सममित कार्य

This article is about functions that are invariant under all permutations of their variables. For the generalization of symmetric polynomials to infinitely many variables (in algebraic combinatorics), see ring of symmetric functions. For symmetric functions on elements of a vector space, see symmetric tensor.

गणित में, का एक फलन (गणित)। $n$ चर सममित है यदि इसका मान समान है तो किसी फ़ंक्शन के तर्क के क्रम में कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, एक समारोह $f\left(x_{1},x_{2}\right)$ दो तर्कों का एक सममित कार्य है यदि और केवल यदि $f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)$ सभी के लिए $x_{1}$ और $x_{2}$ ऐसा है कि $\left(x_{1},x_{2}\right)$ और $\left(x_{2},x_{1}\right)$ के एक समारोह के डोमेन में हैं $f.$ सबसे अधिक सामना किए जाने वाले सममित कार्य बहुपद कार्य हैं, जो सममित बहुपदों द्वारा दिए गए हैं।

एक संबंधित धारणा वैकल्पिक बहुपद है, जो चर के आदान-प्रदान के तहत संकेत बदलती है। बहुपद कार्यों के अलावा, सममित टेंसर जो कई वैक्टरों के कार्यों के रूप में कार्य करता है, सममित हो सकता है, और वास्तव में सममित का स्थान $k$एक सदिश स्थान पर टेंसर $V$ डिग्री के सजातीय बहुपदों के स्थान के लिए समरूप है $k$ पर $V.$ सममित कार्यों को सम और विषम कार्यों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिनमें एक अलग प्रकार की समरूपता होती है।

समरूपता

Main article: Symmetrization

किसी भी समारोह को देखते हुए $f$ में $n$ एक एबेलियन समूह में मूल्यों के साथ चर, के मूल्यों को जोड़कर एक सममित समारोह का निर्माण किया जा सकता है $f$ तर्कों के सभी क्रमपरिवर्तनों पर। इसी प्रकार, एक सम-सममितीय फलन सम क्रमपरिवर्तनों का योग करके और विषम क्रमपरिवर्तनों के योग को घटाकर बनाया जा सकता है। ये ऑपरेशन निश्चित रूप से व्युत्क्रमणीय नहीं हैं, और इसके परिणामस्वरूप एक ऐसा फ़ंक्शन हो सकता है जो समान रूप से गैर-तुच्छ कार्यों के लिए शून्य हो $f.$ एकमात्र सामान्य मामला जहां $f$ पुनर्प्राप्त किया जा सकता है यदि इसके समरूपता और एंटीसिमेट्रिज़ेशन दोनों ज्ञात हैं $n=2$ और एबेलियन समूह 2 से विभाजन स्वीकार करता है (दोहरीकरण का व्युत्क्रम); तब $f$ इसके सममितीकरण और इसके प्रतिपक्षीकरण के योग के आधे के बराबर है।

उदाहरण

<उल>

वास्तविक संख्या फलन पर विचार करें

$$f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).$$

परिभाषा के अनुसार, एक सममित समारोह के साथ $n$ चरों में वह गुण होता है

$$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}$$

सामान्य तौर पर, फ़ंक्शन अपने चर के प्रत्येक क्रमचय के लिए समान रहता है। इसका मतलब है कि, इस मामले में,

$$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})$$

और इसी तरह, के सभी क्रमपरिवर्तन के लिए $x_{1},x_{2},x_{3}.$ </ली>

फ़ंक्शन पर विचार करें

$$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$$

अगर $x$ और $y$ अदला-बदली कर रहे हैं समारोह बन जाता है

$$f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},$$

जो मूल के समान ही परिणाम देता है $f(x,y).$ </ली>

अब फंक्शन पर विचार करें

$$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.$$

अगर $x$ और $y$ अदला-बदली कर रहे हैं, समारोह बन जाता है

$$f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.$$

यह फ़ंक्शन मूल if के समान नहीं है $a\neq b,$ जो इसे असममित बनाता है। </ली>

अनुप्रयोग

यू-सांख्यिकी

Main article: U-statistic

सांख्यिकी में, ए $n$-नमूना आँकड़ा (में एक समारोह $n$ वेरिएबल्स) जो बूटस्ट्रैपिंग (सांख्यिकी) समरूपता द्वारा प्राप्त किया जाता है $k$-नमूना आँकड़ा, जिसमें एक सममित कार्य होता है $n$ चर, को यू-सांख्यिकीय कहा जाता है। उदाहरणों में नमूना माध्य और नमूना विचरण शामिल हैं।

यह भी देखें

• Alternating polynomial
• Elementary symmetric polynomial
• Even and odd functions
• Quasisymmetric function
• Ring of symmetric functions
• Symmetrization
• Vandermonde polynomial

संदर्भ

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.