वास्तविक चर का फलन

गणितीय विश्लेषण में, और ज्यामिति में अनुप्रयोग, अनुप्रयुक्त गणित, अभियांत्रिकी और प्राकृतिक विज्ञान, वास्तविक चर का फलन, ऐसा फलन (गणित) है, जिसका प्रक्षेत्र वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ होती है, या $\mathbb {R}$ का उपसमुच्चय है जिसमें सम्मिलित धनात्मक लंबाई का अंतराल होता है। अधिकांश वास्तविक फलन जिन पर विचार किया जाता है और अध्ययन किया जाता है, वे कुछ अंतराल में भिन्न होते हैं। सबसे व्यापक रूप से माने जाने वाले ऐसे फलन (गणित) वास्तविक फलन हैं, जो वास्तविक चर के वास्तविक-मान फलन हैं, अर्थात, वास्तविक चर के फलन जिसका सह-प्रक्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समूह होता है।

फिर भी, वास्तविक चर के फलन का सह-प्रक्षेत्र कोई भी समुच्चय हो सकता है। चूँकि, यह प्रायः माना जाता है कि $\mathbb {R}$-सदिश समष्टि की संरचना वास्तविक से अधिक है। अर्थात्, सह-प्रक्षेत्र यूक्लिडियन समष्टि हो सकता है, समन्वय सदिश किसी दिए गए आकार की वास्तविक संख्याओं के आव्यूहों का समूह, या $\mathbb {R}$ बीजगणित जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ या चतुष्कोण होता है। सह-प्रक्षेत्र की संरचना $\mathbb {R}$ सदिश समष्टि फलनों पर $\mathbb {R}$ सदिश समष्टि की संरचना को प्रेरित करता है। यदि सह-प्रक्षेत्र की संरचना $\mathbb {R}$-बीजगणित की है, तो यह फलन के लिए भी सही है।

वास्तविक चर के फलन की छवि (गणित) सह-प्रक्षेत्र में वक्र (गणित) है। इस संदर्भ में, फलन जो वक्र को परिभाषित करता है, वक्र का प्राचलिक समीकरण कहलाता है।

जब किसी वास्तविक चर के फलन का सह-प्रक्षेत्र परिमित-आयामी सदिश समष्टि होता है, तो फलन को वास्तविक फलनों के अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है। यह प्रायः अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है।

वास्तविक फलन

वास्तविक फलन का ग्राफ

वास्तविक फलन $\mathbb {R}$ से $\mathbb {R}$ के उपसमुच्चय से फलन (गणित) होता है, जहां $\mathbb {R}$ सदैव की तरह वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। अर्थात्, वास्तविक फलन का प्रक्षेत्र उपसमुच्चय $\mathbb {R}$ होता है, और इसका सह-प्रक्षेत्र $\mathbb {R}$ होता है। सामान्य रूप से यह माना जाता है कि प्रक्षेत्र में धनात्मक लंबाई का अंतराल (गणित) होता है।

मूलभूत उदाहरण

कई सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले वास्तविक उस फलनों के लिए, प्रक्षेत्र वास्तविक संख्याओं का पूरा समुच्चय है, और प्रक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर फलन सतत फलन और भिन्न फलन है। एक का कहना है कि ये फलन प्रत्येक स्थान परिभाषित, सतत और अलग-अलग होते हैं। यह स्थिति है:

• सतत फलनों और रैखिक फलनों (गणना) सहित सभी बहुपद फलन
• ज्या और कोज्या फलन करता है
• घातांक फलन

कुछ फलन प्रत्येक स्थान परिभाषित होते हैं, लेकिन कुछ बिंदुओं पर सतत नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए

• हैवीसाइड चरण फलन को सर्वत्र परिभाषित किया गया है, लेकिन शून्य पर सतत नहीं है।

कुछ फलन सर्वत्र परिभाषित और सतत होते हैं, लेकिन सर्वत्र अलग-अलग नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए

• निरपेक्ष मान सर्वत्र परिभाषित और सतत है, और शून्य को छोड़कर सर्वत्र अलग-अलग है।
• घनमूल सर्वत्र परिभाषित और सतत है, और शून्य को छोड़कर सर्वत्र अलग-अलग है।

कई सामान्य फलनों को सर्वत्र परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन वे सर्वत्र सतत और अलग-अलग होते हैं जहां उन्हें परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए:

• परिमेय फलन दो बहुपद फलनों का भागफल होता है, और प्रत्येक के किसी फलन के शून्य पर परिभाषित नहीं होता है।
• स्पर्शरेखा फलन ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$ के लिए परिभाषित नहीं है, जहां k कोई पूर्णांक है।
• लघुगणक फलन केवल चर के धनात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है।

कुछ फलन अपने पूरे प्रक्षेत्र में सतत होते हैं, और कुछ बिंदुओं पर अलग-अलग नहीं होते हैं। यह स्थिति है:

• वर्गमूल को केवल चर के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है, और 0 पर अवकलनीय नहीं है यह चर के सभी धनात्मक मानों के लिए अवकलनीय है।

सामान्य परिभाषा

वास्तविक चर का वास्तविक-मान फलन एक फलन (गणित) है जो निर्गम के रूप में वास्तविक संख्या लेता है, जिसे सामान्य रूप से चर (गणित) x द्वारा दर्शाया जाता है, एक और वास्तविक संख्या उत्पन्न करने के लिए, जिसका मान फलन, जिसे सामान्य रूप से f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। सरलता के लिए, इस लेख में वास्तविक चर के वास्तविक-मान फलन को केवल एक फलन कहा जाएगा। किसी भी अस्पष्टता से संरक्षित करने के लिए, होने वाले अन्य प्रकार के फलनों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाएगा।

कुछ फलनों को चर के सभी वास्तविक मानो के लिए परिभाषित किया गया है (एक कहता है कि वे सर्वत्र परिभाषित हैं), लेकिन कुछ अन्य फलनों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब चर का मान ℝ के उपसमुच्चय X में लिया जाता है, जिसका प्रक्षेत्र फलन का फलन, जिसमें सदैव धनात्मक लंबाई का अंतराल (गणित) होता है। दूसरे शब्दों में, वास्तविक चर का वास्तविक-मान फलन फलन होता है

$f:X\to \mathbb {R}$

जैसे कि इसका प्रक्षेत्र X ℝ का उपसमुच्चय है जिसमें धनात्मक लंबाई का अंतराल होता है।

चर में फलन का सरल उदाहरण हो सकता है:

$f:X\to \mathbb {R}$

$X=\{x\in \mathbb {R} \,:\,x\geq 0\}$

$f(x)={\sqrt {x}}$

जो x का वर्गमूल है।

छवि

Main article: छवि (गणित)

फलन f(x) की छवि (गणित) f के सभी मानों का समुच्चय है जब चर x, f के पूरे प्रक्षेत्र में चलता है। जुड़े हुए प्रक्षेत्र के साथ निरंतर (परिभाषा के लिए नीचे देखें) वास्तविक-मान फलन के लिए, छवि या तो अंतराल या एकल मान है। बाद के स्थितियों में, फलन स्थिर फलन है।

किसी दी गई वास्तविक संख्या y की पूर्व छवि समीकरण y = f(x) के समाधान का समुच्चय होता है।

प्रक्षेत्र

कई वास्तविक चरों के फलन का प्रक्षेत्र ℝ का उपसमुच्चय है जिसे कभी-कभी स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है। वास्तव में, यदि कोई फलन f के प्रक्षेत्र X को उप-समुच्चय Y ⊂ X तक सीमित करता है, तो उसे औपचारिक रूप से अलग फलन मिलता है, f से Y तक का प्रतिबंध, जिसे f|Y दर्शाया जाता है। व्यवहार में, f और f|Y की पहचान करना और पादांक |Y को हटाना प्रायः हानिकारक नहीं होता है।

इसके विपरीत, कभी-कभी सातत्य या विश्लेषणात्मक सातत्य द्वारा उदाहरण के लिए दिए गए फलन के प्रक्षेत्र को स्वाभाविक रूप से बढ़ाना संभव होता है। इसका तात्पर्य यह है कि यह वास्तविक चर के फलन के प्रक्षेत्र को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के योग्य नहीं है।

बीजगणितीय संरचना

अंकगणितीय संक्रियाओं को निम्नलिखित तरीके से फलनों पर प्रयुक्त किया जा सकता है:

• प्रत्येक वास्तविक संख्या r के लिए, अचर फलन $(x)\mapsto r$ सर्वत्र परिभाषित है।
• प्रत्येक वास्तविक संख्या r और प्रत्येक फलन f के लिए, फलन $rf:(x)\mapsto rf(x)$ का प्रक्षेत्र f के समान ही है या यदि r = 0 है तो सर्वत्र परिभाषित है।
• यदि f और g संबंधित प्रक्षेत्र X और Y के दो फलन हैं जैसे कि X∩Y में ℝ का विवृत उपसमुच्चय है, फिर $f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)$ और $f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)$ ऐसे फलन हैं जिनमें प्रक्षेत्र X∩Y युक्त है।

यह निम्नानुसार है कि n चर के फलन जो सर्वत्र परिभाषित हैं और n चर के फलन जो किसी दिए गए बिंदु के कुछ प्रतिवेश (गणित) में परिभाषित हैं, दोनों वास्तविक (ℝ-बीजगणित) पर क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) बनाते हैं।

कोई इसी तरह $1/f:(x)\mapsto 1/f(x)$ को परिभाषित कर सकता है, जो केवल फलन है यदि अंक का समुच्चय (x) f के प्रक्षेत्र में जैसे कि f(x) ≠ 0 में ℝ का विवृत उपसमुच्चय होता है। इस प्रतिबंध का तात्पर्य है कि उपरोक्त दो बीजगणित क्षेत्र (गणित) नहीं हैं।

सातत्य और सीमा

वास्तविक चर के वास्तविक फलन की सीमा।

19वीं शताब्दी के दूसरे भाग तक, गणितज्ञों द्वारा केवल सतत फलनों पर विचार किया जाता था। उस समय, सांस्थितिक समष्टि की औपचारिक परिभाषा और सांस्थितिक समष्टि के बीच सतत मानचित्र से अधिकतम पहले एक या कई वास्तविक चर के फलनों के लिए सातत्य की धारणा को विस्तृत किया गया था। चूंकि वास्तविक चर के सतत फलन गणित में सर्वव्यापी हैं, यह इस धारणा को सांस्थितिक समष्टि के बीच सतत मानचित्रों की सामान्य धारणा के संदर्भ के बिना परिभाषित करने के लिए उपयुक्त है।

सातत्य को परिभाषित करने के लिए, ℝके दूरी फलन पर विचार करना उपयोगी है, जो कि 2 वास्तविक चर $d(x,y)=|x-y|$ का सर्वत्र परिभाषित फलन है।

फलन f बिंदु a पर निरंतर है जो इसके प्रक्षेत्र के आंतरिक है, यदि, प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या ε के लिए, धनात्मक वास्तविक संख्या φ है जैसे कि $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ सभी x के लिए जैसे कि $d(x,a)<\varphi$ होता है। दूसरे शब्दों में, φ को इतना छोटा चयन किया जा सकता है जिससे f(a) पर केंद्रित लंबाई 2ε के अंतराल में समाहित त्रिज्या φ के अंतराल के f द्वारा छवि प्राप्त हो सके। कोई फलन संतत होता है यदि वह अपने प्रक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर संतत हो।

वास्तविक चर के वास्तविक-मान फलन की लिमिट (गणित) इस प्रकार है। मान लीजिए कि फलन f के प्रक्षेत्र X का सांस्थितिक संवरण में एक बिंदु है। फलन, f की लिमिट L होती है जब x, a की ओर प्रवृत्त होता है, निरूपित होता है

$L=\lim _{x\to a}f(x),$

यदि निम्न स्थिति संतुष्ट होती है: प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या ε > 0 के लिए, धनात्मक वास्तविक संख्या δ > 0 होती है, जिससे कि

$|f(x)-L|<\varepsilon$

प्रक्षेत्र में सभी x के लिए जैसे कि

$d(x,a)<\delta .$

यदि लिमिट सम्मिलित है, तो यह अद्वितीय है। यदि a प्रक्षेत्र के आंतरिक भाग में है, तो सीमा सम्मिलित है यदि और केवल यदि फलन a पर सतत है। इस स्थितियों में, हमारे पास है

$f(a)=\lim _{x\to a}f(x).$

जब a, f के प्रक्षेत्र की सीमा (सांस्थिति) में होता है, और यदि f की सीमा a पर होती है, तो बाद वाला सूत्र f के प्रक्षेत्र को सातत्य द्वारा विस्तारित करने की स्वीकृति देता है।

गणना

वास्तविक चर में से प्रत्येक में कई प्रकार के फलन एकत्र किए जा सकते हैं

$y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)$

x द्वारा प्राचलीकरण सदिश में:

$\mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]$

सदिश y का अवकलज i = 1, 2, ..., n के लिए fi(x) का सदिश अवकलज है:

${\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)$

चर x के संबंध में समाकलन करके स्थिति सदिश 'r' = 'r' (x) के साथ x द्वारा प्राचलीकरण समष्टि वक्र के साथ रेखा समाकलन भी कर सकते हैं:

$\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx$

जहाँ · बिंदु गुणनफल है, और x = a और x = b वक्र के प्रारंभ और अंतिम बिंदु हैं।

प्रमेय

समाकल और अवकलज की परिभाषाओं के साथ, प्रमुख प्रमेयों को तैयार किया जा सकता है, जिसमें कैलकुस (गणना) के मौलिक प्रमेय, भागों द्वारा समाकल, और टेलर के प्रमेय सम्मिलित हैं। समाकल चिन्ह के अंतर्गत प्रमेय अवकल का उपयोग करके समाकल और अवकल के संयोजन का मूल्यांकन किया जा सकता है।

अंतर्निहित फलन

वास्तविक चर का वास्तविक-मान अंतर्निहित फलन y = f(x) के रूप में नहीं लिखा गया है। इसके अतिरिक्त, मानचित्रण समष्टि ℝ² से (केवल सामान्य शून्य 0) शून्य अवयव ℝ में है :

$\phi :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}$

और

$\phi (x,y)=0$

चरों में एक समीकरण है। अंतर्निहित फलन फलनों का प्रतिनिधित्व करने की अधिक सामान्य विधि है, क्योंकि यदि:

$y=f(x)$

तो हम सदैव परिभाषित कर सकते हैं:

$\phi (x,y)=y-f(x)=0$

लेकिन इसका व्युत्क्रम सदैव संभव नहीं होता है, अर्थात सभी निहित फलनों में इस समीकरण का रूप नहीं होता है।

ℝⁿ में आयामी समष्टि वक्र

समष्टि वक्र 3D में। स्थिति सदिश r अदिश t द्वारा प्राचलीकरण है। और r = a पर लाल रेखा वक्र की स्पर्श रेखा है, और नीला तल वक्र के लम्बवत् है।

सूत्रीकरण

दिए गए फलन r₁ = r₁(t), r₂ = r₂(t), ..., r_n = r_n(t) सभी सामान्य चर t के लिए होते है, जिससे:

${\begin{aligned}r_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\quad r_{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\cdots &\quad r_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \\r_{1}=r_{1}(t)&\quad r_{2}=r_{2}(t)&\cdots &\quad r_{n}=r_{n}(t)\\\end{aligned}}$

या एक साथ लिया:

$\mathbf {r} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}\,,\quad \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$

फिर प्राचलीकरण n-टपल

$\mathbf {r} (t)=[r_{1}(t),r_{2}(t),\ldots ,r_{n}(t)]$

आयामी समष्टि वक्र का वर्णन करता है।

वक्र के लिए स्पर्श रेखा

एक बिंदु r(t = c) = a = (a₁, a₂, ..., a_n) पर कुछ स्थिर t = c के लिए, उस बिंदु पर वक्र के लिए एक-विमीय स्पर्श रेखा के समीकरण दिए गए हैं और t के संबंध में r₁(t), r₂(t), ..., r_n(t), और r के सामान्य अवकलन होता है:

${\frac {r_{1}(t)-a_{1}}{dr_{1}(t)/dt}}={\frac {r_{2}(t)-a_{2}}{dr_{2}(t)/dt}}=\cdots ={\frac {r_{n}(t)-a_{n}}{dr_{n}(t)/dt}}$

वक्र के लिए सामान्य तल

r = a' पर स्पर्श रेखा के सामान्य n-आयामी ऊनविम समतल का समीकरण है:

$(p_{1}-a_{1}){\frac {dr_{1}(t)}{dt}}+(p_{2}-a_{2}){\frac {dr_{2}(t)}{dt}}+\cdots +(p_{n}-a_{n}){\frac {dr_{n}(t)}{dt}}=0$

या बिन्दु गुणनफल के संदर्भ में:

$(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=0$

जहां p = (p₁, p₂, ..., p_n) समतल में बिंदु होता हैं, और समष्टि वक्र पर नहीं होता है।

गतिमितीय से संबंध

उत्कृष्ट कण की गतिज मात्राएँ: द्रव्यमान m, स्थिति r, वेग v त्वरण a होता है।

dr(t)/dt की भौतिक और ज्यामितीय व्याख्या पथ r(t) के साथ संचरण करने वाले बिंदु-जैसे कण का "वेग" होता है। और r को सांस्थितिक स्थिति सदिश के रूप में मानते हुए समय t द्वारा प्राचलीकरण समन्वय करता है और गति की तात्कालिक दिशा में सभी t के लिए समष्टि वक्र के लिए सदिश स्पर्शरेखा होती है। और t = c पर, समष्टि वक्र में स्पर्शरेखा सदिश dr(t)/dt|_{t = c} होता है, और t = c पर समष्टि वक्र के लिए सामान्य ऊनविम समतल भी t = c पर स्पर्शरेखा के लिए सामान्य होती है। इस समतल में कोई भी सदिश (p − a), dr(t)/dt|_{t = c} के लिए सामान्य होना चाहिए।

इसी तरह, d²r(t)/dt² कण का "त्वरण" है, और वक्रता (गणित) के त्रिज्या के साथ निर्देशित वक्र के लिए सदिश सामान्य है।

आव्यूह मान फलन

आव्यूह (गणित) एकल चर का फलन भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, 2d में घूर्णन आव्यूह:

$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$

उत्पत्ति के बारे में घूर्णन कोण का आव्यूह मान फलन है। इसी तरह, विशेष आपेक्षिकता में, शुद्ध वृद्धि के लिए लोरेंत्ज़ रूपांतरण आव्यूह घूर्णन के बिना:

$\Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

वृद्धि पैरामीटर β = v/c का फलन होता है, जिसमें v संदर्भ के फ्रेम (सतत चर) के बीच सापेक्ष वेग है, और c प्रकाश की गति होती है, और स्थिर है।

बनच और हिल्बर्ट समष्टि और क्वांटम यांत्रिकी

पूर्व खंड का सामान्यीकरण करते हुए, वास्तविक चर के फलन का निर्गमित बनच समष्टि या हिल्बर्ट समष्टि में भी हो सकता है। इन स्थानों में, विभाजन और गुणन और सीमाएँ सभी परिभाषित हैं, इसलिए अवकलज और समाकलन जैसी धारणाएँ अभी भी प्रयुक्त होती हैं। यह विशेष रूप से प्रायः क्वांटम यांत्रिकी में होता है, जहां कोई केट संकेतन या संक्रीयक (भौतिकी) का अवकलज लेता है। यह उदाहरण के लिए, सामान्य समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण में होता है:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$

जहां कोई तरंग फलन का अवकलज लेता है, जो कई अलग-अलग हिल्बर्ट समष्टि का अवयव हो सकता है।

वास्तविक चर का जटिल-मान फलन

वास्तविक चर के जटिल-मान फलन को वास्तविक-मान फलनों की परिभाषा में, सह-प्रक्षेत्र को वास्तविक संख्याओं तक सीमित करने और जटिल संख्या मानों की स्वीकृति देकर परिभाषित किया जा सकता है।

यदि f(x) इतना जटिल मान फलन होता है, इसे विघटित किया जा सकता है

f(x) = g(x) + ih(x),

जहां g और h वास्तविक-मान फलन होता हैं। दूसरे शब्दों में, जटिल मान फलनों का अध्ययन वास्तविक मान फलनों के युग्म के अध्ययन के लिए सरलता से कम हो जाता है।

वास्तविक चर के फलनों के समुच्चय की प्रमुखता

वास्तविक चर के वास्तविक-मान फलनों $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ के समुच्चय की प्रमुखता $\beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}$ होती है, जो सातत्य की (समुच्चय सिद्धांत) (अर्थात, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) की गणनीयता से दृढ़ता से बड़ा है। इस तथ्य को मौलिक अंकगणित द्वारा सरलता से सत्यापित किया जाता है:

$$\mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.$$

इसके अतिरिक्त, यदि $X$ ऐसा समुच्चय है कि $2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}$ तब समुच्चय की प्रमुखता $X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}$ भी $2^{\mathfrak {c}}$ होता है, तब से

$$2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.$$

चूँकि, सतत फलनों का समुच्चय $C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}$ दृढ़ता से छोटी गणनसंख्यात्मकता है, सातत्य की गणनसंख्यात्मकता ${\mathfrak {c}}$ होती है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि सतत फलन पूरी तरह से अपने प्रक्षेत्र के सुसंहत उपसमुच्चय पर इसके मान से निर्धारित होता है। इस प्रकार, वास्तविक पर सतत वास्तविक-मान फलनों के समुच्चय की गणनीयता तर्कसंगत चर के वास्तविक-मान फलनों के समुच्चय की गणनीयता से अधिक नहीं होता है। मूल अंकगणित द्वारा:

$$\mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.$$

दूसरी ओर, चूंकि $\mathbb {R}$ और सतत फलनों का समुच्चय $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}$ के बीच स्पष्ट आपत्ति है। जो इसका $C^{0}(\mathbb {R} )$, $\mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}$ का उपसमुच्चय बनाता है, इस तरह $\mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}$ भी धारण करना चाहिए।

यह भी देखें

• वास्तविक विश्लेषण
• कई वास्तविक चर का फलन
• जटिल विश्लेषण
• कई जटिल चर का फलन

संदर्भ

• F. Ayres, E. Mendelson (2009). Calculus. Schaum's outline series (5th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
• R. Wrede, M. R. Spiegel (2010). Advanced calculus. Schaum's outline series (3rd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-162366-7.
• N. Bourbaki (2004). Functions of a Real Variable: Elementary Theory. Springer. ISBN 354-065-340-6.

बाहरी संबंध

• Multivariable Calculus
• L. A. Talman (2007) Differentiability for Multivariable Functions