वास्तविक-मूल्यवान कार्य

छवि:वजन 20मिलीग्राम~500g.jpg|thumb|right|ग्राम में मापा गया द्रव्यमान वजन के इस संग्रह से सकारात्मक संख्या वास्तविक संख्याओं तक का एक कार्य है। वज़न फ़ंक्शन शब्द, इस उदाहरण का एक संकेत, शुद्ध और व्यावहारिक गणित में उपयोग किया जाता है।

गणित में, एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन (गणित) होता है जिसका कोडोमेन वास्तविक संख्याएं होती हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक फ़ंक्शन है जो किसी फ़ंक्शन के डोमेन के प्रत्येक सदस्य को एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है।

एक वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन (आमतौर पर वास्तविक फलन कहा जाता है) और कई वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन गणना के अध्ययन और, अधिक सामान्यतः, वास्तविक विश्लेषण का मुख्य उद्देश्य हैं। विशेष रूप से, कई कार्य स्थान में वास्तविक-मूल्य वाले फ़ंक्शंस शामिल होते हैं।

बीजगणितीय संरचना

होने देना ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ एक सेट से सभी फ़ंक्शंस का सेट बनें (गणित) $X$ वास्तविक संख्याओं के लिए $\mathbb {R}$ . क्योंकि $\mathbb {R}$ एक क्षेत्र है (गणित), ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ निम्नलिखित परिचालनों के साथ वास्तविक पर एक सदिश स्थल और एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) में बदला जा सकता है:

$f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ – वेक्टर जोड़
$\mathbf {0} :x\mapsto 0$ - जोड़ने योग्य पहचान
$cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R}$ - स्केलर गुणज
$fg:x\mapsto f(x)g(x)$ -बिंदुवार गुणा

ये ऑपरेशन आंशिक कार्यों तक विस्तारित होते हैं $X$ को $\mathbb {R} ,$ इस प्रतिबंध के साथ कि आंशिक कार्य करता है $f + g$ और $f g$ को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब किसी फ़ंक्शन का डोमेन $f$ और $g$ एक गैर-रिक्त चौराहा है; इस मामले में, उनका डोमेन डोमेन का प्रतिच्छेदन है $f$ और $g$ .

इसके अलावा, तब से $\mathbb {R}$ एक क्रमित समुच्चय है, आंशिक क्रम है

$\ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),$

पर ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} }),$ किसने बनाया ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ आंशिक रूप से ऑर्डर की गई अंगूठी।

मापने योग्य

बोरेल सेट का σ-बीजगणित वास्तविक संख्याओं पर एक महत्वपूर्ण संरचना है। अगर $X$ का अपना σ-बीजगणित और एक फ़ंक्शन है $f$ ऐसा है कि पूर्वछवि $f -1 (B)$ किसी भी बोरेल सेट का $B$ तो, उस σ-बीजगणित से संबंधित है $f$ को मापने योग्य कार्य कहा जाता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, मापने योग्य कार्य एक सदिश स्थान और एक बीजगणित भी बनाते हैं § Algebraic structure.

इसके अलावा, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक सेट (परिवार) चालू रहता है $X$ वास्तव में σ-बीजगणित को परिभाषित कर सकता है $X$ सभी बोरेल सेटों (या केवल अंतराल (गणित)) के सभी प्रीइमेज द्वारा उत्पन्न, यह महत्वपूर्ण नहीं है। (कोलमोगोरोव के अभिगृहीत|कोलमोगोरोव के) संभाव्यता सिद्धांत में σ-बीजगणित इसी प्रकार उत्पन्न होता है, जहां नमूना स्थान पर वास्तविक-मूल्यवान कार्य होते हैं $Ω$ वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर हैं।

सतत

वास्तविक संख्याएँ एक टोपोलॉजिकल स्पेस और एक पूर्ण मीट्रिक स्थान बनाती हैं। सतत कार्य वास्तविक-मूल्यवान कार्य (जिसका तात्पर्य है कि $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है) सामान्य टोपोलॉजी और मीट्रिक ज्यामिति सिद्धांतों में महत्वपूर्ण हैं। चरम मूल्य प्रमेय बताता है कि एक सघन स्थान पर किसी भी वास्तविक निरंतर कार्य के लिए इसकी वैश्विक मैक्सिमा और मिनिमा मौजूद हैं।

मीट्रिक स्थान की अवधारणा स्वयं दो चर, मीट्रिक (गणित) के वास्तविक-मूल्य वाले फ़ंक्शन से परिभाषित होती है, जो निरंतर है। कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस पर निरंतर कार्यों के स्थान का एक विशेष महत्व है। अभिसरण अनुक्रमों को एक विशेष टोपोलॉजिकल स्पेस पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के रूप में भी माना जा सकता है।

जैसा कि ऊपर बताया गया है, सतत फलन एक सदिश समष्टि और एक बीजगणित भी बनाते हैं § Algebraic structure, और #Measurable का एक उपवर्ग हैं क्योंकि किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में खुले (या बंद) सेट द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित होता है।

चिकना

सुचारू कार्यों को परिभाषित करने के लिए वास्तविक संख्याओं को कोडोमेन के रूप में उपयोग किया जाता है। एक वास्तविक सुचारू फ़ंक्शन का एक डोमेन वास्तविक समन्वय स्थान हो सकता है (जो एक वास्तविक बहुपरिवर्तनीय फ़ंक्शन उत्पन्न करता है), एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस,^[1] उनका एक खुला उपसमुच्चय, या एक चिकनी विविधता।

सुचारू कार्यों के स्थान भी वेक्टर रिक्त स्थान और बीजगणित हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है § Algebraic structure और #कंटीन्युअस के स्थान के उपस्थान हैं।

माप सिद्धांत में उपस्थिति

एक सेट पर एक माप (गणित) उपसमुच्चय के σ-बीजगणित पर एक गैर-नकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्यात्मक है।^[2] एलपी स्पेस|एल^{माप के साथ सेट पर पी रिक्त स्थान उपरोक्त #मापने योग्य|वास्तविक-मूल्यवान मापने योग्य कार्यों से परिभाषित किए जाते हैं, हालांकि वे वास्तव में भागफल स्थान (टोपोलॉजी) हैं। अधिक सटीक रूप से, जबकि एक उपयुक्त अभिन्न को संतुष्ट करने वाला फ़ंक्शन एल के एक तत्व को परिभाषित करता है^पीस्थान, किसी के लिए विपरीत दिशा में $f \in L p (X)$ और $x \in X$ जो एक परमाणु (माप सिद्धांत) नहीं है, मूल्य $f (x)$ अच्छी परिभाषा है. हालाँकि, वास्तविक मूल्यवान एल^पी रिक्त स्थान में अभी भी ऊपर वर्णित कुछ संरचना मौजूद है § Algebraic structure. प्रत्येक एल^पी स्पेस एक वेक्टर स्पेस है और इसमें आंशिक क्रम होता है, और इसमें फ़ंक्शंस का बिंदुवार गुणन मौजूद होता है जो बदलता है $p$ , अर्थात्}

\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.

उदाहरण के लिए, दो एल का बिंदुवार गुणनफल²फ़ंक्शन L से संबंधित है¹.

अन्य दिखावे

अन्य संदर्भ जहां वास्तविक-मूल्यवान कार्यों और उनके विशेष गुणों का उपयोग किया जाता है उनमें मोनोटोनिक फ़ंक्शन (आदेशित सेट पर), उत्तल फ़ंक्शन (वेक्टर और एफ़िन रिक्त स्थान पर), हार्मोनिक फ़ंक्शन और सबहार्मोनिक फ़ंक्शन फ़ंक्शन (रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर), विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन (आमतौर पर एक के) शामिल हैं या अधिक वास्तविक चर), बीजीय फलन (वास्तविक बीजगणितीय विविधता पर), और बहुपद (एक या अधिक वास्तविक चर के)।

यह भी देखें

वास्तविक विश्लेषण
आंशिक अंतर समीकरण, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक प्रमुख उपयोगकर्ता
सामान्य (गणित)
अदिश (गणित)

फ़ुटनोट

↑ Different definitions of derivative exist in general, but for finite dimensions they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.
↑ Actually, a measure may have values in $[0, +\infty]$ : see extended real number line.

संदर्भ

Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2nd ed.). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Real Function". MathWorld.

[1] Different definitions of derivative exist in general, but for finite dimensions they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.

[2] Actually, a measure may have values in $[0, +\infty]$ : see extended real number line.

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