सन (अंग्रेजी अकादमिक) -अर्नोल्ड सोमरफेल्ड क्वांटिज़ेशन स्थिति के साथ बोह्र मॉडल की परिमाणित कोणीय गति की स्थिति को पूरक बनाया।

$\int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh,$

जहां प_rरेडियल संवेग कैनोनिक रूप से समन्वय क्यू के लिए संयुग्मित है, जो रेडियल स्थिति है, और टी एक पूर्ण कक्षीय अवधि है। अभिन्न क्रिया-कोण निर्देशांक की क्रिया (भौतिकी) है। पत्राचार सिद्धांत द्वारा सुझाई गई यह स्थिति, केवल एक ही संभव है, क्योंकि क्वांटम संख्याएँ स्थिरोष्म अपरिवर्तनीय हैं।

इतिहास

Main article: Old quantum theory

1913 में, नील्स बोह्र ने बाद में परिभाषित पत्राचार सिद्धांत के मूल सिद्धांतों को प्रदर्शित किया और इसका उपयोग हाइड्रोजन परमाणु के बोह्र मॉडल को तैयार करने के लिए किया, जिसने परमाणु उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की व्याख्या की। अगले कुछ वर्षों में अर्नोल्ड सोमरफेल्ड ने लोरेंत्ज़ और आइंस्टीन द्वारा पेश किए गए क्वांटम नंबरों के एडियाबेटिक इनवेरिएंट के सिद्धांत का उपयोग करते हुए स्वैच्छिक पूर्णांक प्रणालियों के लिए क्वांटम नियम का विस्तार किया। सोमरफेल्ड ने महत्वपूर्ण योगदान दिया कोणीय संवेग के z-घटक को परिमाणित करके, जिसे पुराने क्वांटम युग में अंतरिक्ष परिमाणीकरण (जर्मन: Richtungsquantelung) कहा जाता था। इसने इलेक्ट्रॉन की कक्षाओं को हलकों के बजाय दीर्घवृत्त होने की अनुमति दी, और क्वांटम अध: पतन की अवधारणा को पेश किया। इलेक्ट्रॉन स्पिन (भौतिकी) के मुद्दे को छोड़कर, सिद्धांत ने Zeeman प्रभाव की सही व्याख्या की होगी। सोमेरफेल्ड का मॉडल बोह्र की तुलना में आधुनिक क्वांटम मैकेनिकल तस्वीर के ज्यादा करीब था।

1950 के दशक में जोसेफ केलर ने आइंस्टीन की 1917 की व्याख्या का उपयोग करते हुए बोह्र-सोमरफेल्ड परिमाणीकरण को अद्यतन किया, अब आइंस्टीन-ब्रिलॉइन-केलर विधि के रूप में जाना जाता है। 1971 में, मार्टिन गुत्ज़विलर ने इस बात को ध्यान में रखा कि यह विधि केवल समाकलनीय प्रणालियों के लिए काम करती है और पथ समाकल सूत्रीकरण से एक क्या अराजकता है प्राप्त करती है।

भविष्यवाणी

सोमरफेल्ड मॉडल ने भविष्यवाणी की थी कि एक अक्ष के साथ मापा गया एक परमाणु का चुंबकीय क्षण केवल असतत मूल्यों पर ले जाएगा, एक परिणाम जो घूर्णी आक्रमण के विपरीत लगता है लेकिन जिसे स्टर्न-गेरलाच प्रयोग द्वारा पुष्टि की गई थी। क्वांटम यांत्रिकी के विकास में यह एक महत्वपूर्ण कदम था। इसने परमाणु ऊर्जा के स्तर को एक चुंबकीय क्षेत्र (ज़ीमन प्रभाव कहा जाता है) द्वारा विभाजित होने की संभावना का भी वर्णन किया। वाल्थर कोसल ने परमाणु के बोह्र-सोमरफेल्ड मॉडल पर बोह्र और सोमरफेल्ड के साथ काम किया और पहले खोल में दो इलेक्ट्रॉनों और दूसरे में आठ इलेक्ट्रॉनों को पेश किया।

मुद्दे

बोह्र-सोमरफेल्ड मॉडल मौलिक रूप से असंगत था और इसने कई विरोधाभासों को जन्म दिया। चुंबकीय क्वांटम संख्या ने xy तल के सापेक्ष कक्षीय तल के झुकाव को मापा, और यह केवल कुछ असतत मान ही ले सकता था। इसने इस स्पष्ट तथ्य का खंडन किया कि एक परमाणु को इस तरह से घुमाया जा सकता है और वह बिना किसी प्रतिबंध के निर्देशांक के सापेक्ष हो सकता है। सोमरफेल्ड परिमाणीकरण विभिन्न विहित निर्देशांकों में किया जा सकता है और कभी-कभी अलग-अलग उत्तर देता है। विकिरण सुधारों को शामिल करना मुश्किल था, क्योंकि इसके लिए एक संयुक्त विकिरण/परमाणु प्रणाली के लिए क्रिया-कोण निर्देशांक खोजने की आवश्यकता थी, जो मुश्किल है जब विकिरण को भागने की अनुमति दी जाती है। संपूर्ण सिद्धांत गैर-अभिन्न गतियों तक विस्तारित नहीं हुआ, जिसका अर्थ था कि कई प्रणालियों को सिद्धांत रूप में भी नहीं माना जा सकता था। अंत में, मॉडल को हाइड्रोजन परमाणु के आधुनिक क्वांटम-मैकेनिकल उपचार द्वारा प्रतिस्थापित किया गया, जिसे पहली बार 1925 में वोल्फगैंग पाउली द्वारा हाइजेनबर्ग के मैट्रिक्स यांत्रिकी का उपयोग करके दिया गया था। हाइड्रोजन परमाणु की वर्तमान तस्वीर श्रोडिंगर समीकरण के परमाणु ऑर्बिटल्स पर आधारित है, जिसे इरविन श्रोडिंगर ने 1926 में विकसित किया था।

हालाँकि, यह कहना नहीं है कि बोह्र-सोमरफेल्ड मॉडल अपनी सफलताओं के बिना था। बोह्र-सोमरफेल्ड मॉडल पर आधारित गणना कई अधिक जटिल परमाणु वर्णक्रमीय प्रभावों की सटीक व्याख्या करने में सक्षम थी। उदाहरण के लिए, पहले क्रम के गड़बड़ी सिद्धांत तक, बोह्र मॉडल और क्वांटम यांत्रिकी स्टार्क प्रभाव में वर्णक्रमीय रेखा विभाजन के लिए समान भविष्यवाणियां करते हैं। हालांकि, उच्च-क्रम गड़बड़ी पर, बोह्र मॉडल और क्वांटम यांत्रिकी भिन्न होते हैं, और उच्च क्षेत्र की ताकत के तहत स्टार्क प्रभाव के मापन ने बोह्र मॉडल पर क्वांटम यांत्रिकी की शुद्धता की पुष्टि करने में मदद की। इस अंतर के पीछे प्रचलित सिद्धांत इलेक्ट्रॉनों की कक्षाओं के आकार में निहित है, जो इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा स्थिति के अनुसार भिन्न होता है।

बोह्र-सोमरफेल्ड परिमाणीकरण की स्थिति आधुनिक गणित में प्रश्नों की ओर ले जाती है। सुसंगत अर्धशास्त्रीय परिमाणीकरण की स्थिति के लिए चरण स्थान पर एक निश्चित प्रकार की संरचना की आवश्यकता होती है, जो सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड्स के प्रकारों पर सामयिक सीमाएँ रखती है जिन्हें परिमाणित किया जा सकता है। विशेष रूप से, सहानुभूतिपूर्ण रूप एक चार्ल्स हर्मिट लाइन बंडल के कनेक्शन (गणित) का वक्रता रूप होना चाहिए, जिसे ज्यामितीय परिमाणीकरण कहा जाता है।

सापेक्ष कक्षा

समान ऊर्जा और परिमाणित कोणीय संवेग वाली अण्डाकार कक्षाएँ

See also: Pauli exclusion principle

अर्नोल्ड सोमरफेल्ड ने परमाणु ऊर्जा स्तरों के सापेक्षवादी समाधान निकाले।हम इस व्युत्पत्ति शुरू करेंगे विद्युत क्षमता में ऊर्जा के सापेक्ष समीकरण के साथ

$W={m_{\mathrm {0} }c^{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}$

प्रतिस्थापन के बाद $u={\frac {1}{r}}$ हम पाते हैं

${\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u$

गति के लिए $p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}$, $p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}$ और उनका अनुपात ${\frac {p_{\mathrm {r} }}{p_{\mathrm {\varphi } }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}$ गति का समीकरण है (बिनेट समीकरण देखें)

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0} }^{2}u+K$

समाधान के साथ

$u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{\mathrm {0} }\varphi$

पेरीपसिस प्रति क्रांति का कोणीय बदलाव किसके द्वारा दिया जाता है

$\varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}-1\right)\approx 4\pi ^{3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{2}h^{2}}}$

क्वांटम शर्तों के साथ

$\oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h$

और

$\oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h$

हम ऊर्जा प्राप्त करेंगे

${\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{\mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}-1$

कहाँ $\alpha$ ठीक-संरचना स्थिरांक है। यह समाधान (क्वांटम संख्या के लिए प्रतिस्थापन (बीजगणित) का उपयोग करके) डायराक समीकरण के समाधान के बराबर है। फिर भी, दोनों समाधान मेमने के बदलाव की भविष्यवाणी करने में विफल रहते हैं।

यह भी देखें

• बोह्र मॉडल
• पुराना क्वांटम सिद्धांत