संघ अभिगृहीत

स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, संघ का स्वयंसिद्ध ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के सिद्धांतों में से एक है। यह स्वयंसिद्ध अर्नेस्ट ज़र्मेलो द्वारा पेश किया गया था। अभिगृहीत बताता है कि प्रत्येक समुच्चय x के लिए एक समुच्चय y है जिसके अवयव सटीक रूप से x के अवयवों के अवयव हैं।

औपचारिक वक्तव्य

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों की औपचारिक भाषा में, स्वयंसिद्ध पढ़ता है:

$\forall A\,\exists B\,\forall c\,(c\in B\iff \exists D\,(c\in D\land D\in A)\,)$

या शब्दों में:

किसी भी सेट (गणित) ए को देखते हुए, अस्तित्वगत मात्रा का एक सेट बी ऐसा है कि, किसी भी तत्व सी के लिए, सी बी का सदस्य है अगर और केवल अगर कोई सेट डी है तो सी डी तार्किक संयोजन का सदस्य है डी एक है ए. का सदस्य

या, और अधिक सरलता से:

किसी भी सेट के लिए $A$, एक सेट है $\bigcup A\$ जिसमें उस सेट के तत्वों के सिर्फ तत्व होते हैं $A$.

पेयरिंग से संबंध

संघ का स्वयंसिद्ध एक सेट के सेट को अनपैक करने की अनुमति देता है और इस प्रकार एक चापलूसी सेट बनाता है। युग्मन के स्वयंसिद्ध के साथ, इसका तात्पर्य है कि किसी भी दो सेटों के लिए, एक सेट होता है (जिसे उनका संघ (सेट सिद्धांत) कहा जाता है) जिसमें दो सेटों के तत्व शामिल होते हैं।

प्रतिस्थापन से संबंध

प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध व्यक्ति को कई संघ बनाने की अनुमति देता है, जैसे कि दो सेटों का संघ।

हालाँकि, इसकी पूर्ण व्यापकता में, संघ का स्वयंसिद्ध शेष ZFC-स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है: प्रतिस्थापन सेट के एक सेट के संघ के अस्तित्व को साबित नहीं करता है यदि परिणाम में कार्डिनैलिटी की असीमित संख्या होती है।

प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा के साथ, संघ के स्वयंसिद्ध का तात्पर्य है कि एक सेट द्वारा अनुक्रमित सेट के परिवार का संघ बना सकता है।

अलगाव से संबंध

सेट सिद्धांतों के संदर्भ में जिसमें अलगाव का स्वयंसिद्ध शामिल है, संघ के स्वयंसिद्ध को कभी-कभी एक कमजोर रूप में कहा जाता है जो केवल एक सेट के संघ का सुपरसेट उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, कुनेन अभिगृहीत को इस प्रकार बताता है

$\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].$

जो बराबर है

$\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\forall x[[\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})]\Rightarrow x\in A].$

इस खंड के शीर्ष पर बताए गए स्वयंसिद्ध की तुलना में, यह भिन्नता दोनों दिशाओं के बजाय निहितार्थ की केवल एक दिशा पर जोर देती है।

चौराहे से संबंध

प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) का कोई संगत स्वयंसिद्ध नहीं है। अगर $A$ एक गैर-खाली सेट है जिसमें शामिल है $E$, चौराहा बनाना संभव है $\bigcap A$ विनिर्देश के स्वयंसिद्ध स्कीमा का उपयोग करना

$\bigcap A=\{c\in E:\forall D(D\in A\Rightarrow c\in D)\}$,

इसलिए प्रतिच्छेदन की कोई पृथक अभिगृहीत आवश्यक नहीं है। (यदि ए खाली सेट है, तो ए के चौराहे को बनाने की कोशिश कर रहा है

{सी: ए में सभी डी के लिए, सी डी में है}

सिद्धांतों द्वारा अनुमति नहीं है। इसके अलावा, यदि इस तरह का एक सेट मौजूद होता, तो इसमें ब्रह्मांड में हर सेट शामिल होता, लेकिन एक सार्वभौमिक सेट की धारणा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के विपरीत है।)

अग्रिम पठन

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.