इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म

गणित में, एक इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म एक फंक्शन (गणित) को उसके मूल फंक्शन स्पेस से इंटीग्रल के जरिए दूसरे फंक्शन स्पेस में मैप करता है, जहां ओरिजिनल फंक्शन के कुछ गुणों को ओरिजिनल फंक्शन स्पेस की तुलना में अधिक आसानी से चित्रित और हेरफेर किया जा सकता है। रूपांतरित फ़ंक्शन को आम तौर पर 'उलटा परिवर्तन' का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन स्थान पर वापस मैप किया जा सकता है।

सामान्य रूप

एक अभिन्न परिवर्तन किसी भी परिवर्तन (फ़ंक्शन) है $T$ निम्नलिखित फॉर्म में से:

(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt

इस परिवर्तन का इनपुट एक फ़ंक्शन (गणित) है $f$ , और आउटपुट एक और फ़ंक्शन है $Tf$ . एक अभिन्न परिवर्तन एक विशेष प्रकार का गणितीय ऑपरेटर (गणित) है।

कई उपयोगी अभिन्न परिवर्तन हैं। प्रत्येक फ़ंक्शन की पसंद द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है $K$ दो चर (गणित), कर्नेल फ़ंक्शन, अभिन्न कर्नेल या परिवर्तन के नाभिक।

कुछ गुठली में एक संबद्ध उलटा कर्नेल होता है $K^{-1}(u,t)$ जो (मोटे तौर पर बोलना) एक व्युत्क्रम परिवर्तन उत्पन्न करता है:

f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du

एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों के क्रमपरिवर्तन पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल फ़ंक्शन है $K$ ऐसा है कि $K(t,u)=K(u,t)$ . अभिन्न समीकरणों के सिद्धांत में, सममित गुठली स्व-संयोजक ऑपरेटरों के अनुरूप होती है।^[1]

प्रेरणा

समस्याओं के कई वर्ग हैं जिन्हें हल करना मुश्किल है - या कम से कम काफी बोझिल बीजगणितीय रूप से - उनके मूल प्रतिनिधित्व में। एक इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म एक समीकरण को उसके मूल डोमेन से दूसरे डोमेन में मैप करता है, जिसमें मूल डोमेन की तुलना में समीकरण को जोड़ना और हल करना बहुत आसान हो सकता है। समाधान को फिर से मूल डोमेन में इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म के व्युत्क्रम के साथ मैप किया जा सकता है।

संभाव्यता के कई अनुप्रयोग हैं जो अभिन्न परिवर्तनों पर निर्भर करते हैं, जैसे मूल्य निर्धारण कर्नेल या स्टोकेस्टिक छूट कारक, या मजबूत आंकड़ों से पुनर्प्राप्त डेटा की चिकनाई; कर्नेल (आंकड़े) देखें।

इतिहास

परिमित अंतराल में कार्यों को व्यक्त करने के लिए परिवर्तनों के अग्रदूत फूरियर श्रृंखला थे। बाद में परिमित अंतराल की आवश्यकता को दूर करने के लिए फूरियर रूपांतरण विकसित किया गया था।

फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समय के किसी भी व्यावहारिक कार्य के बारे में (उदाहरण के लिए इलेक्ट्रॉनिक उपकरण के टर्मिनलों में वोल्टेज) को साइन और कोसाइन के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, प्रत्येक उपयुक्त रूप से स्केल किया गया (एक स्थिर कारक से गुणा), स्थानांतरित (उन्नत) या समय में मंद) और निचोड़ा या फैला हुआ (आवृत्ति बढ़ाना या घटाना)। फूरियर श्रृंखला में साइन और कोसाइन एक ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक उदाहरण है।

उपयोग उदाहरण

अभिन्न परिवर्तनों के अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में, लाप्लास परिवर्तन पर विचार करें। यह एक ऐसी तकनीक है जो समय क्षेत्र में डिफरेंशियल इक्वेशन या इंटीग्रो-डिफरेंशियल इक्वेशन को मैप करती है| बहुपद समीकरणों में टाइम डोमेन को फ़्रीक्वेंसी डोमेन कहा जाता है| जटिल आवृत्ति डोमेन। (जटिल आवृत्ति वास्तविक, भौतिक आवृत्ति के समान है, बल्कि अधिक सामान्य है। विशेष रूप से, जटिल आवृत्ति s = −σ + iω का काल्पनिक घटक आवृत्ति की सामान्य अवधारणा से मेल खाता है, अर्थात, वह दर जिस पर एक साइनसॉइड चक्र, जबकि जटिल आवृत्ति का वास्तविक घटक अवमंदन की डिग्री से मेल खाता है, अर्थात आयाम की घातीय कमी। फ़्रीक्वेंसी डोमेन समय डोमेन में eigenvalues के अनुरूप होता है), जिससे फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक समाधान तैयार होता है। व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को नियोजित करना, अर्थात, मूल लाप्लास परिवर्तन की व्युत्क्रम प्रक्रिया, एक समय-डोमेन समाधान प्राप्त करता है। इस उदाहरण में, जटिल फ़्रीक्वेंसी डोमेन में बहुपद (आमतौर पर हर में होने वाले) टाइम डोमेन में पावर सीरीज़ के अनुरूप होते हैं, जबकि कॉम्प्लेक्स फ़्रीक्वेंसी डोमेन में अक्षीय बदलाव टाइम डोमेन में घातीय घातांक को कम करके डंपिंग के अनुरूप होते हैं।

लाप्लास परिवर्तन भौतिकी और विशेष रूप से इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग पाता है, जहां जटिल आवृत्ति डोमेन में एक इलेक्ट्रिक सर्किट के व्यवहार का वर्णन करने वाले विशेषता समीकरण (कैलकुलस) समय में घातीय रूप से स्केल किए गए और समय-स्थानांतरित नम साइनसॉइड के रैखिक संयोजनों के अनुरूप होते हैं। कार्यक्षेत्र। अन्य अभिन्न परिवर्तन अन्य वैज्ञानिक और गणितीय विषयों के भीतर विशेष प्रयोज्यता पाते हैं।

एक अन्य उपयोग उदाहरण पथ अभिन्न सूत्रीकरण में कर्नेल है # क्वांटम यांत्रिकी में पथ अभिन्न:

\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.

यह बताता है कि कुल आयाम $\psi (x,t)$ पर पहुँचने के लिए $(x,t)$ सभी संभावित मानों का योग (अभिन्न) है $x'$ कुल आयाम का $\psi (x',t')$ बिंदु पर पहुंचने के लिए $(x',t')$ से जाने के आयाम से गुणा किया जाता है $x'$ प्रति $x$ [अर्थात। $K(x,t;x',t')$ ].^[2] इसे अक्सर किसी दिए गए सिस्टम के लिए प्रचारक के रूप में जाना जाता है। यह (भौतिकी) कर्नेल इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म का कर्नेल है। हालाँकि, प्रत्येक क्वांटम सिस्टम के लिए, एक अलग कर्नेल होता है।^[3]

परिवर्तन की तालिका

Table of integral transforms
Transform	Symbol	K	f(t)	t₁	t₂	K⁻¹	u₁	u₂
Abel transform	F, f	${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		u	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$ ^[4]	t	$\infty$
Associated Legendre transform	${\mathcal {J}}_{n,m}$	$(1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Fourier transform	${\mathcal {F}}$	$e^{-2\pi iut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$e^{2\pi iut}$	$-\infty$	$\infty$
Fourier sine transform	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
Fourier cosine transform	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	0	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	0	$\infty$
Hankel transform		$t\,J_{\nu }(ut)$		0	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	0	$\infty$
Hartley transform	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Hermite transform	$H$	$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
Hilbert transform	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
Jacobi transform	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Laguerre transform	$L$	$e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
Laplace transform	${\mathcal {L}}$	e^−ut		0	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Legendre transform	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Mellin transform	${\mathcal {M}}$	t^u−1		0	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$ ^[5]	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Two-sided Laplace transform	${\mathcal {B}}$	e^−ut		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Poisson kernel		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		0	2π
Radon Transform	Rƒ			$-\infty$	$\infty$
Weierstrass transform	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
X-ray transform	Xƒ			$-\infty$	$\infty$

प्रतिलोम रूपांतरण के लिए समाकलन की सीमा में c एक नियतांक है जो परिवर्तन फलन की प्रकृति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक और दो तरफा लैपलेस ट्रांसफ़ॉर्म के लिए, c ट्रांसफ़ॉर्म फ़ंक्शन के शून्य के सबसे बड़े वास्तविक भाग से बड़ा होना चाहिए।

ध्यान दें कि फूरियर रूपांतरण के लिए वैकल्पिक संकेतन और परंपराएं हैं।

विभिन्न डोमेन

यहां वास्तविक संख्याओं पर कार्यों के लिए अभिन्न परिवर्तनों को परिभाषित किया गया है, लेकिन उन्हें समूह पर कार्यों के लिए अधिक सामान्य रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

यदि इसके बजाय कोई सर्कल (आवधिक कार्यों) पर कार्यों का उपयोग करता है, तो एकीकरण कर्नेल तो द्विपक्षीय कार्य होते हैं; सर्कल पर फ़ंक्शंस द्वारा कनवल्शन सर्कुलर कनवल्शन देता है।
यदि कोई क्रम n के चक्रीय समूह पर कार्यों का उपयोग करता है ( $C n$ या $Z / n Z$ ), एक एकीकरण कर्नेल के रूप में n × n मैट्रिक्स प्राप्त करता है; कनवल्शन सर्कुलर मैट्रिसेस से मेल खाता है।

सामान्य सिद्धांत

हालाँकि अभिन्न परिवर्तनों के गुण व्यापक रूप से भिन्न होते हैं, लेकिन उनमें कुछ गुण समान होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म एक लीनियर ऑपरेटर होता है, क्योंकि इंटीग्रल एक लीनियर ऑपरेटर होता है, और वास्तव में अगर कर्नेल को एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन होने की अनुमति दी जाती है, तो सभी लीनियर ऑपरेटर इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म होते हैं (इस कथन का एक उचित रूप से तैयार किया गया संस्करण श्वार्ट्ज है। कर्नेल प्रमेय)।

ऐसे अभिन्न समीकरणों के सामान्य सिद्धांत को फ्रेडहोम सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत में, कर्नेल को कार्यों के एक Banach स्थान पर कार्य करने वाला एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर समझा जाता है। स्थिति के आधार पर, कर्नेल को विभिन्न रूप से फ़्रेडहोम ऑपरेटर, न्यूक्लियर ऑपरेटर या फ़्रेडहोम कर्नेल के रूप में संदर्भित किया जाता है।

यह भी देखें

बेटमैन ट्रांसफॉर्म
कनवल्शन कर्नेल
सर्कुलर कनवल्शन
परिसंचारी मैट्रिक्स
विभेदक समीकरण
कर्नेल विधि
परिवर्तन की सूची
ऑपरेटरों की सूची
फूरियर से संबंधित परिवर्तनों की सूची
नचबिन का प्रमेय
गैर स्थानीय ऑपरेटर
पुनरुत्पादन कर्नेल
प्रतीकात्मक एकीकरण

संदर्भ

↑ Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)
↑ Eq 3.42 in Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, emended edition:
↑ Mathematically, what is the kernel in path integral?
↑ Assuming the Abel transform is not discontinuous at $u$ .
↑ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

रैखिक फिल्टर
खास समय
मूर्ति प्रोद्योगिकी
सिग्नल (इलेक्ट्रॉनिक्स)
करणीय
बहुपदीय फलन
एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर
चरण विलंब
स्थानांतरण प्रकार्य
लगातार कश्मीर फिल्टर
लो पास फिल्टर
अंतःप्रतीक हस्तक्षेप
युग्मित उपकरण को चार्ज करें
गांठदार तत्व
फ़िल्टर (प्रकाशिकी)
पतली फिल्म थोक ध्वनिक गुंजयमान यंत्र
लोहा
परमाणु घड़ी
कनवल्शन प्रमेय
फुरियर रूपांतरण
लहर (फ़िल्टर)
मिश्रित संकेत एकीकृत परिपथ
एकीकृत परिपथ
नमूनाकरण दर
घबराना
शोर अनुपात का संकेत
बैंड से बाहर
शोर आकार देने वाला
श्वेत रव
बिजली का मीटर
अंतर अरैखिकता
अभिन्न अरैखिकता
डिज़िटाइज़ेशन
नमूनाचयन आवृत्ति
COMPARATOR
ब्रॉडबैंड संचार
मरो (एकीकृत सर्किट)
सॉटूथ वेव
सतत प्रवाह
वजन नापने का पैमाना
एडीसी को एकीकृत करना
नकली मुक्त गतिशील रेंज
सिग्नल क्षमता
टोटल हार्मोनिक डिस्टोर्शन

अग्रिम पठन

A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
R. K. M. Thambynayagam, The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
"Integral transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

[1] Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)

[2] Eq 3.42 in Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, emended edition:

[3] Mathematically, what is the kernel in path integral?

[4] Assuming the Abel transform is not discontinuous at $u$ .

[5] Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.

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