सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर

गणित में, एक सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर (एसआई) हैमिल्टनियन प्रणाली के लिए एक संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण है। सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर्स ज्यामितीय इंटीग्रेटर्स के उपवर्ग का निर्माण करते हैं, जो परिभाषा के अनुसार, विहित परिवर्तन हैं। इनका व्यापक रूप से गैर-रेखीय गतिशीलता, आणविक गतिशीलता, असतत तत्व विधियों, कण त्वरक, प्लाज्मा भौतिकी, क्वांटम भौतिकी और आकाशीय यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है।

परिचय

सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर्स को हैमिल्टन के समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो पढ़ता है

${\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\quad {\mbox{and}}\quad {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},$

कहाँ $q$ स्थिति निर्देशांक को दर्शाता है, $p$ गति समन्वय करती है, और $H$ हैमिल्टनियन है. स्थिति और संवेग निर्देशांक का सेट $(q,p)$ विहित निर्देशांक कहलाते हैं। (अधिक पृष्ठभूमि के लिए हैमिल्टनियन यांत्रिकी देखें।)

हैमिल्टन के समीकरणों का समय विकास एक लक्षणरूपता है, जिसका अर्थ है कि यह सिंपलेक्टिक 2-प्रपत्र को संरक्षित करता है $dp\wedge dq$. एक संख्यात्मक योजना एक सिम्प्लेक्टिक इंटीग्रेटर है यदि यह इस 2-फॉर्म को भी संरक्षित करती है।

सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर्स के पास संरक्षित मात्रा के रूप में एक हैमिल्टनियन भी हो सकता है, जो मूल से थोड़ा गड़बड़ी सिद्धांत है (केवल साधारण मामलों के एक छोटे वर्ग के लिए सच है)। इन फायदों के आधार पर, एसआई योजना को केपलर समस्या से लेकर आणविक गतिशीलता में शास्त्रीय और अर्ध-शास्त्रीय सिमुलेशन तक अराजक हैमिल्टनियन प्रणालियों के दीर्घकालिक विकास की गणना के लिए व्यापक रूप से लागू किया गया है।

अधिकांश सामान्य संख्यात्मक विधियाँ, जैसे कि आदिम यूलर एकीकरण और शास्त्रीय रनगे-कुट्टा विधियाँ | रनगे-कुट्टा योजना, सिम्प्लेक्टिक इंटीग्रेटर्स नहीं हैं।

सिम्प्लेक्टिक एल्गोरिदम के निर्माण के लिए तरीके

वियोज्य हैमिल्टनवासियों के लिए विभाजन विधियाँ

सिम्प्लेक्टिक इंटीग्रेटर्स का एक व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला वर्ग विभाजन विधियों द्वारा बनता है।

मान लें कि हैमिल्टनियन अलग करने योग्य है, जिसका अर्थ है कि इसे फॉर्म में लिखा जा सकता है

$H(p,q)=T(p)+V(q).$

(1)

हैमिल्टनियन यांत्रिकी में ऐसा अक्सर होता है, जिसमें T गतिज ऊर्जा है और V स्थितिज ऊर्जा है।

सांकेतिक सरलता के लिए, आइए हम प्रतीक का परिचय दें $z=(q,p)$ विहित निर्देशांक को निरूपित करने के लिए जिसमें स्थिति और संवेग दोनों निर्देशांक शामिल हैं। फिर, परिचय में दिए गए हैमिल्टन के समीकरणों के सेट को एक ही अभिव्यक्ति में व्यक्त किया जा सकता है

${\dot {z}}=\{z,H(z)\},$

(2)

कहाँ $\{\cdot ,\cdot \}$ एक पॉइसन ब्रैकेट है। इसके अलावा, एक ऑपरेटर का परिचय देकर $D_{H}\cdot =\{\cdot ,H\}$, जो हैमिल्टनियन यांत्रिकी#गणितीय औपचारिकता के साथ ऑपरेंड का पॉइसन ब्रैकेट लौटाता है, हैमिल्टन के समीकरण की अभिव्यक्ति को और अधिक सरल बनाया जा सकता है

${\dot {z}}=D_{H}z.$

समीकरणों के इस सेट का औपचारिक समाधान मैट्रिक्स घातांक के रूप में दिया गया है:

$z(\tau )=\exp(\tau D_{H})z(0).$

(3)

की सकारात्मकता पर ध्यान दें $\tau D_{H}$ मैट्रिक्स घातांक में.

जब हैमिल्टनियन के पास समीकरण का रूप है (1), समाधान (3) के बराबर है

$z(\tau )=\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]z(0).$

(4)

एसआई योजना समय-विकास ऑपरेटर का अनुमान लगाती है $\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]$ औपचारिक समाधान में (4) ऑपरेटरों के एक उत्पाद द्वारा

${\begin{aligned}\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]&=\prod _{i=1}^{k}\exp(c_{i}\tau D_{T})\exp(d_{i}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1})\\&=\exp(c_{1}\tau D_{T})\exp(d_{1}\tau D_{V})\dots \exp(c_{k}\tau D_{T})\exp(d_{k}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1}),\end{aligned}}$

(5)

कहाँ $c_{i}$ और $d_{i}$ वास्तविक संख्याएँ हैं, $k$ एक पूर्णांक है, जिसे इंटीग्रेटर का क्रम कहा जाता है, और कहां ${\textstyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{k}d_{i}=1}$. ध्यान दें कि प्रत्येक ऑपरेटर $\exp(c_{i}\tau D_{T})$ और $\exp(d_{i}\tau D_{V})$ एक लक्षणात्मकता प्रदान करता है, इसलिए उनका उत्पाद दाईं ओर दिखाई देता है (5) एक प्रतीकात्मक मानचित्र भी बनाता है।

तब से $D_{T}^{2}z=\{\{z,T\},T\}=\{({\dot {q}},0),T\}=(0,0)$ सभी के लिए $z$, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

$D_{T}^{2}=0.$

(6)

टेलर श्रृंखला का उपयोग करके, $\exp(aD_{T})$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$\exp(aD_{T})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(aD_{T})^{n}}{n!}},$

(7)

कहाँ $a$ एक मनमाना वास्तविक संख्या है. संयोजन (6) और (7), और उसी तर्क का उपयोग करके $D_{V}$ जैसा कि हमने उपयोग किया है $D_{T}$, हम पाते हैं

${\begin{cases}\exp(aD_{T})&=1+aD_{T},\\\exp(aD_{V})&=1+aD_{V}.\end{cases}}$

(8)

ठोस शब्दों में, $\exp(c_{i}\tau D_{T})$ मैपिंग देता है

${\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q+\tau c_{i}{\frac {\partial T}{\partial p}}(p)\\p\end{pmatrix}},$

और $\exp(d_{i}\tau D_{V})$ देता है

${\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q\\p-\tau d_{i}{\frac {\partial V}{\partial q}}(q)\\\end{pmatrix}}.$

ध्यान दें कि ये दोनों मानचित्र व्यावहारिक रूप से गणना योग्य हैं।

उदाहरण

समीकरणों का सरलीकृत रूप (निष्पादित क्रम में) हैं:

$q_{i+1}=q_{i}+c_{i}{\frac {p_{i+1}}{m}}t$

$p_{i+1}=p_{i}+d_{i}F(q_{i})t$

लैग्रेंजियन निर्देशांक में परिवर्तित होने के बाद:

$x_{i+1}=x_{i}+c_{i}v_{i+1}t$

$v_{i+1}=v_{i}+d_{i}a(x_{i})t$

कहाँ $F(x)$ पर बल वेक्टर है $x$, $a(x)$ पर त्वरण सदिश है $x$, और $m$ द्रव्यमान की अदिश राशि है.

कई सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर्स नीचे दिए गए हैं। उनका उपयोग करने का एक उदाहरणात्मक तरीका स्थिति वाले एक कण पर विचार करना है $q$ और गति $p$.

मानों के साथ टाइमस्टेप लागू करना $c_{1,2,3},d_{1,2,3}$ कण के लिए, निम्नलिखित कदम उठाएँ: पुनरावर्ती रूप से:

• स्थिति अद्यतन करें $i$ कण का उसके (पहले अद्यतन) वेग को जोड़कर $i$ से गुणा $c_{i}$
• वेग अद्यतन करें $i$ कण के त्वरण को इसमें जोड़कर (अद्यतन स्थिति में) गुणा किया जाता है $d_{i}$

प्रथम-क्रम का उदाहरण

सिंपलेक्टिक यूलर विधि प्रथम-क्रम इंटीग्रेटर है $k=1$ और गुणांक

$c_{1}=d_{1}=1.$

ध्यान दें कि यदि समय-प्रतिवर्तीता की आवश्यकता है तो उपरोक्त एल्गोरिदम काम नहीं करता है। एल्गोरिदम को दो भागों में लागू किया जाना है, एक सकारात्मक समय चरणों के लिए, एक नकारात्मक समय चरणों के लिए।

दूसरे क्रम का उदाहरण

वेरलेट एकीकरण दूसरे क्रम का एकीकरणकर्ता है $k=2$ और गुणांक

$c_{1}=0,\qquad c_{2}=1,\qquad d_{1}=d_{2}={\tfrac {1}{2}}.$

तब से $c_{1}=0$, उपरोक्त एल्गोरिदम समय में सममित है। एल्गोरिथ्म में 3 चरण हैं, और चरण 1 और 3 बिल्कुल समान हैं, इसलिए सकारात्मक समय संस्करण का उपयोग नकारात्मक समय के लिए किया जा सकता है।

एक तीसरे क्रम का उदाहरण

एक तृतीय-क्रम सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर (साथ $k=3$) की खोज रोनाल्ड रूथ ने 1983 में की थी। अनेक समाधानों में से एक समाधान द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}c_{1}&=1,&c_{2}&=-{\tfrac {2}{3}},&c_{3}&={\tfrac {2}{3}},\\d_{1}&=-{\tfrac {1}{24}},&d_{2}&={\tfrac {3}{4}},&d_{3}&={\tfrac {7}{24}}.\end{aligned}}$

चौथे क्रम का उदाहरण

एक चौथे क्रम का इंटीग्रेटर (साथ $k=4$) की खोज भी रूथ ने 1983 में की थी और उस समय कण-त्वरक समुदाय को निजी तौर पर वितरित किया गया था। इसका वर्णन फ़ॉरेस्ट के एक जीवंत समीक्षा लेख में किया गया था। यह चौथे क्रम का इंटीग्रेटर 1990 में फ़ॉरेस्ट और रूथ द्वारा प्रकाशित किया गया था और उसी समय के आसपास दो अन्य समूहों द्वारा स्वतंत्र रूप से इसकी खोज भी की गई थी।

${\begin{aligned}c_{1}&=c_{4}={\frac {1}{2(2-2^{1/3})}},&c_{2}&=c_{3}={\frac {1-2^{1/3}}{2(2-2^{1/3})}},\\d_{1}&=d_{3}={\frac {1}{2-2^{1/3}}},&d_{2}&=-{\frac {2^{1/3}}{2-2^{1/3}}},\quad d_{4}=0.\end{aligned}}$

इन गुणांकों को निर्धारित करने के लिए, बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। योशिदा, विशेष रूप से, उच्च-क्रम इंटीग्रेटर्स के लिए गुणांक की एक सुंदर व्युत्पत्ति देता है। बाद में, ब्लेन्स और मोआन बहुत छोटे त्रुटि स्थिरांक के साथ अलग-अलग हैमिल्टनियन के साथ सिस्टम के एकीकरण के लिए विभाजित रनगे-कुट्टा तरीकों को और विकसित किया गया।

सामान्य अविभाज्य हैमिल्टनवासियों के लिए विभाजन विधियाँ

सामान्य अविभाज्य हैमिल्टनियनों को भी स्पष्ट रूप से और सहानुभूतिपूर्वक एकीकृत किया जा सकता है।

ऐसा करने के लिए, ताओ ने एक संयम पेश किया जो ऐसी प्रणालियों के स्पष्ट विभाजन को सक्षम करने के लिए चरण स्थान की दो प्रतियों को एक साथ बांधता है। इसके बजाय विचार यह है $H(Q,P)$, एक अनुकरण करता है ${\bar {H}}(q,p,x,y)=H(q,y)+H(x,p)+\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)$, जिसका समाधान उससे सहमत है $H(Q,P)$ इस अर्थ में कि $q(t)=x(t)=Q(t),p(t)=y(t)=P(t)$.

नया हैमिल्टनियन स्पष्ट सहानुभूति एकीकरण के लिए फायदेमंद है, क्योंकि इसे तीन उप-हैमिल्टनियन के योग में विभाजित किया जा सकता है, $H_{A}=H(q,y)$, $H_{B}=H(x,p)$, और $H_{C}=\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)$. तीनों उप-हैमिल्टनियों के सटीक समाधान स्पष्ट रूप से प्राप्त किए जा सकते हैं: दोनों $H_{A},H_{B}$ समाधान बेमेल स्थिति और गति के बदलाव के अनुरूप हैं, और $H_{C}$ एक रैखिक परिवर्तन से मेल खाता है। सिस्टम को प्रतीकात्मक रूप से अनुकरण करने के लिए, कोई बस इन समाधान मानचित्रों की रचना करता है।

अनुप्रयोग

प्लाज्मा भौतिकी में

हाल के दशकों में प्लाज्मा भौतिकी में सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर एक सक्रिय शोध विषय बन गया है, क्योंकि मानक सिंपलेक्टिक तरीकों के सीधे अनुप्रयोग पेटा- से एक्सा-स्केल कंप्यूटिंग हार्डवेयर द्वारा सक्षम बड़े पैमाने पर प्लाज्मा सिमुलेशन की आवश्यकता के अनुरूप नहीं हैं। जांच के तहत भौतिकी समस्या की विशेष संरचनाओं का दोहन करते हुए विशेष सिम्पलेक्टिक एल्गोरिदम को प्रथागत रूप से डिजाइन करने की आवश्यकता है। ऐसा ही एक उदाहरण विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण की गतिशीलता है। विहित सहानुभूति संरचना के साथ, गतिकी का हैमिल्टनियन है

$$H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {A}}\right)^{2}+\phi ,$$

किसका ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$-निर्भरता और ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$-निर्भरता को अलग नहीं किया जा सकता है, और मानक स्पष्ट सहानुभूति विधियां लागू नहीं होती हैं। हालाँकि, बड़े पैमाने पर समानांतर समूहों पर बड़े पैमाने पर सिमुलेशन के लिए, स्पष्ट तरीकों को प्राथमिकता दी जाती है। इस कठिनाई को दूर करने के लिए, हम वह विशिष्ट तरीका तलाश सकते हैं ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$-निर्भरता और ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$-निर्भरता इस हैमिल्टनियन में उलझी हुई है, और केवल इस या इस प्रकार की समस्या के लिए एक सहानुभूतिपूर्ण एल्गोरिदम डिजाइन करने का प्रयास करें। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$-निर्भरता द्विघात है, इसलिए प्रथम क्रम सिंपलेक्टिक यूलर विधि अंतर्निहित है ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ वास्तव में स्पष्ट है. कैनोनिकल सिंपलेक्टिक कण-इन-सेल (पीआईसी) एल्गोरिदम में इसका उपयोग किया जाता है। उच्च क्रम की स्पष्ट विधियों के निर्माण के लिए, हम आगे ध्यान देते हैं कि ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$-निर्भरता और ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$-इसमें निर्भरता ${\textstyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})}$ उत्पाद-वियोज्य हैं, दूसरे और तीसरे क्रम के स्पष्ट सहानुभूति एल्गोरिदम का निर्माण कार्यों का उपयोग करके किया जा सकता है, और समय-निर्भर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के लिए मनमाने ढंग से उच्च-क्रम के स्पष्ट सहानुभूति इंटीग्रेटर्स का निर्माण भी रनगे-कुट्टा तकनीकों का उपयोग करके किया जा सकता है। समस्या की निम्नलिखित गैर-विहित सहानुभूति संरचना को देखना एक अधिक सुंदर और बहुमुखी विकल्प है,

$$i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH,\ \ \ \Omega =d({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {A}})\wedge d{\boldsymbol {x}},\ \ \ H={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\phi .$$

यहाँ ${\textstyle \Omega }$ एक गैर-निरंतर गैर-विहित सहानुभूतिपूर्ण रूप है। स्पष्ट या अंतर्निहित, गैर-निरंतर गैर-विहित सिम्पलेक्टिक संरचना के लिए सामान्य सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर का अस्तित्व ज्ञात नहीं है। हालाँकि, इस विशिष्ट समस्या के लिए, हे स्प्लिटिंग विधि का उपयोग करके उच्च-क्रम के स्पष्ट गैर-विहित सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर्स का एक परिवार बनाया जा सकता है। विभाजन ${\textstyle H}$ 4 भागों में,

$${\begin{aligned}H&=H_{x}+H_{y}+H_{z}+H_{\phi },\\H_{x}&={\frac {1}{2}}v_{x}^{2},\ \ H_{y}={\frac {1}{2}}v_{y}^{2},\ \ H_{z}={\frac {1}{2}}v_{z}^{2},\ \ H_{\phi }=\phi ,\end{aligned}}$$

हम आकस्मिक रूप से पाते हैं कि प्रत्येक उपप्रणाली के लिए, उदाहरणार्थ,

$$i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{x}$$

और

$$i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{\phi },$$

समाधान मानचित्र को स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है और सटीक गणना की जा सकती है। फिर विभिन्न रचनाओं का उपयोग करके स्पष्ट उच्च-क्रम गैर-विहित सहानुभूति एल्गोरिदम का निर्माण किया जा सकता है। होने देना ${\textstyle \Theta _{x},\Theta _{y},\Theta _{z}}$ और ${\textstyle \Theta _{\phi }}$ 4 उपप्रणालियों के लिए सटीक समाधान मानचित्रों को निरूपित करें। एक प्रथम-क्रम सहानुभूतिपूर्ण योजना है

$${\begin{aligned}\Theta _{1}\left(\Delta \tau \right)=\Theta _{x}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)~.\end{aligned}}$$

एक सममित द्वितीय-क्रम सहानुभूति योजना है,

$${\begin{aligned}\Theta _{2}\left(\Delta \tau \right)&=\Theta _{x}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)\\&\Theta _{z}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{y}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{x}\left(\Delta t/2\right)\!,\end{aligned}}$$

जो एक प्रथागत रूप से संशोधित स्ट्रैंग स्प्लिटिंग है। ए ${\textstyle 2(l+1)}$-वें क्रम की योजना का निर्माण a से किया जा सकता है ${\textstyle 2l}$ट्रिपल जंप की विधि का उपयोग करके -वें क्रम की योजना,

$${\begin{aligned}\Theta _{2(l+1)}(\Delta \tau )&=\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\beta _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )~,\\\alpha _{l}&=1/(2-2^{1/(2l+1)})~,\\\beta _{l}&=1-2\alpha _{l}~.\end{aligned}}$$

हे विभाजन विधि संरचना-संरक्षित ज्यामितीय कण-इन-सेल (पीआईसी) एल्गोरिदम में उपयोग की जाने वाली प्रमुख तकनीकों में से एक है।

यह भी देखें

• ऊर्जा बहाव
• मल्टीसिम्प्लेक्टिक इंटीग्रेटर
• वैरिएशनल इंटीग्रेटर
• वेरलेट एकीकरण

संदर्भ

• Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005). Simulating Hamiltonian Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-77290-7.
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006). Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (2 ed.). Springer. ISBN 978-3-540-30663-4.
• Kang, Feng; Qin, Mengzhao (2010). Symplectic geometric algorithms for Hamiltonian systems. Springer.