परिमित समूह

सार बीजगणित में, एक परिमित समूह एक समूह (गणित) है जिसका अंतर्निहित सेट परिमित सेट है। परिमित समूह अक्सर गणितीय या भौतिक वस्तुओं की समरूपता पर विचार करते समय उत्पन्न होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। परिमित समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में चक्रीय समूह और क्रमचय समूह शामिल हैं।

परिमित समूहों का अध्ययन समूह सिद्धांत का एक अभिन्न अंग रहा है क्योंकि यह 19वीं शताब्दी में उत्पन्न हुआ था। अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र वर्गीकरण किया गया है: परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण (जिनमें कोई गैर-तुच्छ सामान्य उपसमूह नहीं है) 2004 में पूरा किया गया था।

इतिहास

बीसवीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने परिमित समूहों के सिद्धांत के कुछ पहलुओं की बहुत गहराई से जाँच की, विशेष रूप से परिमित समूहों के स्थानीय विश्लेषण और हल करने योग्य समूह और निलपोटेंट समूहों के सिद्धांत की।^[1]^[2] परिणामस्वरूप, परिमित सरल समूहों का पूर्ण वर्गीकरण प्राप्त किया गया, जिसका अर्थ है कि वे सभी सरल समूह जिनसे सभी परिमित समूह बनाए जा सकते हैं, अब ज्ञात हैं।

बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान, क्लाउड चेवेली और रॉबर्ट स्टाइनबर्ग जैसे गणितज्ञों ने शास्त्रीय समूहों और अन्य संबंधित समूहों के परिमित एनालॉग्स की हमारी समझ को भी बढ़ाया। समूहों का ऐसा ही एक परिवार परिमित क्षेत्रों पर सामान्य रेखीय समूहों का परिवार है।

परिमित समूह अक्सर गणितीय या भौतिक वस्तुओं की समरूपता पर विचार करते समय होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। झूठ समूहों का सिद्धांत, जिसे निरंतर समरूपता से निपटने के रूप में देखा जा सकता है, संबंधित वेइल समूहों से काफी प्रभावित है। ये परिमित समूह हैं जो प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होते हैं जो परिमित-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर कार्य करते हैं। परिमित समूहों के गुण इस प्रकार सैद्धांतिक भौतिकी और रसायन विज्ञान जैसे विषयों में भूमिका निभा सकते हैं।^[3]

उदाहरण

क्रमपरिवर्तन समूह

S का एक केली ग्राफ₄

सममित समूह एस_n n प्रतीकों के एक परिमित सेट पर समूह (गणित) है, जिसके तत्व n प्रतीकों के सभी क्रमपरिवर्तन हैं, और जिसका समूह संचालन ऐसे क्रमपरिवर्तनों की कार्य रचना है, जिन्हें प्रतीकों के सेट से ही आपत्ति के रूप में माना जाता है।^[4] चूंकि एन हैं! (n कारख़ाने का) n प्रतीकों के एक सेट के संभावित क्रमपरिवर्तन, यह इस प्रकार है कि सममित समूह S का क्रम (समूह सिद्धांत) (तत्वों की संख्या)_n एन है!.

चक्रीय समूह

एक चक्रीय समूह Z_n एक ऐसा समूह है जिसके सभी तत्व किसी विशेष तत्व की शक्तियाँ हैं जहाँ aⁿ = a⁰ = e, पहचान। इस समूह का एक विशिष्ट बोध एकता की जटिल जड़ के रूप में है|nth एकता की जड़ें a को एकता के आदिम रूट पर भेजने से दोनों के बीच एक समरूपता मिलती है। यह किसी परिमित चक्रीय समूह के साथ किया जा सकता है।

परिमित एबेलियन समूह

एक एबेलियन समूह, जिसे एक कम्यूटेटिव ग्रुप भी कहा जाता है, एक समूह (गणित) है जिसमें समूह ऑपरेशन (गणित) को दो समूह तत्वों पर लागू करने का परिणाम उनके आदेश (क्रमविनिमेयता के स्वयंसिद्ध) पर निर्भर नहीं करता है। उनका नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है।^[5] एक मनमाना परिमित एबेलियन समूह प्राइम पावर ऑर्डर के परिमित चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है, और इन आदेशों को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, जो अपरिवर्तनीयों की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं। एक परिमित एबेलियन समूह के ऑटोमोर्फिज़्म समूह को इन अपरिवर्तनीयों के संदर्भ में सीधे वर्णित किया जा सकता है। सिद्धांत को पहली बार जॉर्ज फ्रोबेनियस और लुडविग स्टिकेलबर्गर के 1879 के पेपर में विकसित किया गया था और बाद में रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय बनाते हुए, एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए सरल और सामान्यीकृत दोनों किया गया था।

झूठ प्रकार के समूह

लाई प्रकार का एक समूह एक समूह (गणित) है जो फ़ील्ड (गणित) में मूल्यों के साथ एक रिडक्टिव रैखिक बीजगणितीय समूह जी के तर्कसंगत बिंदुओं के समूह जी(के) से निकटता से संबंधित है। क। झूठ प्रकार के परिमित समूह नॉनबेलियन परिमित सरल समूहों के थोक देते हैं। विशेष मामलों में शास्त्रीय समूह, शेवाली समूह, स्टाइनबर्ग समूह और सुज़ुकी-री समूह शामिल हैं।

चक्रीय समूह, सममित समूह और वैकल्पिक समूह समूहों के बाद, प्रमुख परिमित क्षेत्रों पर प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूहों के साथ, लाई प्रकार के परिमित समूह गणित में विचार किए जाने वाले पहले समूहों में से थे, PSL(2, p) का निर्माण किया जा रहा है Évariste Galois द्वारा 1830 के दशक में। लाई प्रकार के परिमित समूहों की व्यवस्थित खोज केमिली जॉर्डन के प्रमेय के साथ शुरू हुई कि प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL(2, q) q ≠ 2, 3 के लिए सरल है। यह प्रमेय प्रक्षेपी समूहों के लिए सामान्यीकरण करता है उच्च आयाम और परिमित सरल समूहों का एक महत्वपूर्ण अनंत परिवार PSL(n, q) देता है। अन्य शास्त्रीय समूहों का अध्ययन 20वीं शताब्दी की शुरुआत में लियोनार्ड डिक्सन द्वारा किया गया था। 1950 के दशक में क्लॉड चेवेली ने महसूस किया कि एक उपयुक्त सुधार के बाद, अर्ध-सरल लाई समूहों के बारे में कई प्रमेय बीजगणितीय समूहों के लिए एक मनमाने क्षेत्र k के लिए एनालॉग्स को स्वीकार करते हैं, जो कि अब 'शेवली समूह' कहलाते हैं। इसके अलावा, जैसा कि कॉम्पैक्ट सरल लाई समूहों के मामले में, संबंधित समूह अमूर्त समूहों ("स्तन सादगी प्रमेय") के रूप में लगभग सरल निकले। हालांकि यह 19वीं शताब्दी से ज्ञात था कि अन्य परिमित सरल समूह मौजूद हैं (उदाहरण के लिए, मैथ्यू समूह), धीरे-धीरे एक धारणा बनी कि लगभग सभी परिमित सरल समूहों को चक्रीय और वैकल्पिक समूहों के साथ-साथ चेवेली के निर्माण के उपयुक्त विस्तार द्वारा हिसाब किया जा सकता है। इसके अलावा, अपवाद, छिटपुट समूह, झूठ प्रकार के परिमित समूहों के साथ कई गुणों को साझा करते हैं, और विशेष रूप से, स्तन के अर्थ में उनके ज्यामिति के आधार पर निर्मित और चित्रित किए जा सकते हैं।

विश्वास अब एक प्रमेय बन गया है - परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण। परिमित सरल समूहों की सूची के निरीक्षण से पता चलता है कि एक परिमित क्षेत्र पर झूठ के समूह में चक्रीय समूहों, वैकल्पिक समूहों, स्तन समूह और 26 छिटपुट सरल समूहों के अलावा सभी परिमित सरल समूह शामिल हैं।

मुख्य प्रमेय

लैग्रेंज का प्रमेय

किसी भी परिमित समूह G के लिए, G के प्रत्येक उपसमूह H का क्रम (समूह सिद्धांत) (तत्वों की संख्या) G के क्रम को विभाजित करता है। प्रमेय का नाम जोसेफ-लुई लाग्रेंज के नाम पर रखा गया है।

साइलो प्रमेय

यह लग्रेंज के प्रमेय का एक आंशिक विलोम प्रदान करता है जो इस बात की जानकारी देता है कि जी में दिए गए क्रम के कितने उपसमूह निहित हैं।

केली प्रमेय

आर्थर केली के सम्मान में नामित केली के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समूह (गणित) जी जी पर अभिनय करने वाले सममित समूह के एक उपसमूह के लिए समूह समरूपता है।^[6] इसे G के तत्वों पर G की समूह क्रिया (गणित) के उदाहरण के रूप में समझा जा सकता है।^[7]

बर्नसाइड प्रमेय

समूह सिद्धांत में बर्नसाइड के प्रमेय में कहा गया है कि यदि जी आदेश (समूह सिद्धांत) पी का एक परिमित समूह है^aq^b, जहाँ p और q अभाज्य संख्याएँ हैं, और a और b ऋणात्मक और धनात्मक संख्याएँ हैं | गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, तो G हल करने योग्य समूह है। इसलिए प्रत्येक गैर-एबेलियन परिमित सरल समूह में कम से कम तीन अलग-अलग प्राइम्स द्वारा विभाज्य क्रम है।

फीट-थॉम्पसन प्रमेय

फीट-थॉम्पसन प्रमेय, या विषम क्रम प्रमेय, कहता है कि विषम क्रम (समूह सिद्धांत) का प्रत्येक परिमित समूह (गणित) हल करने योग्य समूह है। द्वारा सिद्ध किया गया Walter Feit and John Griggs Thompson (1962, 1963)

परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण

परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण एक प्रमेय है जिसमें कहा गया है कि परिमित सरल समूहों की प्रत्येक सूची निम्नलिखित परिवारों में से एक है:

प्राइम ऑर्डर वाला एक चक्रीय समूह;
डिग्री का एक वैकल्पिक समूह कम से कम 5;
झूठ प्रकार का समूह;
26 छिटपुट समूहों में से एक;
स्तन समूह (कभी-कभी 27वां छिटपुट समूह माना जाता है)।

परिमित सरल समूहों को सभी परिमित समूहों के बुनियादी निर्माण खंडों के रूप में देखा जा सकता है, एक तरह से यह याद दिलाता है कि अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के मूल निर्माण खंड हैं। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय परिमित समूहों के बारे में इस तथ्य को बताने का एक अधिक सटीक तरीका है। हालांकि, पूर्णांक गुणनखंडन के मामले के संबंध में एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि ऐसे बिल्डिंग ब्लॉक अनिवार्य रूप से एक समूह को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं करते हैं, क्योंकि एक ही संरचना श्रृंखला के साथ कई गैर-आइसोमोर्फिक समूह हो सकते हैं या दूसरे तरीके से समूह विस्तार कर सकते हैं। #विस्तार की समस्या का कोई अनूठा समाधान नहीं है।

प्रमेय के प्रमाण में लगभग 100 लेखकों द्वारा लिखे गए कई सौ जर्नल लेखों में हजारों पृष्ठ शामिल हैं, जो ज्यादातर 1955 और 2004 के बीच प्रकाशित हुए थे। डेनियल गोरेंस्टीन (d.1992), रिचर्ड लियोन (गणितज्ञ), और रोनाल्ड सोलोमन धीरे-धीरे प्रकाशित हो रहे हैं। सबूत का एक सरलीकृत और संशोधित संस्करण।

दिए गए क्रम के समूहों की संख्या

एक सकारात्मक पूर्णांक n दिया गया है, यह निर्धारित करने के लिए बिल्कुल भी नियमित मामला नहीं है कि समूह क्रम n के कितने समरूपता प्रकार के समूह हैं। अभाज्य संख्या क्रम का प्रत्येक समूह चक्रीय समूह है, क्योंकि लैग्रेंज की प्रमेय (समूह सिद्धांत) | लैग्रेंज की प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी गैर-पहचान तत्वों द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह संपूर्ण समूह है। यदि n एक अभाज्य का वर्ग है, तो क्रम n के समूह के वास्तव में दो संभावित समरूपता प्रकार हैं, जो दोनों एबेलियन हैं। यदि n एक प्रधान की एक उच्च शक्ति है, तो ग्राहम हिगमैन और चार्ल्स सिम्स (गणितज्ञ) के परिणाम क्रम n के समरूपता प्रकार के समूहों की संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से सही अनुमान देते हैं, और शक्ति बढ़ने पर संख्या बहुत तेज़ी से बढ़ती है।

n के प्रधान गुणनखंड के आधार पर, क्रम n के समूहों की संरचना पर कुछ प्रतिबंध लगाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, सिलो प्रमेय जैसे परिणाम। उदाहरण के लिए, आदेश pq का प्रत्येक समूह चक्रीय होता है जब q < p के साथ अभाज्य हैं p − 1 क्यू से विभाज्य नहीं। एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त के लिए चक्रीय संख्या (समूह सिद्धांत) देखें।

यदि n वर्ग रहित पूर्णांक है, तो क्रम n का कोई भी समूह हल करने योग्य है। बर्नसाइड के प्रमेय, चरित्र सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध किया गया है, जिसमें कहा गया है कि क्रम n का प्रत्येक समूह हल करने योग्य है, जब n तीन अलग-अलग अभाज्यों से कम से विभाज्य है, अर्थात यदि n = p^aq^b, जहाँ p और q अभाज्य संख्याएँ हैं, और a और b गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। फीट-थॉम्पसन प्रमेय द्वारा, जिसका एक लंबा और जटिल प्रमाण है, क्रम n का प्रत्येक समूह हल करने योग्य होता है जब n विषम होता है।

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, क्रम n के अधिकांश समूह हल करने योग्य समूह हैं। किसी विशेष क्रम के लिए इसे देखना आमतौर पर मुश्किल नहीं होता है (उदाहरण के लिए, समरूपता तक, एक गैर-सॉल्वेबल ग्रुप और ऑर्डर 60 के 12 सॉल्वेबल ग्रुप हैं) लेकिन सभी ऑर्डर के लिए इसका प्रमाण परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करता है . किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए क्रम n के अधिक से अधिक दो सरल समूह होते हैं, और असीम रूप से कई धनात्मक पूर्णांक n होते हैं जिनके लिए क्रम n के दो गैर-समरूपी सरल समूह होते हैं।

=== क्रम n === के विशिष्ट समूहों की तालिका

Order n	# Groups^[8]	Abelian	Non-Abelian
0	0	0	0
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0
26	2	1	1
27	5	3	2
28	4	2	2
29	1	1	0
30	4	1	3

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Aschbacher, Michael (2004). "परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण की स्थिति" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. Vol. 51, no. 7. pp. 736–740.
↑ Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
↑ Group Theory and its Application to Chemistry The Chemistry LibreTexts library
↑ Jacobson 2009, p. 31
↑ Jacobson 2009, p. 41
↑ Jacobson 2009, p. 38
↑ Jacobson 2009, p. 72, ex. 1
↑ Humphreys, John F. (1996). A Course in Group Theory. Oxford University Press. pp. 238–242. ISBN 0198534590. Zbl 0843.20001.

अग्रिम पठन

Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (2nd ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

क्रमपरिवर्तन समूह
साधारण समूह
सामान्य रैखिक समूह
द्विभाजन
समारोह रचना
आदेश (समूह सिद्धांत)
एकता की आदिम जड़
लीनियर अलजेब्रा
ऑटोमोर्फिज्म समूह
क्षेत्र (गणित)
अर्ध-सरल झूठ समूह
नकारात्मक और सकारात्मक संख्या
परिमित सरल समूहों की सूची
रिचर्ड ल्योंस (गणितज्ञ)
साइलो प्रमेय
समूह आदेश
समाकृतिकता
वर्ग मुक्त पूर्णांक
परिमित अंगूठी
पी समूह

बाहरी संबंध

OEIS sequence A000001 (Number of groups of order n)
OEIS sequence A000688 (Number of Abelian groups of order n)
OEIS sequence A060689 (Number of non-Abelian groups of order n)
Small groups on GroupNames
A classifier for groups of small order

[1] Aschbacher, Michael (2004). "परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण की स्थिति" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. Vol. 51, no. 7. pp. 736–740.

[2] Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.

[3] Group Theory and its Application to Chemistry The Chemistry LibreTexts library

[Jacobson-def-4] Jacobson 2009, p. 31

[5] Jacobson 2009, p. 41

[6] Jacobson 2009, p. 38

[7] Jacobson 2009, p. 72, ex. 1

[8] Humphreys, John F. (1996). A Course in Group Theory. Oxford University Press. pp. 238–242. ISBN 0198534590. Zbl 0843.20001.

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