तीसरा व्युत्पन्न

गणना में, गणित की एक शाखा, तीसरा व्युत्पन्न या तीसरे क्रम का व्युत्पन्न वह दर है जिस पर दूसरा व्युत्पन्न, या परिवर्तन की दर में परिवर्तन की दर बदल रही है। किसी फ़ंक्शन का तीसरा व्युत्पन्न (गणित) $y=f(x)$ द्वारा निरूपित किया जा सकता है

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad f'''(x),\quad {\text{or }}{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].

अन्य नोटेशन का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन उपरोक्त सबसे आम हैं।

गणितीय परिभाषाएँ

होने देना $f(x)=x^{4}$ . तब $f'(x)=4x^{3}$ और $f''(x)=12x^{2}$ . इसलिए, इस मामले में, f का तीसरा अवकलज है,

f'''(x)=24x

या, लीबनिज संकेतन का उपयोग करते हुए,

{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x.

अब अधिक सामान्य परिभाषा के लिए। मान लीजिए f, x का कोई फलन है जैसे कि f ′′ अवकलनीय है। फिर f का तीसरा अवकलज इस प्रकार दिया जाता है

{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={\frac {d}{dx}}[f''(x)].

तीसरा व्युत्पन्न वह दर है जिस पर दूसरा व्युत्पन्न (f(x)) बदल रहा है।

ज्यामिति में अनुप्रयोग

विभेदक ज्यामिति में, वक्र का मरोड़ - तीन आयामों में वक्रों की एक मौलिक संपत्ति - की गणना वक्र का वर्णन करने वाले समन्वय कार्यों (या स्थिति वेक्टर) के तीसरे डेरिवेटिव का उपयोग करके की जाती है।^[1]

भौतिकी में अनुप्रयोग

भौतिकी में, विशेष रूप से गतिकी में, झटके को किसी वस्तु की स्थिति फ़ंक्शन के तीसरे व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। यह, अनिवार्य रूप से, वह दर है जिस पर त्वरण बदलता है। गणितीय शब्दों में:

\mathbf {j} (t)={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}

जहां j(t) समय के संबंध में झटका फ़ंक्शन है, और r(t) समय के संबंध में वस्तु का स्थिति फ़ंक्शन है।

आर्थिक उदाहरण

कार्यालय में दूसरे कार्यकाल के लिए प्रचार करते समय, अमेरिकी राष्ट्रपति निक्सन ने घोषणा की कि मुद्रास्फीति की वृद्धि दर कम हो रही है, जिसे पहली बार देखा गया है कि किसी मौजूदा राष्ट्रपति ने पुनर्निर्वाचन के लिए अपने मामले को आगे बढ़ाने के लिए तीसरे व्युत्पन्न का उपयोग किया है।^[2] चूँकि मुद्रास्फीति स्वयं एक व्युत्पन्न है - वह दर जिस पर धन की क्रय शक्ति घटती है - तो मुद्रास्फीति की वृद्धि दर मुद्रास्फीति की व्युत्पन्न है, जो धन की क्रय शक्ति के दूसरी बार व्युत्पन्न के संकेत के विपरीत है। यह कहना कि कोई फ़ंक्शन घटता हुआ फ़ंक्शन है, यह बताने के बराबर है कि इसका व्युत्पन्न नकारात्मक है, इसलिए निक्सन का कथन है कि मुद्रास्फीति का दूसरा व्युत्पन्न नकारात्मक है, और इसलिए क्रय शक्ति का तीसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है।

हालाँकि, निक्सन के बयान ने मुद्रास्फीति की दर को बढ़ने की अनुमति दी, इसलिए उनका बयान स्थिर कीमतों का उतना संकेतक नहीं था जितना लगता है।^{[citation needed]}

यह भी देखें

संदर्भ

↑ do Carmo, Manfredo (1976). वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति. ISBN 0-13-212589-7.
↑ Rossi, Hugo (October 1996). "गणित एक इमारत है, टूलबॉक्स नहीं" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 43 (10): 1108. Retrieved 13 November 2012.

[1] Carmo, Manfredo (1976). वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति. ISBN 0-13-212589-7.

[2] Rossi, Hugo (October 1996). "गणित एक इमारत है, टूलबॉक्स नहीं" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 43 (10): 1108. Retrieved 13 November 2012.

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