मरोड़ (बीजगणित)

For other uses, see Torsion (disambiguation).

गणित में, विशेष रूप से रिंग सिद्धांत में, एक मरोड़ तत्व एक मॉड्यूल (गणित) का एक तत्व है जो रिंग (गणित) के कुछ गैर-शून्य-विभाजक द्वारा गुणा करने पर शून्य प्राप्त करता है। एक मॉड्यूल का मरोड़ सबमॉड्यूल मरोड़ तत्वों द्वारा गठित सबमॉड्यूल है। टोरसन मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल है जो इसके टोरसन सबमॉड्यूल के बराबर होता है। एक मॉड्यूल मरोड़-मुक्त मॉड्यूल है | मरोड़-मुक्त यदि इसके मरोड़ सबमॉड्यूल में केवल शून्य तत्व शामिल है।

यह शब्दावली आमतौर पर एक डोमेन (रिंग सिद्धांत) पर मॉड्यूल के लिए उपयोग की जाती है, यानी, जब रिंग के नियमित तत्व इसके सभी गैर-शून्य तत्व होते हैं।

यह शब्दावली एबेलियन समूहों पर लागू होती है (मॉड्यूल और सबमॉड्यूल को समूह (गणित) और उपसमूह द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है)। इसकी अनुमति इस तथ्य से मिलती है कि एबेलियन समूह पूर्णांक#बीजगणितीय_गुणों की रिंग के ऊपर मॉड्यूल हैं (वास्तव में, यह शब्दावली का मूल है, जिसे मॉड्यूल में सामान्यीकृत होने से पहले एबेलियन समूहों के लिए पेश किया गया है)।

समूह (गणित) के मामले में जो गैर-अनुवांशिक है, एक मरोड़ तत्व परिमित क्रम (समूह सिद्धांत) का एक तत्व है। एबेलियन समूह मामले के विपरीत, मरोड़ तत्व सामान्य रूप से एक उपसमूह नहीं बनाते हैं।

परिभाषा

एक मॉड्यूल (बीजगणित) एम का एक तत्व एम एक रिंग (गणित) आर पर एक मॉड्यूल का एक मरोड़ तत्व कहा जाता है यदि रिंग का एक नियमित तत्व (रिंग सिद्धांत) आर मौजूद है (एक तत्व जो न तो बाएं और न ही दाएं है) शून्य भाजक) जो m को नष्ट कर देता है, अर्थात, r m = 0. एक अभिन्न डोमेन (शून्य भाजक के बिना एक क्रमविनिमेय वलय) में, प्रत्येक गैर-शून्य तत्व नियमित होता है, इसलिए एक अभिन्न डोमेन पर एक मॉड्यूल का मरोड़ तत्व अभिन्न डोमेन के एक गैर-शून्य तत्व द्वारा नष्ट कर दिया जाता है। कुछ लेखक इसे मरोड़ तत्व की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं, लेकिन यह परिभाषा अधिक सामान्य रिंगों पर अच्छी तरह से काम नहीं करती है।

रिंग आर के ऊपर एक मॉड्यूल एम को टोरसन मॉड्यूल कहा जाता है यदि इसके सभी तत्व टोरसन तत्व हैं, और टोरसन-मुक्त मॉड्यूल | टोरसन-मुक्त यदि शून्य एकमात्र टोरसन तत्व है। यदि वलय R क्रमविनिमेय है तो सभी मरोड़ तत्वों का समुच्चय M का एक उपमॉड्यूल बनाता है, जिसे M का मरोड़ उपमॉड्यूल कहा जाता है, जिसे कभी-कभी T(M) भी ​​कहा जाता है। यदि R क्रमविनिमेय नहीं है, तो T(M) एक सबमॉड्यूल हो भी सकता है और नहीं भी। इसमें दिखाया गया है (Lam 2007) कि R एक सही अयस्क स्थिति है यदि और केवल यदि T(M) सभी सही R-मॉड्यूल के लिए M का एक सबमॉड्यूल है। चूंकि सही नोथेरियन डोमेन अयस्क हैं, यह उस मामले को कवर करता है जब आर एक सही नोथेरियन अंगूठी डोमेन (रिंग सिद्धांत) है (जो क्रमविनिमेय नहीं हो सकता है)।

अधिक आम तौर पर, मान लीजिए कि M एक रिंग R के ऊपर एक मॉड्यूल है और S, R का एक गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। M के एक तत्व m को S-टोरसन तत्व कहा जाता है यदि S में एक तत्व s मौजूद है जैसे कि s, m को नष्ट कर देता है, अर्थात, s m = 0. विशेष रूप से, कोई एस के लिए रिंग आर के नियमित तत्वों का सेट ले सकता है और उपरोक्त परिभाषा को पुनर्प्राप्त कर सकता है।

समूह (गणित) G के एक तत्व g को समूह का मरोड़ तत्व कहा जाता है यदि इसका क्रम सीमित है, अर्थात, यदि कोई सकारात्मक पूर्णांक m है जैसे कि g^एम = ई, जहां ई समूह के पहचान तत्व को दर्शाता है, और जी^mg की m प्रतियों के उत्पाद को दर्शाता है। एक समूह को मरोड़ समूह कहा जाता है | मरोड़ (या आवधिक) समूह यदि उसके सभी तत्व मरोड़ तत्व हैं, और 'torsion-free group यदि इसका एकमात्र मरोड़ तत्व पहचान तत्व है। किसी भी एबेलियन समूह को पूर्णांकों के रिंग Z पर एक मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है, और इस मामले में मरोड़ की दो धारणाएँ मेल खाती हैं।

उदाहरण

1. मान लीजिए कि M किसी भी रिंग R पर एक मुक्त मॉड्यूल है। तब यह परिभाषाओं से तुरंत पता चलता है कि M मरोड़-मुक्त है (यदि रिंग R एक डोमेन नहीं है तो गैर-शून्य-विभाजकों के सेट S के संबंध में मरोड़ पर विचार किया जाता है) का आर). विशेष रूप से, कोई भी मुक्त एबेलियन समूह मरोड़-मुक्त होता है और फ़ील्ड (गणित) K पर कोई भी सदिश स्थल मरोड़-मुक्त होता है जब इसे K के मुफ़्त मॉड्यूल के रूप में देखा जाता है।
2. उदाहरण 1 के विपरीत, कोई भी परिमित समूह (एबेलियन या नहीं) आवधिक और परिमित रूप से उत्पन्न समूह है। बर्नसाइड की समस्या, इसके विपरीत, पूछती है कि क्या कोई भी सीमित रूप से उत्पन्न आवधिक समूह सीमित होना चाहिए? सामान्यतः इसका उत्तर 'नहीं' है, भले ही अवधि निश्चित हो।
3. किसी क्षेत्र के गुणक समूह के मरोड़ तत्व उसकी एकता के मूल हैं।
4. मॉड्यूलर समूह में, इकाई निर्धारक के साथ 2×2 पूर्णांक मैट्रिक्स (गणित) के समूह SL(2, 'Z') से प्राप्त 'Γ', इसके [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] को फैक्टरिंग करके, किसी भी गैर-तुच्छ मरोड़ तत्व में या तो ऑर्डर होता है दो और तत्व एस से संयुग्मन (समूह सिद्धांत) है या क्रम तीन है और तत्व एसटी से संयुग्मित है। इस मामले में, मरोड़ तत्व एक उपसमूह नहीं बनाते हैं, उदाहरण के लिए, एस · ST = T, जिसका अनंत क्रम है।
5. एबेलियन समूह 'क्यू'/'जेड', जिसमें परिमेय संख्या मॉड्यूलो 1 शामिल है, आवधिक है, अर्थात प्रत्येक तत्व का एक सीमित क्रम है। अनुरूप रूप से, एक चर में बहुपदों के वलय R = 'K'[t] पर मॉड्यूल 'K'(t)/'K'[t] शुद्ध मरोड़ है। इन दोनों उदाहरणों को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि आर एक अभिन्न डोमेन है और क्यू इसके अंशों का क्षेत्र है, तो क्यू/आर एक मरोड़ आर-मॉड्यूल है।
6. ('R'/'Z', +) का मरोड़ उपसमूह ('Q'/'Z', +) है जबकि समूह ('R', +) और ('Z', +) मरोड़-मुक्त हैं . एक उपसमूह द्वारा मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह का भागफल ठीक उसी समय मरोड़-मुक्त होता है जब उपसमूह एक शुद्ध उपसमूह होता है।
7. एक रैखिक संचालिका 'L' पर विचार करें जो एक आयाम (वेक्टर समष्टि)|परिमित-आयामी सदिश समष्टि 'V' पर कार्य कर रहा है। यदि हम 'V' को प्राकृतिक तरीके से 'F'['L']-मॉड्यूल के रूप में देखते हैं, तो (कई चीजों के परिणामस्वरूप, या तो केवल परिमित-आयामीता के द्वारा या केली-हैमिल्टन प्रमेय के परिणाम के रूप में), 'वी' एक मरोड़ 'एफ'['एल']-मॉड्यूल है।

एक प्रमुख आदर्श डोमेन का मामला

मान लीजिए कि आर एक (कम्यूटिव) प्रमुख आदर्श डोमेन है और एम एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है | अंतिम रूप से उत्पन्न आर-मॉड्यूल है। फिर एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय समाकृतिकता तक मॉड्यूल एम का विस्तृत विवरण देता है। विशेष रूप से, यह दावा करता है

$M\simeq F\oplus T(M),$

जहां एफ, परिमित मुक्त मॉड्यूल का एक मुफ्त आर-मॉड्यूल है (केवल एम पर निर्भर करता है) और टी (एम) एम का टॉर्सियन सबमॉड्यूल है। परिणाम के रूप में, आर पर कोई भी परिमित रूप से उत्पन्न टॉर्सियन-मुक्त मॉड्यूल मुफ़्त है। यह परिणाम अधिक सामान्य क्रमविनिमेय डोमेन के लिए मान्य नहीं है, यहां तक ​​कि R = 'K'[x,y], दो चर वाले बहुपदों के वलय के लिए भी। गैर-परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए, उपरोक्त प्रत्यक्ष अपघटन सत्य नहीं है। एबेलियन समूह का मरोड़ उपसमूह इसका प्रत्यक्ष सारांश नहीं हो सकता है।

मरोड़ और स्थानीयकरण

मान लें कि R एक क्रमविनिमेय डोमेन है और M एक R-मॉड्यूल है। मान लीजिए Q रिंग R का भागफल क्षेत्र है। तब कोई Q-मॉड्यूल पर विचार कर सकता है

$M_{Q}=M\otimes _{R}Q,$

अदिश के विस्तार द्वारा M से प्राप्त किया गया। चूँकि Q एक फ़ील्ड है, Q के ऊपर एक मॉड्यूल एक वेक्टर स्पेस है, संभवतः अनंत-आयामी। एम से एम तक एबेलियन समूहों की एक विहित समूह समरूपता है_Q, और इस समरूपता का कर्नेल (बीजगणित) वास्तव में मरोड़ सबमॉड्यूल टी (एम) है। अधिक आम तौर पर, यदि एस रिंग आर का गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है, तो हम आर-मॉड्यूल एम के एक मॉड्यूल के स्थानीयकरण पर विचार कर सकते हैं,

$M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},$

जो रिंग आर के स्थानीयकरण पर एक मॉड्यूल है_S. एम से एम तक एक विहित मानचित्र है_S, जिसका कर्नेल बिल्कुल एम का एस-टोरसन सबमॉड्यूल है। इस प्रकार एम के मरोड़ उपमॉड्यूल को स्थानीयकरण में गायब होने वाले तत्वों के सेट के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। अयस्क की स्थिति को संतुष्ट करने वाले रिंगों के लिए गैर-कम्यूटेटिव सेटिंग में, या अधिक सामान्यतः किसी भी अयस्क की स्थिति # गुणक सेट एस और दाएं आर-मॉड्यूल एम के लिए एक ही व्याख्या जारी रहती है।

घरेलू बीजगणित में मरोड़

समजात बीजगणित में मरोड़ की अवधारणा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। यदि एम और एन एक क्रमविनिमेय डोमेन आर पर दो मॉड्यूल हैं (उदाहरण के लिए, दो एबेलियन समूह, जब आर = 'जेड'), टोर काम करता है आर-मॉड्यूल टोर का एक परिवार उत्पन्न करते हैं_i(एम,एन). आर-मॉड्यूल एम का एस-टोरसन टोर के लिए कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक है^आर₁(श्री_S/आर) टोर के लंबे सटीक अनुक्रम द्वारा^आर_*: संक्षिप्त सटीक क्रम $0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0$ आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम उत्पन्न होता है $0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}$, इस तरह $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)$ एम के स्थानीयकरण मानचित्र का कर्नेल है। प्रतीक Tor फ़ंक्शनलर्स को निरूपित करना बीजगणितीय मरोड़ के साथ इस संबंध को दर्शाता है। यही परिणाम गैर-कम्यूटेटिव रिंगों के साथ-साथ तब तक लागू रहता है जब तक सेट एस एक अयस्क स्थिति#गुणक सेट है।

एबेलियन किस्में

जटिल संख्याओं पर एक अण्डाकार वक्र का 4-मरोड़ वाला उपसमूह।

एबेलियन किस्म के मरोड़ तत्व मरोड़ बिंदु या, पुरानी शब्दावली में, विभाजन बिंदु हैं। अण्डाकार वक्रों पर उनकी गणना विभाजन बहुपद के रूप में की जा सकती है।

यह भी देखें

• विश्लेषणात्मक मरोड़
• अंकगणितीय गतिशीलता
• फ्लैट मॉड्यूल
• विनाशक (रिंग सिद्धांत)
• एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण
• एबेलियन समूह की रैंक
• रे-गायक मरोड़
• मरोड़ मुक्त एबेलियन समूह
• सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय

स्रोत

• अर्नस्ट कुंज, क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति का परिचय, बिरखौसर 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• इरविंग कपलान्स्की, अनंत एबेलियन समूह, मिशिगन विश्वविद्यालय, 1954।
• Michiel Hazewinkel (2001) [1994], "Torsion submodule", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Lam, Tsit Yuen (2007), Exercises in modules and rings, Problem Books in Mathematics, New York: Springer, pp. xviii+412, doi:10.1007/978-0-387-48899-8, ISBN 978-0-387-98850-4, MR 2278849
• Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, p. 446, ISBN 978-0-387-72828-5.

श्रेणी:एबेलियन समूह सिद्धांत श्रेणी:मॉड्यूल सिद्धांत श्रेणी:होमोलॉजिकल बीजगणित