तृतीय अवकलज

कलन में, गणित की एक शाखा, तीसरा व्युत्पन्न वह दर है जिस पर दूसरा व्युत्पन्न, या परिवर्तन की दर के परिवर्तन की दर बदल रही है। किसी फलन का तीसरा अवकलज (गणित) $y=f(x)$ द्वारा निरूपित किया जा सकता है

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad f'''(x),\quad {\text{or }}{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].$

अन्य नोटेशन का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन उपरोक्त सबसे आम हैं।

गणितीय परिभाषाएँ

होने देना $f(x)=x^{4}$. फिर $f'(x)=4x^{3}$ तथा $f''(x)=12x^{2}$. इसलिए, एफ का तीसरा व्युत्पन्न है, इस मामले में,

$f'''(x)=24x$

या, लीबनिज संकेतन का उपयोग करते हुए,

${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x.$

अब अधिक सामान्य परिभाषा के लिए। मान लीजिए f, x का कोई फलन है जैसे कि f  अवकलनीय है। फिर एफ का तीसरा व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है

${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={\frac {d}{dx}}[f''(x)].$

तीसरा व्युत्पन्न वह दर है जिस पर दूसरा व्युत्पन्न (f′′(x)) बदल रहा है।

ज्यामिति में अनुप्रयोग

विभेदक ज्यामिति में, एक वक्र का मरोड़ - तीन आयामों में घटता का एक मूलभूत गुण - वक्र का वर्णन करने वाले समन्वय कार्यों (या स्थिति वेक्टर) के तीसरे डेरिवेटिव का उपयोग करके गणना की जाती है।

भौतिकी में अनुप्रयोग

Main article: Jerk (physics)

भौतिकी में, विशेष रूप से गतिकी में, झटके को किसी वस्तु के स्थिति समारोह के तीसरे व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह अनिवार्य रूप से वह दर है जिस पर त्वरण बदलता है। गणितीय शब्दों में:

$\mathbf {j} (t)={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}$

जहाँ j(t) समय के संबंध में झटका कार्य है, और r(t) समय के संबंध में वस्तु का स्थिति कार्य है।

आर्थिक उदाहरण

कार्यालय में दूसरे कार्यकाल के लिए प्रचार करते समय, अमेरिकी राष्ट्रपति निक्सन ने घोषणा की कि मुद्रास्फीति की वृद्धि की दर कम हो रही है, जिसे पहली बार देखा गया है कि एक मौजूदा राष्ट्रपति ने अपने मामले को फिर से चुनाव के लिए आगे बढ़ाने के लिए तीसरे डेरिवेटिव का इस्तेमाल किया। चूँकि मुद्रास्फीति स्वयं एक व्युत्पन्न है - वह दर जिस पर धन की क्रय शक्ति घट जाती है - तब मुद्रास्फीति की वृद्धि की दर मुद्रास्फीति की व्युत्पत्ति है, दूसरी बार धन की क्रय शक्ति के व्युत्पन्न के संकेत के विपरीत। यह कहना कि एक फ़ंक्शन कम हो रहा है फ़ंक्शन यह बताने के बराबर है कि इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इसलिए निक्सन का कथन है कि मुद्रास्फीति का दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक है, और इसलिए क्रय शक्ति का तीसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है।

हालांकि, निक्सन के बयान ने मुद्रास्फीति की दर में वृद्धि की अनुमति दी, इसलिए उनका बयान स्थिर कीमतों का संकेत नहीं था जैसा कि लगता है।

जलवायु परिवर्तन पर अंतर सरकारी पैनल ने नीति निर्माताओं के लिए सारांश प्रकाशित किया जहां उन्होंने कहा कि विकास CO₂ उत्सर्जन धीमा हो गया है। चूंकि उत्सर्जन संचयी के व्युत्पन्न हैं CO₂ वातावरण में, उनके परिवर्तन की दर एक तीसरा व्युत्पन्न है।

यह भी देखें

• एबरेंसी (ज्यामिति)
• व्युत्पन्न (गणित)
• दूसरा व्युत्पन्न

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