त्रिगुण उत्पाद नियम

त्रिगुण उत्पाद नियम, जिसे चक्रीय श्रृंखला नियम, चक्रीय संबंध, चक्रीय नियम या यूलर श्रृंखला नियम के रूप में जाना जाता है, एक सूत्र है जो तीन अन्योन्याश्रित चर के आंशिक व्युत्पन्न से संबंधित है। यह नियम ऊष्मप्रवैगिकी में लागू होता है, जहां अक्सर तीन चर f(x, y, z) = 0 के रूप के एक फ़ंक्शन से संबंधित हो सकते हैं, इसलिए प्रत्येक चर को अन्य दो चर के एक अंतर्निहित फ़ंक्शन के रूप में दिया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी तरल पदार्थ की अवस्था का समीकरण तापमान, दबाव और आयतन को इस प्रकार से संबंधित करता है। ऐसे परस्पर संबंधित चर x, y, और z के लिए ट्रिपल उत्पाद नियम एक व्युत्क्रम कार्यों और अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय के परिणाम पर भेदभाव का उपयोग करने से आता है, और इसके द्वारा दिया जाता है

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1,$

जहां प्रत्येक कारक अंश में चर का आंशिक व्युत्पन्न है, जिसे अन्य दो का एक कार्य माना जाता है।

ट्रिपल उत्पाद नियम का लाभ यह है कि शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करके, कोई व्यक्ति कई प्रतिस्थापन पहचान प्राप्त कर सकता है जो किसी को आंशिक डेरिवेटिव को प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है जो विश्लेषणात्मक रूप से मूल्यांकन करना, प्रयोगात्मक रूप से मापना मुश्किल होता है, या आंशिक डेरिवेटिव के भागफल के साथ एकीकृत होता है जिसके साथ काम करना आसान होता है। उदाहरण के लिए,

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}}$

नियम के विभिन्न अन्य रूप साहित्य में मौजूद हैं; इन्हें चरों {x, y, z} को क्रमपरिवर्तित करके प्राप्त किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

एक अनौपचारिक व्युत्पत्ति निम्नानुसार है। मान लीजिए कि f(x, y, z) = 0. z को x और y के फलन के रूप में लिखें। इस प्रकार कुल अंतर dz है

$dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)dy$

मान लीजिए कि हम dz = 0 के साथ एक वक्र के साथ चलते हैं, जहां वक्र को x द्वारा मानकीकृत किया जाता है। इस प्रकार इस वक्र पर y को x के पदों में लिखा जा सकता है

$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx$

इसलिए, dz = 0 के लिए समीकरण बन जाता है

$0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,dx$

चूँकि यह सभी dx के लिए सत्य होना चाहिए, शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने से पता चलता है

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)$

दायीं ओर के डेरिवेटिव द्वारा विभाजित करने पर त्रिगुण उत्पाद नियम प्राप्त होता है

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1$

ध्यान दें कि यह प्रमाण आंशिक डेरिवेटिव के अस्तित्व, सटीक अंतर dz के अस्तित्व, dz = 0 के साथ कुछ पड़ोस (गणित) में एक वक्र बनाने की क्षमता और आंशिक डेरिवेटिव और उनके पारस्परिक के गैर-शून्य मान के बारे में कई अंतर्निहित धारणाएं बनाता है। गणितीय विश्लेषण पर आधारित एक औपचारिक प्रमाण इन संभावित अस्पष्टताओं को समाप्त कर देगा।

वैकल्पिक व्युत्पत्ति

मान लीजिए कोई फ़ंक्शन f(x, y, z) = 0, कहाँ x, y, और z एक दूसरे के कार्य हैं। चरों का सटीक अंतर लिखिए

$$dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)dy+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$$

$$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz$$

विकल्प dy में dx

$$dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left[\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz\right]+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करके कोई का गुणांक दिखा सकता है dx दाहिनी ओर एक के बराबर है, इस प्रकार का गुणांक dzशून्य होना चाहिए

$$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)=0$$

दूसरे पद को घटाने और उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर त्रिगुण गुणनफल नियम प्राप्त होता है

$$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1.$$

अनुप्रयोग

उदाहरण: आदर्श गैस कानून

आदर्श गैस कानून दबाव (पी), आयतन (वी), और तापमान (टी) के राज्य चर से संबंधित है

$PV=nRT$

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

$f(P,V,T)=PV-nRT=0$

इसलिए प्रत्येक राज्य चर को अन्य राज्य चर के अंतर्निहित कार्य के रूप में लिखा जा सकता है:

${\begin{aligned}P&=P(V,T)={\frac {nRT}{V}}\\[1em]V&=V(P,T)={\frac {nRT}{P}}\\[1em]T&=T(P,V)={\frac {PV}{nR}}\end{aligned}}$

उपरोक्त भावों से, हमारे पास है

${\begin{aligned}-1&=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{V^{2}}}\right)\left({\frac {nR}{P}}\right)\left({\frac {V}{nR}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{PV}}\right)\\[1em]&=-{\frac {P}{P}}=-1\end{aligned}}$

ज्यामितीय बोध

समय t (ठोस रेखा) और t+Δt (धराशायी रेखा) पर यात्रा तरंग की प्रोफ़ाइल। समय अंतराल Δt में, बिंदु p₂ उसी ऊँचाई तक उठेगा जो प₁ समय पर था टी.

त्रिगुण उत्पाद नियम का एक ज्यामितीय अहसास यात्रा तरंग के वेग के साथ इसके घनिष्ठ संबंधों में पाया जा सकता है

$\phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)$

समय t (ठोस नीली रेखा) पर दाईं ओर और थोड़े समय बाद t+Δt (धराशायी) दिखाया गया है। तरंग फैलते समय अपना आकार बनाए रखती है, ताकि समय t पर स्थिति x पर एक बिंदु समय t+Δt पर स्थिति x+Δx पर एक बिंदु के अनुरूप होगा,

$A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t)).$

यह समीकरण केवल सभी x और t के लिए संतुष्ट हो सकता है यदि k Δx − ω Δt = 0, जिसके परिणामस्वरूप चरण वेग का सूत्र प्राप्त होता है

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.$

त्रिगुण उत्पाद नियम के साथ संबंध को स्पष्ट करने के लिए, बिंदु p पर विचार करें₁ समय t और उसके संगत बिंदु (समान ऊंचाई के साथ) p̄ पर₁ t+Δt पर। पी को परिभाषित करें₂ समय t पर उस बिंदु के रूप में जिसका x-निर्देशांक p̄ से मेल खाता है₁, और p̄ को परिभाषित करें₂ p का ​​संगत बिंदु होना₂ जैसा कि दाहिनी ओर चित्र में दिखाया गया है। पी के बीच की दूरी Δx₁ और पी̄₁ पी के बीच की दूरी के समान है₂ और पी̄₂ (हरी रेखाएं), और इस दूरी को Δt से विभाजित करने पर तरंग की गति प्राप्त होती है।

Δx की गणना करने के लिए, p पर गणना किए गए दो आंशिक व्युत्पन्नों पर विचार करें₂,

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t={\text{rise from }}p_{2}{\text{ to }}{\bar {p}}_{1}{\text{ in time }}\Delta t{\text{ (gold line)}}$

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)={\text{slope of the wave (red line) at time }}t.$

इन दो आंशिक व्युत्पन्नों को विभाजित करने और ढलान की परिभाषा (रन द्वारा विभाजित वृद्धि) का उपयोग करने से हमें वांछित सूत्र मिलता है

$\Delta x=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}},$

जहां नकारात्मक चिह्न इस तथ्य को दर्शाता है कि पी₁ पी के पीछे स्थित है₂ तरंग की गति के सापेक्ष. इस प्रकार, तरंग का वेग निम्न द्वारा दिया जाता है

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.$

अतिसूक्ष्म Δt के लिए, ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)$ और हम त्रिगुण उत्पाद नियम को पुनः प्राप्त करते हैं

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.$

यह भी देखें

• Differentiation rules
• Exact differential (त्रिगुण उत्पाद नियम की एक और व्युत्पत्ति है)
• Product rule
• Total derivative
• Triple product और अदिश।

संदर्भ

• Elliott, J. R.; Lira, C. T. (1999). Introductory Chemical Engineering Thermodynamics (1st ed.). Prentice Hall. p. 184. ISBN 0-13-011386-7.
• Carter, Ashley H. (2001). Classical and Statistical Thermodynamics. Prentice Hall. p. 392. ISBN 0-13-779208-5.