चरम मूल्य प्रमेय

This article is about the calculus concept. For the statistical concept, see Fisher–Tippett–Gnedenko theorem.

एक सतत कार्य $f(x)$ बंद अंतराल पर $[a,b]$ पूर्ण अधिकतम (लाल) और पूर्ण न्यूनतम (नीला) दिखा रहा है।

कलन में, चरम मान प्रमेय कहता है कि यदि एक वास्तविक-मूल्यवान फलन (गणित) $f$ परिबद्ध अंतराल पर सतत कार्य है # अंतराल अंतराल का वर्गीकरण $[a,b]$, तब $f$ अधिकतम और न्यूनतम, प्रत्येक को कम से कम एक बार प्राप्त करना चाहिए। यानी नंबर मौजूद हैं $c$ और $d$ में $[a,b]$ ऐसा है कि:

$$f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a,b]$$

चरम मूल्य प्रमेय संबंधित परिबद्धता प्रमेय की तुलना में अधिक विशिष्ट है, जो केवल एक सतत कार्य बताता है $f$ बंद अंतराल पर $[a,b]$ उस अंतराल पर परिबद्ध कार्य है; अर्थात्, वास्तविक संख्याएँ मौजूद हैं $m$ और $M$ ऐसा है कि:

$$m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].$$

यह ऐसा नहीं कहता है $M$ और $m$ अनिवार्य रूप से के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं $f$ अंतराल पर $[a,b],$ जो चरम मूल्य प्रमेय निर्धारित करता है वह भी मामला होना चाहिए।

रोले के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए चरम मूल्य प्रमेय का उपयोग किया जाता है। कार्ल वीयरस्ट्रास के कारण एक सूत्रीकरण में, इस प्रमेय में कहा गया है कि एक गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट जगह से वास्तविक संख्याओं के सबसेट तक एक निरंतर कार्य अधिकतम और न्यूनतम प्राप्त करता है।

इतिहास

चरम मूल्य प्रमेय मूल रूप से बर्नार्ड बोलजानो द्वारा 1830 के दशक में एक कार्य सिद्धांत में सिद्ध किया गया था, लेकिन कार्य 1930 तक अप्रकाशित रहा। बोलजानो के प्रमाण में यह दिखाना शामिल था कि एक बंद अंतराल पर एक निरंतर कार्य सीमित था, और फिर यह दर्शाता है कि कार्य ने एक प्राप्त किया अधिकतम और न्यूनतम मूल्य। दोनों प्रमाणों में वह शामिल था जिसे आज बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय के रूप में जाना जाता है। परिणाम भी बाद में 1860 में वीयरस्ट्रैस द्वारा खोजा गया था।

कार्य जिन पर प्रमेय लागू नहीं होता है

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि प्रमेय को लागू करने के लिए फ़ंक्शन डोमेन को क्यों बंद और बाध्य किया जाना चाहिए। प्रत्येक दिए गए अंतराल पर अधिकतम प्राप्त करने में विफल रहता है।

1. $f(x)=x$ परिभाषित किया गया $[0,\infty )$ ऊपर से बंधा हुआ नहीं है।
2. $f(x)={\frac {x}{1+x}}$ परिभाषित किया गया $[0,\infty )$ घिरा हुआ है लेकिन इसकी सबसे कम ऊपरी सीमा प्राप्त नहीं करता है $1$.
3. $f(x)={\frac {1}{x}}$ परिभाषित किया गया $(0,1]$ ऊपर से बंधा हुआ नहीं है।
4. $f(x)=1-x$ परिभाषित किया गया $(0,1]$ घिरा हुआ है लेकिन कभी भी अपनी न्यूनतम ऊपरी सीमा को प्राप्त नहीं करता है $1$.

परिभाषित $f(0)=0$ पिछले दो उदाहरणों से पता चलता है कि दोनों प्रमेयों को निरंतरता की आवश्यकता है $[a,b]$.

मीट्रिक और टोपोलॉजिकल स्पेस का सामान्यीकरण

वास्तविक रेखा से आगे बढ़ने पर $\mathbb {R}$ मीट्रिक रिक्त स्थान और सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए, एक बंद परिबद्ध अंतराल का उपयुक्त सामान्यीकरण एक कॉम्पैक्ट स्थान है। एक सेट $K$ कॉम्पैक्ट कहा जाता है अगर इसमें निम्न संपत्ति है: खुले सेट के प्रत्येक संग्रह से $U_{\alpha }$ ऐसा है कि ${\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K}$, एक परिमित उपसंग्रह $U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}$ऐसे चुना जा सकता है ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}\supset K}$. यह आमतौर पर संक्षेप में हर खुले कवर के रूप में कहा जाता है $K$ एक परिमित उपकवर है। हेन-बोरेल प्रमेय का दावा है कि वास्तविक रेखा का एक सबसेट कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर यह दोनों बंद और बाध्य है। इसके विपरीत, एक मीट्रिक स्थान में हेइन-बोरेल संपत्ति होती है यदि प्रत्येक बंद और परिबद्ध सेट भी कॉम्पैक्ट होता है।

इसी तरह एक सतत कार्य की अवधारणा को सामान्यीकृत किया जा सकता है। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान दिया गया $V,\ W$, एक समारोह $f:V\to W$ यदि प्रत्येक खुले सेट के लिए निरंतर कहा जाता है $U\subset W$, $f^{-1}(U)\subset V$ भी खुला है। इन परिभाषाओं को देखते हुए, कॉम्पैक्टनेस को बनाए रखने के लिए निरंतर कार्यों को दिखाया जा सकता है: प्रमेय। यदि $V,\ W$ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, $f:V\to W$ एक सतत कार्य है, और $K\subset V$ कॉम्पैक्ट है, तो $f(K)\subset W$ कॉम्पैक्ट भी है।

विशेष रूप से, अगर $W=\mathbb {R}$, तब इस प्रमेय का तात्पर्य है $f(K)$ किसी भी कॉम्पैक्ट सेट के लिए बंद और बाध्य है $K$, जो बदले में इसका अर्थ है $f$ किसी भी (गैर-खाली) कॉम्पैक्ट सेट पर अपने निम्नतम और उच्चतम और निम्नतम और उच्चतम को प्राप्त करता है $K$. इस प्रकार, हमारे पास चरम मान प्रमेय का निम्नलिखित सामान्यीकरण है:

प्रमेय। यदि $K$ एक कॉम्पैक्ट सेट है और $f:K\to \mathbb {R}$ एक सतत कार्य है, फिर $f$ बंधा हुआ है और मौजूद है $p,q\in K$ ऐसा है कि ${\textstyle f(p)=\sup _{x\in K}f(x)}$ और ${\textstyle f(q)=\inf _{x\in K}f(x)}$.

थोड़ा अधिक आम तौर पर, यह एक ऊपरी अर्ध-सतत कार्य के लिए भी सही है। (कॉम्पैक्ट स्पेस # फ़ंक्शंस और कॉम्पैक्ट स्पेस देखें)।

प्रमेयों को सिद्ध करना

हम ऊपरी सीमा और अधिकतम के प्रमाण को देखते हैं $f$. इन परिणामों को फ़ंक्शन पर लागू करके $-f$, निचली सीमा का अस्तित्व और न्यूनतम के लिए परिणाम $f$ अनुसरण करता है। यह भी ध्यान दें कि उपपत्ति में सब कुछ वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में किया गया है।

हम पहले परिबद्धता प्रमेय को सिद्ध करते हैं, जो चरम मान प्रमेय के प्रमाण में एक कदम है। चरम मूल्य प्रमेय के सबूत में शामिल बुनियादी कदम हैं:

1. परिबद्धता प्रमेय सिद्ध करें।
2. एक क्रम खोजें ताकि इसकी छवि (गणित) के सर्वोच्च में परिवर्तित हो जाए $f$.
3. दिखाएँ कि एक अनुक्रम मौजूद है जो एक फ़ंक्शन के डोमेन में एक बिंदु पर अभिसरण करता है।
4. निरंतरता का उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि बाद की छवि सर्वोच्चता में परिवर्तित हो जाती है।

परिबद्धता प्रमेय का प्रमाण

कथन   यदि $f(x)$ निरंतर चालू है $[a,b]$ फिर इसे बांध दिया जाता है $[a,b]$ मान लीजिए समारोह $f$ अंतराल पर ऊपर बाध्य नहीं है $[a,b]$. फिर, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $n$, वहाँ एक मौजूद है $x_{n}\in [a,b]$ ऐसा है कि $f(x_{n})>n$. यह एक क्रम को परिभाषित करता है $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. चूंकि $[a,b]$ घिरा हुआ है, बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय का तात्पर्य है कि एक अभिसारी अनुवर्तीता मौजूद है $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ का $({x_{n}})$. द्वारा इसकी सीमा को निरूपित करें $x$. जैसा $[a,b]$ बंद है, इसमें शामिल है $x$. चूंकि $f$ पर निरंतर है $x$, हम वह जानते हैं $f(x_{{n}_{k}})$ वास्तविक संख्या में परिवर्तित हो जाता है $f(x)$ (जैसा $f$ पर क्रमिक रूप से निरंतर है $x$). लेकिन $f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k$ हरएक के लिए $k$, जिसका तात्पर्य है $f(x_{{n}_{k}})$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से भिन्न होता है |$+\infty$, एक विरोधाभास। इसलिए, $f$ ऊपर से बंधा हुआ है $[a,b]$. क्यू.ई.डी.|$\Box$

वैकल्पिक प्रमाण

कथन   यदि $f(x)$ निरंतर चालू है $[a,b]$ फिर इसे बांध दिया जाता है $[a,b]$ प्रमाण    समुच्चय पर विचार करें $B$ बिंदुओं का $p$ में $[a,b]$ ऐसा है कि $f(x)$ पर आबद्ध है $[a,p]$. हमने ध्यान दिया कि $a$ एक ऐसा बिंदु है, के लिए $f(x)$ पर आबद्ध है $[a,a]$ मूल्य से $f(a)$. यदि $e>a$ एक और बिंदु है, तो सभी बिंदुओं के बीच $a$ और $e$ के भी हैं $B$. दूसरे शब्दों में $B$ द्वारा बंद किया गया एक अंतराल है $a$.

अभी $f$ पर दाईं ओर निरंतर है $a$, इसलिए मौजूद है $\delta >0$ ऐसा है कि $|f(x)-f(a)|<1$ सबके लिए $x$ में $[a,a+\delta ]$. इस प्रकार $f$ से घिरा हुआ है $f(a)-1$ और $f(a)+1$ अंतराल पर $[a,a+\delta ]$ ताकि ये सभी बिंदु संबंधित हों $B$.

अब तक, हम यह जानते हैं $B$ गैर-शून्य लंबाई का एक अंतराल है, जो इसके बाएं सिरे पर बंद है $a$.

अगला, $B$ से ऊपर घिरा हुआ है $b$. इसलिए सेट $B$ ये पिछले में से $[a,b]$ ; चलो इसे कहते हैं $s$. गैर-शून्य लंबाई से $B$ हम इसका अनुमान लगा सकते हैं $s>a$.

मान लीजिए $s<b$. अभी $f$ पर निरंतर है $s$, इसलिए मौजूद है $\delta >0$ ऐसा है कि $|f(x)-f(s)|<1$ सबके लिए $x$ में $[s-\delta ,s+\delta ]$ ताकि $f$ इस अंतराल पर बंधा हुआ है। लेकिन यह के वर्चस्व से चलता है $s$ कि वहाँ से संबंधित एक बिंदु मौजूद है $B$, $e$ कहते हैं, जो इससे बड़ा है $s-\delta /2$. इस प्रकार $f$ पर आबद्ध है $[a,e]$ जो ओवरलैप करता है $[s-\delta ,s+\delta ]$ ताकि $f$ पर आबद्ध है $[a,s+\delta ]$. हालांकि यह की सर्वोच्चता के विपरीत है $s$.

इसलिए हमारे पास होना चाहिए $s=b$. अभी $f$ पर बाईं ओर निरंतर है $s$, इसलिए मौजूद है $\delta >0$ ऐसा है कि $|f(x)-f(s)|<1$ सबके लिए $x$ में $[s-\delta ,s]$ ताकि $f$ इस अंतराल पर बंधा हुआ है। लेकिन यह के वर्चस्व से चलता है $s$ कि वहाँ से संबंधित एक बिंदु मौजूद है $B$, $e$ कहते हैं, जो इससे बड़ा है $s-\delta /2$. इस प्रकार $f$ पर आबद्ध है $[a,e]$ जो ओवरलैप करता है $[s-\delta ,s]$ ताकि $f$ पर आबद्ध है $[a,s]$. क्यू.ई.डी.|∎

चरम मूल्य प्रमेय का प्रमाण

परिबद्धता प्रमेय द्वारा, f ऊपर से परिबद्ध है, इसलिए, वास्तविक संख्याओं की डेडेकिंड-पूर्णता द्वारा, f की न्यूनतम ऊपरी सीमा (सर्वोच्च) M मौजूद है। [ए, बी] में एक बिंदु डी खोजना आवश्यक है जैसे कि एम = एफ (डी)। माना n एक प्राकृत संख्या है। चूंकि एम सबसे कम ऊपरी सीमा है, एम - 1/एन एफ के लिए ऊपरी सीमा नहीं है। इसलिए, वहाँ मौजूद है डी_n[ए, बी] में ताकि एम - 1 / एन <एफ (डी_n). यह एक अनुक्रम को परिभाषित करता है {डी_n}. चूंकि एम एफ के लिए ऊपरी सीमा है, हमारे पास एम - 1/एन <एफ (डी_n) ≤ एम सभी एन के लिए। इसलिए, अनुक्रम {f(d_n)} M में परिवर्तित हो जाता है।

बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय हमें बताता है कि एक अनुवर्ती मौजूद है {$d_{n_{k}}$}, जो कुछ d में परिवर्तित होता है और, जैसा कि [a, b] बंद है, d [a, b] में है। चूँकि f d पर संतत है, अनुक्रम {f($d_{n_{k}}$)} f(d) में परिवर्तित होता है। लेकिन {एफ (डी_nk)} {f(d_n)} जो एम में परिवर्तित हो जाता है, इसलिए एम = एफ (डी)। इसलिए, f अपने सर्वोच्च M को d पर प्राप्त करता है। क्यू.ई.डी.|∎

चरम मूल्य प्रमेय का वैकल्पिक प्रमाण

सेट {y ∈ R : y = f(x) for some x ∈ [a,b]} परिबद्ध समुच्चय है। इसलिए, इसकी सबसे कम ऊपरी सीमा वास्तविक संख्याओं के सबसे कम ऊपरी बाध्य संपत्ति से मौजूद है। होने देना M = sup(f(x))पर[a, b]. यदि [a, b] पर कोई बिन्दु x नहीं है तो f(x)=M, तो f(x) < M [ए, बी] पर। इसलिए, 1/(M − f(x)) [ए, बी] पर निरंतर है।

हालांकि, प्रत्येक सकारात्मक संख्या ε के लिए, [a, b] में हमेशा कुछ x होता है जैसे कि M − f(x) < ε क्योंकि एम कम से कम ऊपरी सीमा है। अत, 1/(M − f(x)) > 1/ε, जिसका मतलब है कि 1/(M − f(x)) बंधा हुआ नहीं है। चूँकि a [a, b] पर प्रत्येक निरंतर फलन परिबद्ध है, यह इस निष्कर्ष का खंडन करता है कि 1/(M − f(x)) [ए, बी] पर निरंतर था। इसलिए, [a, b] में एक बिंदु x ऐसा होना चाहिए कि f(x) = M. Q.E.D.|∎

हाइपररियल्स का उपयोग करके सबूत

गैर-मानक पथरी की सेटिंग में, N  को एक अनंत हाइपरिन्टिगर होने दें। अंतराल [0, 1] का प्राकृतिक अतिवास्तविक विस्तार है। इसके विभाजन को विभाजन बिंदु x के साथ, समान अत्यल्प लंबाई 1/N के N उपअंतरालों में मानें_i= i /N जब मैं 0 से N तक चलता हूं। फ़ंक्शन ƒ  भी स्वाभाविक रूप से 0 और 1 के बीच हाइपररियल्स पर परिभाषित फ़ंक्शन ƒ* तक विस्तारित होता है। ध्यान दें कि मानक सेटिंग में (जब N  परिमित है), एक बिंदु के साथ ƒ का अधिकतम मान हमेशा N+1 अंक x के बीच चुना जा सकता है_i, प्रेरण द्वारा। इसलिए, स्थानांतरण सिद्धांत द्वारा, एक हाइपरइंटीजर i है₀ ऐसा कि 0 ≤ i₀≤ एन और $f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})$सभी के लिए i = 0, ..., एन। वास्तविक बिंदु पर विचार करें

$$c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})$$

जहां st मानक भाग फलन है। एक मनमाना वास्तविक बिंदु x विभाजन के उपयुक्त उप-अंतराल में निहित है, अर्थात् $x\in [x_{i},x_{i+1}]$, ताकि  st(x_i) = एक्स। असमानता के लिए 'सेंट' लागू करना $f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})$, हमने प्राप्त किया $\mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))$. ƒ  की निरंतरता से हमारे पास है

$\mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)$.

इसलिए ƒ(c) ≥ ƒ(x), सभी वास्तविक x के लिए, c को अधिकतम ƒ साबित करता है।

पहले सिद्धांतों से सबूत

कथन      अगर $f(x)$ निरंतर चालू है $[a,b]$ तब यह अपनी सर्वोच्चता को प्राप्त करता है $[a,b]$ प्रमाण      परिबद्धता प्रमेय द्वारा, $f(x)$ ऊपर से बंधा हुआ है $[a,b]$ और वास्तविक संख्याओं की पूर्णता संपत्ति में एक सर्वोच्चता है $[a,b]$. चलो इसे कहते हैं $M$, या $M[a,b]$. यह स्पष्ट है कि का प्रतिबंध $f$ उपअंतराल के लिए $[a,x]$ कहां $x\leq b$ ये पिछले से $M[a,x]$ जो कम या बराबर हो $M$, और कि $M[a,x]$ से बढ़ता है $f(a)$ को $M$ जैसा $x$ से बढ़ता है $a$ को $b$.

यदि $f(a)=M$ तो हम कर चुके हैं। मान लीजिए कि $f(a)<M$ और जाने $d=M-f(a)$. सेट पर विचार करें $L$ बिंदुओं का $x$ में $[a,b]$ ऐसा है कि $M[a,x]<M$.

स्पष्ट रूप से $a\in L$ ; इसके अलावा अगर $e>a$ में एक और बिंदु है $L$ फिर सभी बिंदुओं के बीच $a$ और $e$ के भी हैं $L$ चूंकि $M[a,x]$ मोनोटोनिक बढ़ रहा है। अत $L$ एक गैर-खाली अंतराल है, जो इसके बाएं सिरे पर बंद है $a$.

अभी $f$ पर दाईं ओर निरंतर है $a$, इसलिए मौजूद है $\delta >0$ ऐसा है कि $|f(x)-f(a)|<d/2$ सबके लिए $x$ में $[a,a+\delta ]$. इस प्रकार $f$ मै रुक जाना $M-d/2$ अंतराल पर $[a,a+\delta ]$ ताकि ये सभी बिंदु संबंधित हों $L$.

अगला, $L$ से ऊपर घिरा हुआ है $b$ और इसलिए इसमें सर्वोच्चता है $[a,b]$: चलो इसे कहते हैं $s$. हम ऊपर से देखते हैं $s>a$. हम वह दिखाएंगे $s$ वह बिंदु है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं यानी वह बिंदु जहां $f$ अपने सर्वोच्चता को प्राप्त करता है, या दूसरे शब्दों में $f(s)=M$.

इसके विपरीत मान लीजिए। $f(s)<M$. होने देना $d=M-f(s)$ और निम्नलिखित दो मामलों पर विचार करें:

1. <यू>$s<b$</यू>। जैसा $f$ पर निरंतर है $s$, वहां मौजूद $\delta >0$ ऐसा है कि $|f(x)-f(s)|<d/2$ सबके लिए $x$ में $[s-\delta ,s+\delta ]$. इस का मतलब है कि $f$ मै रुक जाना $M-d/2$ अंतराल पर $[s-\delta ,s+\delta ]$. लेकिन यह के वर्चस्व से चलता है $s$ कि वहाँ एक बिंदु मौजूद है, $e$ कहते हैं, से संबंधित $L$ जो इससे बड़ा है $s-\delta$. की परिभाषा से $L$, $M[a,e]<M$. होने देना $d_{1}=M-M[a,e]$ फिर सभी के लिए $x$ में $[a,e]$, $f(x)\leq M-d_{1}$. ले रहा $d_{2}$ न्यूनतम होना $d/2$ और $d_{1}$, अपने पास $f(x)\leq M-d_{2}$ सबके लिए $x$ में $[a,s+\delta ]$.
   अत $M[a,s+\delta ]<M$ ताकि $s+\delta \in L$. हालांकि यह की सर्वोच्चता के विपरीत है $s$ और प्रमाण को पूरा करता है।
2. <यू>$s=b$</यू>। जैसा $f$ पर बाईं ओर निरंतर है $s$, वहां मौजूद $\delta >0$ ऐसा है कि $|f(x)-f(s)|<d/2$ सबके लिए $x$ में $[s-\delta ,s]$. इस का मतलब है कि $f$ मै रुक जाना $M-d/2$ अंतराल पर $[s-\delta ,s]$. लेकिन यह के वर्चस्व से चलता है $s$ कि वहाँ एक बिंदु मौजूद है, $e$ कहते हैं, से संबंधित $L$ जो इससे बड़ा है $s-\delta$. की परिभाषा से $L$, $M[a,e]<M$. होने देना $d_{1}=M-M[a,e]$ फिर सभी के लिए $x$ में $[a,e]$, $f(x)\leq M-d_{1}$. ले रहा $d_{2}$ न्यूनतम होना $d/2$ और $d_{1}$, अपने पास $f(x)\leq M-d_{2}$ सबके लिए $x$ में $[a,b]$. यह की सर्वोच्चता के विपरीत है $M$ और प्रमाण को पूरा करता है।

अर्ध-निरंतर कार्यों का विस्तार

यदि फ़ंक्शन f की निरंतरता अर्ध-निरंतरता के लिए कमजोर हो जाती है, तो परिबद्धता प्रमेय और चरम मान प्रमेय के संबंधित आधे और मान -∞ या +∞ क्रमशः विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से संभव के रूप में अनुमति दी जा सकती है मान। ज्यादा ठीक:

'प्रमेय:' यदि कोई फ़ंक्शन f : [a, b] → [–∞, ∞) ऊपरी अर्ध-निरंतर है, जिसका अर्थ है

$$\limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)$$

[ए, बी] में सभी एक्स के लिए, फिर एफ ऊपर से बंधा हुआ है और इसकी सर्वोच्चता प्राप्त करता है।

उपपत्ति: यदि [a,b] में सभी x के लिए f(x) = –∞, तो उच्चतम भी –∞ है और प्रमेय सत्य है। अन्य सभी मामलों में, सबूत ऊपर दिए गए सबूतों का मामूली संशोधन है। परिबद्धता प्रमेय के प्रमाण में, x पर f की ऊपरी अर्ध-निरंतरता का तात्पर्य केवल यह है कि बाद की सीमा {f(x)_nk)} ऊपर f(x) < ∞ से घिरा है, लेकिन यह विरोधाभास प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। चरम मूल्य प्रमेय के प्रमाण में, d पर f की ऊपरी अर्ध-निरंतरता का तात्पर्य है कि बाद की सीमा {f(d)_nk)} ऊपर f(d) से घिरा है, लेकिन यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त है कि f(d) = M. Q.E.D.|∎

इस परिणाम को -f पर लागू करने से सिद्ध होता है:

'प्रमेय:' यदि कोई फ़ंक्शन f : [a, b] → (–∞, ∞] निचला अर्ध-निरंतर है, जिसका अर्थ है

$$\liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)$$

[ए, बी] में सभी एक्स के लिए, फिर एफ नीचे घिरा हुआ है और इसकी न्यूनतम प्राप्त करता है।

एक वास्तविक-मूल्यवान फलन ऊपरी और निचला अर्ध-निरंतर होता है, अगर और केवल अगर यह सामान्य अर्थों में निरंतर है। इसलिए इन दो प्रमेयों में परिबद्धता प्रमेय और चरम मान प्रमेय शामिल हैं।

आगे की पढाई

• Adams, Robert A. (1995). Calculus : A Complete Course. Reading: Addison-Wesley. pp. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
• Protter, M. H.; Morrey, C. B. (1977). "The Boundedness and Extreme–Value Theorems". A First Course in Real Analysis. New York: Springer. pp. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• समारोह (गणित)
• गणना
• निरंतर कार्य
• परिबद्ध समारोह
• खुला सेट
• वास्तविक संख्याये
• अंतिम
• परिणाम को
• किसी फ़ंक्शन का डोमेन
• Dedekind-पूर्ण
• कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति
• कम से कम ऊपरी सीमा
• hyperinteger
• बहुत छोता
• गैर मानक गणना
• मानक भाग समारोह
• अर्द्ध निरंतरता
• श्रेष्ठ सीमा
• सबसे कम

बाहरी कड़ियाँ

• A Proof for extreme value theorem at cut-the-knot
• Extreme Value Theorem by Jacqueline Wandzura with additional contributions by Stephen Wandzura, the Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. "Extreme Value Theorem". MathWorld.
• Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15