आश्रित विकल्प का सिद्धांत

गणित में, आश्रित विकल्प का अभिगृहीत, द्वारा निरूपित किया जाता है ${\mathsf {DC}}$, पसंद के सिद्धांत का एक कमजोर रूप है (${\mathsf {AC}}$) जो अभी भी अधिकांश वास्तविक विश्लेषण विकसित करने के लिए पर्याप्त है। इसे 1942 के एक लेख में पॉल बर्नेज़ द्वारा पेश किया गया था कि विश्लेषण विकसित करने के लिए रिवर्स गणित सेट-सैद्धांतिक सिद्धांतों की आवश्यकता होती है।

औपचारिक कथन

एक सजातीय संबंध $R$ पर $X$ प्रत्येक के लिए यदि कुल संबंध कहा जाता है $a\in X,$ वहाँ कुछ मौजूद है $b\in X$ ऐसा है कि $a\,R~b$ क्या सच है।

आश्रित विकल्प के सिद्धांत को इस प्रकार कहा जा सकता है: प्रत्येक गैररिक्त सेट के लिए (गणित) $X$ और हर कुल संबंध $R$ पर $X,$ वहाँ एक क्रम मौजूद है $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ में $X$ ऐसा है कि

$x_{n}\,R~x_{n+1}$ सभी के लिए $n\in \mathbb {N} .$

वास्तव में, एक्स₀ X के किसी भी वांछित तत्व के रूप में लिया जा सकता है। (इसे देखने के लिए, ऊपर बताए अनुसार स्वयंसिद्ध को x से शुरू होने वाले परिमित अनुक्रमों के सेट पर लागू करें।₀ और जिसमें बाद के पद संबंध में हैं $R$, साथ में दूसरे अनुक्रम के इस सेट पर कुल संबंध एक पद जोड़कर पहले से प्राप्त किया जा रहा है।)

यदि सेट $X$ उपरोक्त सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक सीमित है, तो परिणामी स्वयंसिद्ध को इसके द्वारा निरूपित किया जाता है ${\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.$

प्रयोग करें

ऐसे किसी स्वयंसिद्ध के बिना भी, किसी के लिए भी $n$, पहला बनाने के लिए कोई साधारण गणितीय प्रेरण का उपयोग कर सकता है $n$ ऐसे अनुक्रम की शर्तें. आश्रित विकल्प का सिद्धांत कहता है कि हम इस तरह से एक संपूर्ण (गणनीय अनंत) अनुक्रम बना सकते हैं।

स्वयंसिद्ध ${\mathsf {DC}}$ का टुकड़ा है ${\mathsf {AC}}$ यदि प्रत्येक चरण में एक विकल्प बनाना आवश्यक है और यदि उनमें से कुछ विकल्पों को पिछले विकल्पों से स्वतंत्र रूप से नहीं बनाया जा सकता है, तो गणनीय सेट लंबाई के ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा निर्मित अनुक्रम के अस्तित्व को दिखाने के लिए आवश्यक है।

समतुल्य कथन

ऊपर ${\mathsf {ZF}}$ (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल ने पसंद के सिद्धांत के बिना सिद्धांत सेट किया), ${\mathsf {DC}}$ संपूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए बेयर श्रेणी प्रमेय के समतुल्य है। यह भी समतुल्य है ${\mathsf {ZF}}$ लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के लिए।

${\mathsf {DC}}$ भी समतुल्य है ${\mathsf {ZF}}$ इस कथन के अनुसार कि प्रत्येक काटे गए पेड़ के साथ $\omega$ स्तरों की एक शाखा होती है (वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत) (प्रमाण नीचे दिया गया है)।

आगे, ${\mathsf {DC}}$ ज़ोर्न के लेम्मा के कमजोर रूप के बराबर है; विशेष रूप से ${\mathsf {DC}}$ इस कथन के समतुल्य है कि किसी भी आंशिक क्रम, जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है, में अधिकतम तत्व होना चाहिए।

Proof that $\,{\mathsf {DC}}\iff$ Every pruned tree with ω levels has a branch

$(\,\Longleftarrow \,)$ Let $R$ be an entire binary relation on $X$. The strategy is to define a tree $T$ on $X$ of finite sequences whose neighboring elements satisfy $R.$ Then a branch through $T$ is an infinite sequence whose neighboring elements satisfy $R.$ Start by defining $\langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T$ if $x_{k}R\,x_{k+1}$ for $0\leq k<n.$ Since $R$ is entire, $T$ is a pruned tree with $\omega$ levels. Thus, $T$ has a branch $\langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .$ So, for all $n\geq 0\!:$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,$ which implies $x_{n}R\,x_{n+1}.$ Therefore, ${\mathsf {DC}}$ is true. $(\,\Longrightarrow \,)$ Let $T$ be a pruned tree on $X$ with $\omega$ levels. The strategy is to define a binary relation $R$ on $T$ so that ${\mathsf {DC}}$ produces a sequence $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle$ where $t_{n}R\,t_{n+1}$ and $f(n)$ is a strictly increasing function. Then the infinite sequence $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ is a branch. (This proof only needs to prove this for $f(n)=m+n.$) Start by defining $u\,R\,v$ if $u$ is an initial subsequence of $v,\operatorname {length} (u)>0,\,$ and $\operatorname {length} (v)=$ $\operatorname {length} (u)+1.$ Since $T$ is a pruned tree with $\omega$ levels, $R$ is entire. Therefore, ${\mathsf {DC}}$ implies that there is an infinite sequence $t_{n}$ such that $t_{n}\,R\,t_{n+1}.$ Now $t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle$ for some $m\geq 0.$ Let $x_{m+n}$ be the last element of $t_{n}.$ Then $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .$ For all $k\geq 0,$ the sequence $\langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle$ belongs to $T$ because it is an initial subsequence of $t_{0}\,(k\leq m)$ or it is a $t_{n}\,(k\geq m).$ Therefore, $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ is a branch.

अन्य स्वयंसिद्धों के साथ संबंध

पूर्ण के विपरीत ${\mathsf {AC}}$, ${\mathsf {DC}}$ साबित करने के लिए अपर्याप्त है (दिया गया है)। ${\mathsf {ZF}}$) कि वास्तविक संख्याओं का एक गैर-मापने योग्य | गैर-मापने योग्य सेट है, या बेयर की संपत्ति के बिना या पूर्ण सेट संपत्ति के बिना वास्तविक संख्याओं का एक सेट है। इसका अनुसरण इसलिए किया जाता है क्योंकि कोकिला मॉडल संतुष्ट करता है ${\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}$, और इस मॉडल में वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक सेट लेब्सग मापने योग्य है, इसमें बेयर संपत्ति है और इसमें सही सेट संपत्ति है।

आश्रित पसंद का सिद्धांत गणनीय विकल्प के सिद्धांत का तात्पर्य है और सख्ती से मजबूत है। अनंत अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए स्वयंसिद्ध को सामान्य बनाना संभव है। यदि इन्हें मनमाने ढंग से लंबा करने की अनुमति दी जाती है, तो यह पसंद के पूर्ण सिद्धांत के बराबर हो जाता है।

संदर्भ

• Jech, Thomas (2003). Set Theory (Third Millennium ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.