Difference between revisions of "एम्बेडिंग"
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{{Short description|Inclusion of one mathematical structure in another, preserving properties of interest}} | {{Short description|Inclusion of one mathematical structure in another, preserving properties of interest}} | ||
गणित में एंबेडिंग[[ गणितीय संरचना | गणितीय संरचना]] का एक उदाहरण है<ref>{{harvnb|Spivak|1999|page=49}} suggests that "the English" (i.e. the British) use "embedding" instead of "imbedding".</ref> जो किसी अन्य उदाहरण में समाहित है, जैसे | गणित में एंबेडिंग[[ गणितीय संरचना | गणितीय संरचना]] का एक उदाहरण है<ref>{{harvnb|Spivak|1999|page=49}} suggests that "the English" (i.e. the British) use "embedding" instead of "imbedding".</ref> जो किसी अन्य उदाहरण में समाहित है, जैसे [[ समूह (गणित) |समूह]] जो [[ उपसमूह |उपसमूह]] है। | ||
जब किसी <math>X</math> वस्तु को <math>Y</math> वस्तु में एम्बेड किया जाता है तब एम्बेडिंग में [[ इंजेक्शन समारोह | एकैकी समारोह]] और संरचना-संरक्षण मानचित्र द्वारा दी जाती है <math>f:X\rightarrow Y</math>. संरचना-संरक्षण का अर्थ उस गणितीय संरचना पर निर्भर करता है जिसका उदाहरण <math>X</math> तथा <math>Y</math> हैं। [[ श्रेणी सिद्धांत |श्रेणी सिद्धांत]] में, संरचना-संरक्षण मानचित्र को रूपवाद कहा जाता है। | जब किसी <math>X</math> वस्तु को <math>Y</math> वस्तु में एम्बेड किया जाता है तब एम्बेडिंग में [[ इंजेक्शन समारोह | एकैकी समारोह]] और संरचना-संरक्षण मानचित्र द्वारा दी जाती है <math>f:X\rightarrow Y</math>. संरचना-संरक्षण का अर्थ उस गणितीय संरचना पर निर्भर करता है जिसका उदाहरण <math>X</math> तथा <math>Y</math> हैं। [[ श्रेणी सिद्धांत |श्रेणी सिद्धांत]] में, संरचना-संरक्षण मानचित्र को रूपवाद कहा जाता है। | ||
तथ्य यह है कि | तथ्य यह है कि नक़्शे में <math>f:X\rightarrow Y</math> एम्बेडिंग है जिसे अधिकांश हुक किए गए तीर के उपयोग द्वारा संकेत किया जाता है ({{unichar|21AA|हुक के साथ दाईं ओर तीर|ulink=Unicode}});<ref name="Unicode Arrows">{{cite web| title = तीर - यूनिकोड| url = https://www.unicode.org/charts/PDF/U2190.pdf| access-date = 2017-02-07}}</ref> इस प्रकार: <math> f : X \hookrightarrow Y.</math> (यह अंकन कभी-कभी समावेशन नक्शो के लिए आरक्षित होता है।) | ||
X और Y को देखते हुए, X के Y में | X और Y को देखते हुए, X के Y में भिन्न-भिन्न एम्बेडिंग संभव हो सकते हैं। ब्याज के विषयों में मानक एम्बेडिंग होता है, जैसे कि [[ पूर्णांक |पूर्णांकों]] में [[ प्राकृतिक संख्या | प्राकृतिक संख्याएँ]], [[ परिमेय संख्या |परिमेय संख्याओं]] में पूर्णांक, [[ वास्तविक संख्या | वास्तविक संख्याओं]] में परिमेय संख्याएँ और [[ जटिल संख्या |जटिल संख्याओं]] में वास्तविक संख्याएँ। ऐसे विषयों में कार्यक्षेत्र <math>X</math> को उसकी [[ छवि (गणित) |छवि]] <math>Y</math> में सम्मलित करना साधारण है I इसलिये <math>f(X)\subseteq Y</math>. | ||
== टोपोलॉजी और ज्यामिति == | == टोपोलॉजी और ज्यामिति == | ||
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=== [[ सामान्य टोपोलॉजी ]] === | === [[ सामान्य टोपोलॉजी ]] === | ||
सामान्य टोपोलॉजी में, एम्बेडिंग अपनी छवि पर एक [[ होमियोमोर्फिज्म ]] होता है।<ref>{{harvnb|Hocking|Young|1988|page=73}}. {{harvnb|Sharpe|1997|page=16}}.</ref> एकैकी [[ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) |लगातार (टोपोलॉजी)]] कार्य में, मानचित्र <math>f : X \to Y</math> [[ टोपोलॉजिकल स्पेस ]] के | सामान्य टोपोलॉजी में, एम्बेडिंग अपनी छवि पर एक [[ होमियोमोर्फिज्म ]] होता है।<ref>{{harvnb|Hocking|Young|1988|page=73}}. {{harvnb|Sharpe|1997|page=16}}.</ref> एकैकी [[ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) |लगातार (टोपोलॉजी)]] कार्य में, मानचित्र <math>f : X \to Y</math> [[ टोपोलॉजिकल स्पेस ]] के मध्य <math>X</math> तथा <math>Y</math> संस्थानिक एम्बेडिंग है, यदि <math>f</math> के मध्य होमोमोर्फिज्म उत्पन्न होता है तब <math>X</math> तथा <math>f(X)</math> ( जहाँ पर <math>f(X)</math> से परम्परा में मिली <math>Y</math> [[ सबस्पेस टोपोलॉजी |उपस्थान]] का वहन करता है)I साधारण रूप से, एम्बेडिंग <math>f : X \to Y</math> हैं, टोपोलॉजी में <math>Y</math> के रूप में <math>X</math> एक उप-स्थान है I सभी एम्बेडिंग एकैकी और निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है। एम्बेडिंग में सभी एकैकी मैप [[ खुला नक्शा | खुले]] या [[ बंद नक्शा | विवृत]] होते है जबकि ऐसे एम्बेडिंग भी हैं जो न तो खुले हैं और न ही विवृत हैं। ऐसा तब होता है जब छवि <math>f(X)</math> में <math>Y</math> न खुला समूह हो ,और न ही विवृत समूह हो। | ||
किसी दिए गए स्थान के लिए <math>Y</math>, एक एम्बेडिंग <math>X \to Y</math> अस्तित्व में <math>X</math> का [[ टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट |सामयिक अपरिवर्तनीय]] है I यह दो स्थानों को | किसी दिए गए स्थान के लिए <math>Y</math>, एक एम्बेडिंग <math>X \to Y</math> अस्तित्व में <math>X</math> का [[ टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट |सामयिक अपरिवर्तनीय]] है I यह दो स्थानों को भिन्न करने की अनुमति देता है एम्बेडेड में यदि एक स्थान सक्षम है जबकि दूसरा स्थान सक्षम नहीं है। | ||
==== संबंधित परिभाषाएँ ==== | ==== संबंधित परिभाषाएँ ==== | ||
<math>f : X \to Y</math> किसी | <math>f : X \to Y</math> किसी फलन का कार्यक्षेत्र टोपोलॉजिकल स्पेस है तब इसे फलन कहा जाता है I यह अपने कार्यक्षेत्र के {{visible anchor|एक बिंदु पर स्थानीय इंजेक्शन | ||
}}के रूप में सम्मिलित होता हैI <math>U</math> बिंदु का प्रतिबंध <math>f\big\vert_U : U \to Y</math> एकैकी है। इसे स्थानीय रूप से {{visible anchor|स्थानीय इंजेक्शन}} कहा जाता है I कार्यक्षेत्र के आसपास के सभी बिंदु स्थानीय रूप से एकैकी है I {{visible anchor|स्थानीय सामयिक एम्बेडिंग|text=स्थानीय (स्थलीय, सम्मान चिकनी) एम्बेडिंग}} एक ऐसा कार्य है जिसमे सभी बिंदु कार्यक्षेत्र के निकटतम होते है जिसके लिए इसका प्रतिबंध एक एम्बेडिंग होता है। | }}के रूप में सम्मिलित होता हैI <math>U</math> बिंदु का प्रतिबंध <math>f\big\vert_U : U \to Y</math> एकैकी है। इसे स्थानीय रूप से {{visible anchor|स्थानीय इंजेक्शन}} कहा जाता है I कार्यक्षेत्र के आसपास के सभी बिंदु स्थानीय रूप से एकैकी है I {{visible anchor|स्थानीय सामयिक एम्बेडिंग|text=स्थानीय (स्थलीय, सम्मान चिकनी) एम्बेडिंग}} एक ऐसा कार्य है जिसमे सभी बिंदु कार्यक्षेत्र के निकटतम होते है जिसके लिए इसका प्रतिबंध एक एम्बेडिंग होता है। | ||
प्रत्येक एकैकी | प्रत्येक एकैकी फलन स्थानीय रूप से एकैकी होता है लेकिन विपरीत नहीं होते है। [[ स्थानीय भिन्नता |स्थानीय भिन्नता]], [[ स्थानीय होमोमोर्फिज्म |स्थानीय होमोमोर्फिज्म]], और स्मूथ [[ विसर्जन (गणित) |आप्लावन]] सभी स्थानीय एकैकी के कार्य हैं जो आवश्यक रूप से एकैकी नहीं हैं। व्युत्क्रम कार्य प्रमेय में स्थानीय रूप से मध्य में लगातार होने वाले कार्य के लिए पर्याप्त स्थिति देता है। प्रत्येक [[ फाइबर (गणित) | फाइबर]] स्थानीय रूप से एकैकी का कार्य करता है <math>f : X \to Y</math> अनिवार्य रूप से एक कार्यक्षेत्र <math>X</math> का [[ असतत स्थान |भिन्न उपस्थान]] है I | ||
=== विभेदक टोपोलॉजी === | === विभेदक टोपोलॉजी === | ||
विभेदक टोपोलॉजी में <math>M</math> तथा <math>N</math> को कई गुना और <math>f:M\to N</math> को स्मूथ मैप होने देना चाहिए। फिर <math>f</math> को आप्लावन कहा जाता है यदि इसका व्युत्पन्न सभी | विभेदक टोपोलॉजी में <math>M</math> तथा <math>N</math> को कई गुना और <math>f:M\to N</math> को स्मूथ मैप होने देना चाहिए। फिर <math>f</math> को आप्लावन कहा जाता है यदि इसका व्युत्पन्न सभी स्थान एकैकी है।एम्बेडिंग को एक आप्लावन के रूप में परिभाषित किया गया है जो ऊपर वर्णित टोपोलॉजिकल के अर्थ में एक एम्बेडिंग है ( इसका तात्यर्य है छवि पर होमोमोर्फिज्म)।<ref>{{harvnb|Bishop|Crittenden|1964|page=21}}. {{harvnb|Bishop|Goldberg|1968|page=40}}. {{harvnb|Crampin|Pirani|1994|page=243}}. {{harvnb|do Carmo|1994|page=11}}. {{harvnb|Flanders|1989|page=53}}. {{harvnb|Gallot|Hulin|Lafontaine|2004|page=12}}. {{harvnb|Kobayashi|Nomizu|1963|page=9}}. {{harvnb|Kosinski|2007|page=27}}. {{harvnb|Lang|1999|page=27}}. {{harvnb|Lee|1997|page=15}}. {{harvnb|Spivak|1999|page=49}}. {{harvnb|Warner|1983|page=22}}.</ref> दूसरे शब्दों में, एक एम्बेडिंग का कार्यक्षेत्र अपनी छवि के लिए भिन्न होता है, और विशेष रूप से एम्बेडिंग की छवि [[ सबमनिफोल्ड | कई गुना]] होनी चाहिए। आप्लावन एक स्थानीय एम्बेडिंग है, किसी भी बिंदु के लिए <math>x\in M</math> एक निकटतम है <math>x\in U\subset M</math> ऐसा है कि <math>f:U\to N</math> एक एम्बेडिंग है। | ||
जब कार्यक्षेत्र ही मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है, तो सरल एम्बेडिंग की धारणा एकैकी आप्लावन के बराबर होती है। | जब कार्यक्षेत्र ही मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है, तो सरल एम्बेडिंग की धारणा एकैकी आप्लावन के बराबर होती है। | ||
महत्वपूर्ण यह है <math>N = \mathbb{R}^n</math>. यहाँ रुचि इस बात में है कि <math>n</math> किसी एम्बेडिंग के लिए <math>m</math> के आयाम ( <math>M</math>) के संदर्भ में कितना बड़ा होना चाहिए I. [[ व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय ]]<ref>Whitney H., ''Differentiable manifolds,'' Ann. of Math. (2), '''37''' (1936), pp. 645–680</ref> कहता है कि <math>n = 2m</math> पर्याप्त है, और रैखिक सीमा सर्वोत्तम है। उदाहरण, [[ वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान |वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] <math>RP^m</math> आयाम का <math>m</math>, जहां <math>m</math> को दो | महत्वपूर्ण यह है <math>N = \mathbb{R}^n</math>. यहाँ रुचि इस बात में है कि <math>n</math> किसी एम्बेडिंग के लिए <math>m</math> के आयाम ( <math>M</math>) के संदर्भ में कितना बड़ा होना चाहिए I. [[ व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय ]]<ref>Whitney H., ''Differentiable manifolds,'' Ann. of Math. (2), '''37''' (1936), pp. 645–680</ref> कहता है कि <math>n = 2m</math> पर्याप्त है, और रैखिक सीमा सर्वोत्तम है। उदाहरण, [[ वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान |वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] <math>RP^m</math> आयाम का <math>m</math>, जहां <math>m</math> को दो शक्तियों की आवश्यकता होती है, एम्बेडिंग के लिए <math>n = 2m</math> . जबकि , यह आप्लावन पर प्रारम्भ नहीं होता है; उदाहरण के लिए, <math>RP^2</math> में डुबोया जा सकता है <math>\mathbb{R}^3</math> जैसा कि बॉयज़ सरफेस द्वारा दिखाया गया है - जिसमें वह स्थान स्वयं-बदलते हैं। [[ रोमन सतह ]] पर आप्लावन होना असफल होता है क्योंकि इसमें [[ क्रॉस-कैप ]] होते हैं। | ||
एम्बेडिंग उचित है यदि यह सीमाओं के संबंध में अच्छा व्यवहार करता है तब मानचित्र Y की आवश्यकता होती है जो ऐसा हो <math>f: X \rightarrow Y</math> . | |||
*<math>f(\partial X) = f(X) \cap \partial Y</math>, तथा | *<math>f(\partial X) = f(X) \cap \partial Y</math>, तथा | ||
*<math>f(X)</math> [[ ट्रांसवर्सलिटी (गणित) | अनुप्रस्थता]] है <math>\partial Y</math> के किसी भी बिंदु में <math>f(\partial X)</math>.` | *<math>f(X)</math> [[ ट्रांसवर्सलिटी (गणित) | अनुप्रस्थता]] है <math>\partial Y</math> के किसी भी बिंदु में <math>f(\partial X)</math>.` | ||
प्रथम अनुबंध <math>f(\partial X) \subseteq \partial Y</math> तथा <math>f(X \setminus \partial X) \subseteq Y \setminus \partial Y</math> के बराबर है. दूसरा अनुबंध में, <math>f(X)</math> सीमा की स्पर्शरेखा <math>Y</math> नहीं है I | |||
===रिमैनियन और स्यूडो-रिमैनियन ज्यामिति=== | ===रिमैनियन और स्यूडो-रिमैनियन ज्यामिति=== | ||
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:<math>g(v,w)=h(df(v),df(w)).</math> | :<math>g(v,w)=h(df(v),df(w)).</math> | ||
समान रूप से, सममितीय आप्लावन में रिमैनियन मैनिफोल्ड्स के | समान रूप से, सममितीय आप्लावन में रिमैनियन मैनिफोल्ड्स के मध्य एक आप्लावन है जो रिमैनियन मेट्रिक्स को संरक्षित करता है। | ||
समतुल्य रूप से, रिमेंनियन ज्यामिति में, आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग एक सरल एम्बेडिंग है जो घटता की लंबाई को संरक्षित करता है। (सीएफ़. [[ नैश एम्बेडिंग प्रमेय ]]) <ref>Nash J., ''The embedding problem for Riemannian manifolds,'' Ann. of Math. (2), '''63''' (1956), 20–63.</ref> | समतुल्य रूप से, रिमेंनियन ज्यामिति में, आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग एक सरल एम्बेडिंग है जो घटता की लंबाई को संरक्षित करता है। (सीएफ़. [[ नैश एम्बेडिंग प्रमेय ]]) <ref>Nash J., ''The embedding problem for Riemannian manifolds,'' Ann. of Math. (2), '''63''' (1956), 20–63.</ref> | ||
== बीजगणित == | == बीजगणित == | ||
सामान्य रूप से, | सामान्य रूप से, बीजगणितीय श्रेणी <math>C</math>, दो <math>C</math> बीजगणितीय संरचनाओं <math>X</math> तथा <math>Y</math> के मध्य एम्बेडिंग <math>C</math> रूपवाद है एक है I {{nowrap|<math>e:X\rightarrow Y</math>}} जो कि एकैकी है। | ||
=== क्षेत्र सिद्धांत === | === क्षेत्र सिद्धांत === | ||
Line 57: | Line 57: | ||
क्षेत्र सिद्धांत में, एक क्षेत्र का एम्बेडिंग <math>E</math> मैदान मे <math>F</math> एक वलय समरूपता है {{nowrap|<math>\sigma:E\rightarrow F</math>}}. | क्षेत्र सिद्धांत में, एक क्षेत्र का एम्बेडिंग <math>E</math> मैदान मे <math>F</math> एक वलय समरूपता है {{nowrap|<math>\sigma:E\rightarrow F</math>}}. | ||
<math>\sigma</math> का [[ कर्नेल (बीजगणित) | कर्नेल]] <math>E</math> का एक [[ आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) | आदर्श]] है जो पूरा क्षेत्र <math>E</math> नहीं हो सकता, स्थिति के कारण {{nowrap|<math>1=\sigma(1)=1</math>}}. इसके अतिरिक्त, यह क्षेत्रों की | <math>\sigma</math> का [[ कर्नेल (बीजगणित) | कर्नेल]] <math>E</math> का एक [[ आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) | आदर्श]] है जो पूरा क्षेत्र <math>E</math> नहीं हो सकता, स्थिति के कारण {{nowrap|<math>1=\sigma(1)=1</math>}}. इसके अतिरिक्त, यह क्षेत्रों की प्रसिद्ध संपत्ति है कि उनका एकमात्र शून्य आदर्श और संपूर्ण क्षेत्र है। इसलिए, कर्नेल <math>0</math> हैI इसलिए क्षेत्र की एम्बेडिंग [[ एकरूपता | एकरूपता]] है। अत, <math>E</math> [[ क्षेत्र विस्तार | क्षेत्र विस्तार]] के लिए [[ समरूपी | समरूपी]] है <math>\sigma(E)</math> का <math>F</math>. इस क्षेत्र को मनमाना समरूपता के लिए एम्बेड किए गए नाम को सही ठहराता है। | ||
=== सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत === | === सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत === | ||
{{further|अधोसंरचना (गणित)|प्राथमिक समानता}} | {{further|अधोसंरचना (गणित)|प्राथमिक समानता}} | ||
यदि <math>\sigma</math> [[ हस्ताक्षर (तर्क) | हस्ताक्षर]] है इसमें <math>A,B</math> को <math>\sigma</math>- [[ संरचना (गणितीय तर्क) | संरचना]] कहा जाता है I <math>\sigma</math>- में [[ सार्वभौमिक बीजगणित ]], [[ मॉडल सिद्धांत ]] है। फिर एक | यदि <math>\sigma</math> [[ हस्ताक्षर (तर्क) | हस्ताक्षर]] है इसमें <math>A,B</math> को <math>\sigma</math>- [[ संरचना (गणितीय तर्क) | संरचना]] कहा जाता है I <math>\sigma</math>- में [[ सार्वभौमिक बीजगणित ]], [[ मॉडल सिद्धांत ]] है। फिर एक नक्शा <math>h:A \to B</math> में <math>\sigma</math>-एम्बेडिंग [[ iff | आईएफएफ]] निम्नलिखित में से सभी धारण करते हैं: | ||
* <math>h</math> एकैकी है, | * <math>h</math> एकैकी है, | ||
* सभी के लिए <math>n</math>-एरी | * सभी के लिए <math>n</math>-एरी फलन प्रतीक <math>f \in\sigma</math> तथा <math>a_1,\ldots,a_n \in A^n,</math> अपने पास <math>h(f^A(a_1,\ldots,a_n))=f^B(h(a_1),\ldots,h(a_n))</math>, | ||
* सभी के लिए <math>n</math>-एरी संबंध प्रतीक <math>R \in\sigma</math> तथा <math>a_1,\ldots,a_n \in A^n,</math> अपने पास <math>A \models R(a_1,\ldots,a_n)</math> आईएफएफ <math>B \models R(h(a_1),\ldots,h(a_n)).</math> | * सभी के लिए <math>n</math>-एरी संबंध प्रतीक <math>R \in\sigma</math> तथा <math>a_1,\ldots,a_n \in A^n,</math> अपने पास <math>A \models R(a_1,\ldots,a_n)</math> आईएफएफ <math>B \models R(h(a_1),\ldots,h(a_n)).</math> | ||
यहां <math>A\models R (a_1,\ldots,a_n)</math> के समकक्ष एक मॉडल सैद्धांतिक संकेतन है <math>(a_1,\ldots,a_n)\in R^A</math>. मॉडल सिद्धांत में [[ प्राथमिक एम्बेडिंग ]] की | यहां <math>A\models R (a_1,\ldots,a_n)</math> के समकक्ष एक मॉडल सैद्धांतिक संकेतन है <math>(a_1,\ldots,a_n)\in R^A</math>. मॉडल सिद्धांत में [[ प्राथमिक एम्बेडिंग ]] की दृढ़ धारणा भी है। | ||
== आदेश सिद्धांत और डोमेन सिद्धांत == | == आदेश सिद्धांत और डोमेन सिद्धांत == | ||
[[ आदेश सिद्धांत ]] में, [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट | आंशिक रूप से आदेशित सेटों]] का एम्बेडिंग | [[ आदेश सिद्धांत ]] में, [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट | आंशिक रूप से आदेशित सेटों]] का एम्बेडिंग <math>X</math> तथा <math>Y</math> के मध्य <math>F</math> फलन है जैसा कि | ||
:<math>\forall x_1,x_2\in X: x_1\leq x_2 \iff F(x_1)\leq F(x_2).</math> | :<math>\forall x_1,x_2\in X: x_1\leq x_2 \iff F(x_1)\leq F(x_2).</math> | ||
Line 83: | Line 83: | ||
=== सामान्य स्थान === | === सामान्य स्थान === | ||
विशेष विषयों का महत्वपूर्ण [[ आदर्श स्थान |स्थान]] [[ आदर्श स्थान |आदर्श]] है; इस विषय में रैखिक एम्बेडिंग पर विचार करना स्वाभाविक है। | |||
परिमित-आयामी मानक स्थान के बारे में पूछे जाने वाले | परिमित-आयामी मानक स्थान के बारे में पूछे जाने वाले मूल प्रश्नों में से है, अधिकतम <math>(X, \| \cdot \|)</math> आयाम क्या है? <math>k</math> ऐसा है कि [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष ]] <math>\ell_2^k</math> को निरंतर विरूपण के साथ <math>X</math> में रैखिक रूप से एम्बेड किया जा सकता है? | ||
इसका उत्तर ड्वोरेट्स्की प्रमेय के द्वारा दिया गया है। | इसका उत्तर ड्वोरेट्स्की प्रमेय के द्वारा दिया गया है। | ||
Line 91: | Line 91: | ||
== श्रेणी सिद्धांत == | == श्रेणी सिद्धांत == | ||
श्रेणी सिद्धांत में, एम्बेडिंग की संतोषजनक सामान्यतः पर स्वीकृत परिभाषा नहीं है जो सभी श्रेणियों में | श्रेणी सिद्धांत में, एम्बेडिंग की संतोषजनक सामान्यतः पर स्वीकृत परिभाषा नहीं है जो सभी श्रेणियों में प्रारम्भ हो I आशा है कि समरूपता और एम्बेडिंग की सभी रचनाएँ एम्बेडिंग हैं, और सभी एम्बेडिंग मोनोमोर्फिज़्म हैंI अन्य विशिष्ट आवश्यकताएं हैं: कोई भी शिखर मोनोमोर्फिज्म एम्बेडिंग है और [[ पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) | पीछे खींचने]] के अतिरिक्त एम्बेडिंग स्थिर हैं। | ||
आदर्श रूप से किसी वस्तु के सभी एम्बेडेड उप वस्तुओं का वर्ग,[[ subobject | विषय]] की कक्षा, आइसोमोर्फिज्म तक, छोटी कक्षा भी होनी चाहिए, और इस प्रकार एक [[ आदेशित सेट ]] होना चाहिए। इस विषय में, एम्बेडिंग वर्ग के संबंध में श्रेणी को संचालित कहा जाता है। यह श्रेणी नई स्थानीय संरचनाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है। (जैसे [[ बंद करने वाला ऑपरेटर ]])। | आदर्श रूप से किसी वस्तु के सभी एम्बेडेड उप वस्तुओं का वर्ग,[[ subobject | विषय]] की कक्षा, आइसोमोर्फिज्म तक, छोटी कक्षा भी होनी चाहिए, और इस प्रकार एक [[ आदेशित सेट ]] होना चाहिए। इस विषय में, एम्बेडिंग वर्ग के संबंध में श्रेणी को संचालित कहा जाता है। यह श्रेणी नई स्थानीय संरचनाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है। (जैसे [[ बंद करने वाला ऑपरेटर | विवृत करने वाला ऑपरेटर]] )। | ||
[[ ठोस श्रेणी ]] में, एक एम्बेडिंग एक आकृतिवाद है| <math>f:A\rightarrow B</math> जो अंतर्निहित सेट से एक एकैकी | [[ ठोस श्रेणी ]] में, एक एम्बेडिंग एक आकृतिवाद है| <math>f:A\rightarrow B</math> जो अंतर्निहित सेट से एक एकैकी फलन है <math>A</math> के अंतर्निहित सेट के लिए <math>B</math> और निम्नलिखित अर्थों में एक प्रारंभिक रूपवाद भी है, यदि <math>g</math> किसी वस्तु के अंतर्निहित सेट से एक कार्य है <math>C</math> के अंतर्निहित सेट के लिए <math>A</math>, और इसकी रचना के साथ <math>f</math> एक रूपवाद है <math>fg:C\rightarrow B</math>, फिर <math>g</math> स्वयं एक रूपवाद है। | ||
किसी श्रेणी के लिए गुणनखंडन प्रणाली भी एम्बेडिंग की धारणा को जन्म देती है। यदि <math>(E,M)</math> एक गुणनखंडन प्रणाली है, तो <math>M</math> में रूपवाद को एम्बेडिंग के रूप में माना जा सकता है, ठोस सिद्धांतों में अधिकांशतः एक गुणनखंड प्रणाली होती है जिसमें M पिछले अर्थों में एम्बेडिंग होते हैं। इस आलेख में दिए गए अधिकांश उदाहरणों का विषय है। | किसी श्रेणी के लिए गुणनखंडन प्रणाली भी एम्बेडिंग की धारणा को जन्म देती है। यदि <math>(E,M)</math> एक गुणनखंडन प्रणाली है, तो <math>M</math> में रूपवाद को एम्बेडिंग के रूप में माना जा सकता है, ठोस सिद्धांतों में अधिकांशतः एक गुणनखंड प्रणाली होती है जिसमें M पिछले अर्थों में एम्बेडिंग होते हैं। इस आलेख में दिए गए अधिकांश उदाहरणों का विषय है। | ||
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== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* [[ बंद विसर्जन | | * [[ बंद विसर्जन | विवृत आप्लावन]] | ||
*[[ कवर (बीजगणित) | | *[[ कवर (बीजगणित) |आवरण (बीजगणित)]] | ||
*[[ आयाम में कमी |आयाम में कमी]] | *[[ आयाम में कमी |आयाम में कमी]] | ||
* | *डूबता हुआ (गणित) | ||
*जॉनसन-लिंडनस्ट्रॉस लेम्मा | *जॉनसन-लिंडनस्ट्रॉस लेम्मा | ||
* सबमेनिफोल्ड | * सबमेनिफोल्ड | ||
* [[ सबस्पेस (टोपोलॉजी) | | * [[ सबस्पेस (टोपोलॉजी) |उप स्थान (टोपोलॉजी)]] | ||
* टोपोलॉजी और टोपोलॉजिकल | * टोपोलॉजी और टोपोलॉजिकल गतिकी में सार्वभौमिक स्थान | ||
==टिप्पणियाँ== | ==टिप्पणियाँ== | ||
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[[Category: Machine Translated Page]] | [[Category: Machine Translated Page]] | ||
[[Category:Created On 14/11/2022]] | [[Category:Created On 14/11/2022]] | ||
[[Category:Vigyan Ready]] |
Latest revision as of 12:28, 23 August 2023
गणित में एंबेडिंग गणितीय संरचना का एक उदाहरण है[1] जो किसी अन्य उदाहरण में समाहित है, जैसे समूह जो उपसमूह है।
जब किसी वस्तु को वस्तु में एम्बेड किया जाता है तब एम्बेडिंग में एकैकी समारोह और संरचना-संरक्षण मानचित्र द्वारा दी जाती है . संरचना-संरक्षण का अर्थ उस गणितीय संरचना पर निर्भर करता है जिसका उदाहरण तथा हैं। श्रेणी सिद्धांत में, संरचना-संरक्षण मानचित्र को रूपवाद कहा जाता है।
तथ्य यह है कि नक़्शे में एम्बेडिंग है जिसे अधिकांश हुक किए गए तीर के उपयोग द्वारा संकेत किया जाता है (U+21AA ↪ हुक के साथ दाईं ओर तीर);[2] इस प्रकार: (यह अंकन कभी-कभी समावेशन नक्शो के लिए आरक्षित होता है।)
X और Y को देखते हुए, X के Y में भिन्न-भिन्न एम्बेडिंग संभव हो सकते हैं। ब्याज के विषयों में मानक एम्बेडिंग होता है, जैसे कि पूर्णांकों में प्राकृतिक संख्याएँ, परिमेय संख्याओं में पूर्णांक, वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याएँ और जटिल संख्याओं में वास्तविक संख्याएँ। ऐसे विषयों में कार्यक्षेत्र को उसकी छवि में सम्मलित करना साधारण है I इसलिये .
टोपोलॉजी और ज्यामिति
सामान्य टोपोलॉजी
सामान्य टोपोलॉजी में, एम्बेडिंग अपनी छवि पर एक होमियोमोर्फिज्म होता है।[3] एकैकी लगातार (टोपोलॉजी) कार्य में, मानचित्र टोपोलॉजिकल स्पेस के मध्य तथा संस्थानिक एम्बेडिंग है, यदि के मध्य होमोमोर्फिज्म उत्पन्न होता है तब तथा ( जहाँ पर से परम्परा में मिली उपस्थान का वहन करता है)I साधारण रूप से, एम्बेडिंग हैं, टोपोलॉजी में के रूप में एक उप-स्थान है I सभी एम्बेडिंग एकैकी और निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है। एम्बेडिंग में सभी एकैकी मैप खुले या विवृत होते है जबकि ऐसे एम्बेडिंग भी हैं जो न तो खुले हैं और न ही विवृत हैं। ऐसा तब होता है जब छवि में न खुला समूह हो ,और न ही विवृत समूह हो।
किसी दिए गए स्थान के लिए , एक एम्बेडिंग अस्तित्व में का सामयिक अपरिवर्तनीय है I यह दो स्थानों को भिन्न करने की अनुमति देता है एम्बेडेड में यदि एक स्थान सक्षम है जबकि दूसरा स्थान सक्षम नहीं है।
संबंधित परिभाषाएँ
किसी फलन का कार्यक्षेत्र टोपोलॉजिकल स्पेस है तब इसे फलन कहा जाता है I यह अपने कार्यक्षेत्र के एक बिंदु पर स्थानीय इंजेक्शन के रूप में सम्मिलित होता हैI बिंदु का प्रतिबंध एकैकी है। इसे स्थानीय रूप से स्थानीय इंजेक्शन कहा जाता है I कार्यक्षेत्र के आसपास के सभी बिंदु स्थानीय रूप से एकैकी है I स्थानीय (स्थलीय, सम्मान चिकनी) एम्बेडिंग एक ऐसा कार्य है जिसमे सभी बिंदु कार्यक्षेत्र के निकटतम होते है जिसके लिए इसका प्रतिबंध एक एम्बेडिंग होता है।
प्रत्येक एकैकी फलन स्थानीय रूप से एकैकी होता है लेकिन विपरीत नहीं होते है। स्थानीय भिन्नता, स्थानीय होमोमोर्फिज्म, और स्मूथ आप्लावन सभी स्थानीय एकैकी के कार्य हैं जो आवश्यक रूप से एकैकी नहीं हैं। व्युत्क्रम कार्य प्रमेय में स्थानीय रूप से मध्य में लगातार होने वाले कार्य के लिए पर्याप्त स्थिति देता है। प्रत्येक फाइबर स्थानीय रूप से एकैकी का कार्य करता है अनिवार्य रूप से एक कार्यक्षेत्र का भिन्न उपस्थान है I
विभेदक टोपोलॉजी
विभेदक टोपोलॉजी में तथा को कई गुना और को स्मूथ मैप होने देना चाहिए। फिर को आप्लावन कहा जाता है यदि इसका व्युत्पन्न सभी स्थान एकैकी है।एम्बेडिंग को एक आप्लावन के रूप में परिभाषित किया गया है जो ऊपर वर्णित टोपोलॉजिकल के अर्थ में एक एम्बेडिंग है ( इसका तात्यर्य है छवि पर होमोमोर्फिज्म)।[4] दूसरे शब्दों में, एक एम्बेडिंग का कार्यक्षेत्र अपनी छवि के लिए भिन्न होता है, और विशेष रूप से एम्बेडिंग की छवि कई गुना होनी चाहिए। आप्लावन एक स्थानीय एम्बेडिंग है, किसी भी बिंदु के लिए एक निकटतम है ऐसा है कि एक एम्बेडिंग है।
जब कार्यक्षेत्र ही मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है, तो सरल एम्बेडिंग की धारणा एकैकी आप्लावन के बराबर होती है।
महत्वपूर्ण यह है . यहाँ रुचि इस बात में है कि किसी एम्बेडिंग के लिए के आयाम ( ) के संदर्भ में कितना बड़ा होना चाहिए I. व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय [5] कहता है कि पर्याप्त है, और रैखिक सीमा सर्वोत्तम है। उदाहरण, वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान आयाम का , जहां को दो शक्तियों की आवश्यकता होती है, एम्बेडिंग के लिए . जबकि , यह आप्लावन पर प्रारम्भ नहीं होता है; उदाहरण के लिए, में डुबोया जा सकता है जैसा कि बॉयज़ सरफेस द्वारा दिखाया गया है - जिसमें वह स्थान स्वयं-बदलते हैं। रोमन सतह पर आप्लावन होना असफल होता है क्योंकि इसमें क्रॉस-कैप होते हैं।
एम्बेडिंग उचित है यदि यह सीमाओं के संबंध में अच्छा व्यवहार करता है तब मानचित्र Y की आवश्यकता होती है जो ऐसा हो .
- , तथा
- अनुप्रस्थता है के किसी भी बिंदु में .`
प्रथम अनुबंध तथा के बराबर है. दूसरा अनुबंध में, सीमा की स्पर्शरेखा नहीं है I
रिमैनियन और स्यूडो-रिमैनियन ज्यामिति
रीमैनियन ज्यामिति और स्यूडो-रीमैनियन ज्यामिति में तथा रीमैनियन कई गुना होता है । एक सममितीय एम्बेडिंग सरल एम्बेडिंग है जो रिमेंनियन मीट्रिक को संरक्षित करता है कि को पीछे खींचने में बराबर हो I द्वारा , अर्थात। . स्पष्ट रूप से, किसी भी दो स्पर्शरेखा सदिशों के लिए अपने पास
समान रूप से, सममितीय आप्लावन में रिमैनियन मैनिफोल्ड्स के मध्य एक आप्लावन है जो रिमैनियन मेट्रिक्स को संरक्षित करता है।
समतुल्य रूप से, रिमेंनियन ज्यामिति में, आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग एक सरल एम्बेडिंग है जो घटता की लंबाई को संरक्षित करता है। (सीएफ़. नैश एम्बेडिंग प्रमेय ) [6]
बीजगणित
सामान्य रूप से, बीजगणितीय श्रेणी , दो बीजगणितीय संरचनाओं तथा के मध्य एम्बेडिंग रूपवाद है एक है I जो कि एकैकी है।
क्षेत्र सिद्धांत
क्षेत्र सिद्धांत में, एक क्षेत्र का एम्बेडिंग मैदान मे एक वलय समरूपता है .
का कर्नेल का एक आदर्श है जो पूरा क्षेत्र नहीं हो सकता, स्थिति के कारण . इसके अतिरिक्त, यह क्षेत्रों की प्रसिद्ध संपत्ति है कि उनका एकमात्र शून्य आदर्श और संपूर्ण क्षेत्र है। इसलिए, कर्नेल हैI इसलिए क्षेत्र की एम्बेडिंग एकरूपता है। अत, क्षेत्र विस्तार के लिए समरूपी है का . इस क्षेत्र को मनमाना समरूपता के लिए एम्बेड किए गए नाम को सही ठहराता है।
सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत
यदि हस्ताक्षर है इसमें को - संरचना कहा जाता है I - में सार्वभौमिक बीजगणित , मॉडल सिद्धांत है। फिर एक नक्शा में -एम्बेडिंग आईएफएफ निम्नलिखित में से सभी धारण करते हैं:
- एकैकी है,
- सभी के लिए -एरी फलन प्रतीक तथा अपने पास ,
- सभी के लिए -एरी संबंध प्रतीक तथा अपने पास आईएफएफ
यहां के समकक्ष एक मॉडल सैद्धांतिक संकेतन है . मॉडल सिद्धांत में प्राथमिक एम्बेडिंग की दृढ़ धारणा भी है।
आदेश सिद्धांत और डोमेन सिद्धांत
आदेश सिद्धांत में, आंशिक रूप से आदेशित सेटों का एम्बेडिंग तथा के मध्य फलन है जैसा कि
, एकैकी की इस परिभाषा को शीघ्रता से अनुसरण करती है। डोमेन सिद्धांत में, एक अतिरिक्त आवश्यकता यह है कि
- निर्देशित सेट है।
मीट्रिक रिक्त स्थान
एक मानचित्रण में मीट्रिक रिक्त स्थान को एम्बेडिंग कहा जाता हैI ( विरूपण के साथ ) यदि
सभी के लिए और कुछ स्थिर .
सामान्य स्थान
विशेष विषयों का महत्वपूर्ण स्थान आदर्श है; इस विषय में रैखिक एम्बेडिंग पर विचार करना स्वाभाविक है।
परिमित-आयामी मानक स्थान के बारे में पूछे जाने वाले मूल प्रश्नों में से है, अधिकतम आयाम क्या है? ऐसा है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष को निरंतर विरूपण के साथ में रैखिक रूप से एम्बेड किया जा सकता है?
इसका उत्तर ड्वोरेट्स्की प्रमेय के द्वारा दिया गया है।
श्रेणी सिद्धांत
श्रेणी सिद्धांत में, एम्बेडिंग की संतोषजनक सामान्यतः पर स्वीकृत परिभाषा नहीं है जो सभी श्रेणियों में प्रारम्भ हो I आशा है कि समरूपता और एम्बेडिंग की सभी रचनाएँ एम्बेडिंग हैं, और सभी एम्बेडिंग मोनोमोर्फिज़्म हैंI अन्य विशिष्ट आवश्यकताएं हैं: कोई भी शिखर मोनोमोर्फिज्म एम्बेडिंग है और पीछे खींचने के अतिरिक्त एम्बेडिंग स्थिर हैं।
आदर्श रूप से किसी वस्तु के सभी एम्बेडेड उप वस्तुओं का वर्ग, विषय की कक्षा, आइसोमोर्फिज्म तक, छोटी कक्षा भी होनी चाहिए, और इस प्रकार एक आदेशित सेट होना चाहिए। इस विषय में, एम्बेडिंग वर्ग के संबंध में श्रेणी को संचालित कहा जाता है। यह श्रेणी नई स्थानीय संरचनाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है। (जैसे विवृत करने वाला ऑपरेटर )।
ठोस श्रेणी में, एक एम्बेडिंग एक आकृतिवाद है| जो अंतर्निहित सेट से एक एकैकी फलन है के अंतर्निहित सेट के लिए और निम्नलिखित अर्थों में एक प्रारंभिक रूपवाद भी है, यदि किसी वस्तु के अंतर्निहित सेट से एक कार्य है के अंतर्निहित सेट के लिए , और इसकी रचना के साथ एक रूपवाद है , फिर स्वयं एक रूपवाद है।
किसी श्रेणी के लिए गुणनखंडन प्रणाली भी एम्बेडिंग की धारणा को जन्म देती है। यदि एक गुणनखंडन प्रणाली है, तो में रूपवाद को एम्बेडिंग के रूप में माना जा सकता है, ठोस सिद्धांतों में अधिकांशतः एक गुणनखंड प्रणाली होती है जिसमें M पिछले अर्थों में एम्बेडिंग होते हैं। इस आलेख में दिए गए अधिकांश उदाहरणों का विषय है।
श्रेणी सिद्धांत में हमेशा एक दोहरी अवधारणा होती है, जिसे भागफल के रूप में जाना जाता है। सभी पूर्ववर्ती गुण पुनः किये जा सकते हैं।
एम्बेडिंग एक उपश्रेणी एंबेडिंग को भी संदर्भित कर सकता है।
यह भी देखें
- विवृत आप्लावन
- आवरण (बीजगणित)
- आयाम में कमी
- डूबता हुआ (गणित)
- जॉनसन-लिंडनस्ट्रॉस लेम्मा
- सबमेनिफोल्ड
- उप स्थान (टोपोलॉजी)
- टोपोलॉजी और टोपोलॉजिकल गतिकी में सार्वभौमिक स्थान
टिप्पणियाँ
- ↑ Spivak 1999, p. 49 suggests that "the English" (i.e. the British) use "embedding" instead of "imbedding".
- ↑ "तीर - यूनिकोड" (PDF). Retrieved 2017-02-07.
- ↑ Hocking & Young 1988, p. 73. Sharpe 1997, p. 16.
- ↑ Bishop & Crittenden 1964, p. 21. Bishop & Goldberg 1968, p. 40. Crampin & Pirani 1994, p. 243. do Carmo 1994, p. 11. Flanders 1989, p. 53. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004, p. 12. Kobayashi & Nomizu 1963, p. 9. Kosinski 2007, p. 27. Lang 1999, p. 27. Lee 1997, p. 15. Spivak 1999, p. 49. Warner 1983, p. 22.
- ↑ Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), pp. 645–680
- ↑ Nash J., The embedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math. (2), 63 (1956), 20–63.
संदर्भ
- Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
- Bishop, Richard Lawrence; Goldberg, Samuel Irving (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.
- Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
- do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. ISBN 978-0-8176-3490-2.
- Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. ISBN 978-0-486-66169-8.
- Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0.
- Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topology. Dover. ISBN 0-486-65676-4.
- Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
- Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Volume 1. New York: Wiley-Interscience.
- Lee, John Marshall (1997). Riemannian manifolds. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
- Sharpe, R.W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94732-9..
- Spivak, Michael (1999) [1970]. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1). Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5.
- Warner, Frank Wilson (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90894-3..
बाहरी संबंध
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats).
- Embedding of manifolds on the Manifold Atlas