एफ़िन कनेक्शन

स्फेयर पर एक एफ़िन कनेक्शन एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर एफ़िन टेंगेंट प्लेन को रोल करता है। जैसा कि ऐसा होता है, संपर्क का बिंदु विमान में एक वक्र का पता लगाता है: विकास (अंतर ज्यामिति)।

अंतर ज्यामिति में, एक एफ़िन कनेक्शन^{[lower-alpha 1]} एक चिकनी मैनिफोल्ड पर एक ज्यामितीय वस्तु है जो आस-पास के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को जोड़ती है, इसलिए यह सदिश क्षेत्र को व्युत्पन्न होने की अनुमति देता है जैसे कि वे एक निश्चित सदिश स्थान में मूल्यों के साथ कई गुना पर कार्य करते हैं। कनेक्शन वेक्टर बंडल के खंड (फाइबर बंडल) के विभेदीकरण को परिभाषित करने के सबसे सरल तरीकों में से हैं।^[3]

एक संबंध संबंध की धारणा की जड़ें 19वीं सदी की ज्यामिति और टेंसर कैलकुलेशन में हैं, लेकिन एली कार्टन (कार्टन कनेक्शन के अपने सामान्य सिद्धांत के हिस्से के रूप में) और हरमन वेइल (जिन्होंने इस धारणा का इस्तेमाल किया था) द्वारा 1920 के दशक की शुरुआत तक पूरी तरह से विकसित नहीं किया गया था। सामान्य सापेक्षता के लिए उनकी नींव के एक भाग के रूप में)। शब्दावली कार्टन के कारण है^{[lower-alpha 2]} और इसकी उत्पत्ति यूक्लिडियन अंतरिक्ष में स्पर्शरेखा रिक्त स्थान की पहचान में है $R n$ अनुवाद द्वारा: विचार यह है कि एफ़िन कनेक्शन का एक विकल्प यूक्लिडियन अंतरिक्ष की तरह न केवल सुचारू रूप से, बल्कि एक एफ़िन स्थान के रूप में असीम रूप से कई गुना दिखता है।

सकारात्मक आयाम के किसी भी कई गुना पर असीम रूप से कई संबंध होते हैं। यदि मैनिफोल्ड को एक मीट्रिक टेंसर के साथ आगे संपन्न किया जाता है, तो एफ़िन कनेक्शन का एक स्वाभाविक विकल्प होता है, जिसे लेवी-Civita कनेक्शन कहा जाता है। एक affine कनेक्शन का चुनाव वेक्टर क्षेत्रों को विभेदित करने का एक तरीका निर्धारित करने के बराबर है जो कई उचित गुणों (रैखिकता और उत्पाद नियम) को संतुष्ट करता है। यह स्पर्शरेखा बंडल पर सहसंयोजक व्युत्पन्न या (रैखिक) कनेक्शन (वेक्टर बंडल) के रूप में एक संबंध संबंध की संभावित परिभाषा देता है। एफ़िन कनेक्शन का विकल्प समानांतर परिवहन की धारणा के बराबर है, जो वक्र के साथ टेंगेंट वैक्टरों को परिवहन के लिए एक विधि है। यह फ्रेम बंडल पर समानांतर परिवहन को भी परिभाषित करता है। फ्रेम बंडल में इनफिनिटिमल समानांतर परिवहन एक एफ़िन कनेक्शन का एक और विवरण देता है, या तो एफ़िन समूह के लिए कार्टन कनेक्शन के रूप में या फ्रेम बंडल पर कनेक्शन (प्रमुख बंडल) के रूप में।

एफ़ाइन कनेक्शन के मुख्य आविष्कार इसके मरोड़ वाले टेंसर और इसकी वक्रता हैं। मरोड़ मापता है कि सदिश क्षेत्रों के झूठ व्युत्पन्न को एफ़िन कनेक्शन से कितनी बारीकी से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष की सीधी रेखाओं को सामान्यीकृत करते हुए, एफाइन कनेक्शन का उपयोग मैनिफोल्ड पर geodesics को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि उन सीधी रेखाओं की ज्यामिति सामान्य यूक्लिडियन ज्यामिति से बहुत भिन्न हो सकती है; कनेक्शन की वक्रता में मुख्य अंतर समझाया गया है।

प्रेरणा और इतिहास

एक चिकनी मैनिफोल्ड एक गणितीय वस्तु है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक चिकनी विरूपण की तरह दिखती है $R n$ : उदाहरण के लिए एक चिकनी वक्र या सतह स्थानीय रूप से किसी रेखा या समतल की चिकनी विकृति की तरह दिखती है। चिकने कार्यों और सदिश क्षेत्रों को मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया जा सकता है, ठीक वैसे ही जैसे वे यूक्लिडियन स्पेस पर कर सकते हैं, और मैनिफोल्ड्स पर स्केलर (गणित) फ़ंक्शंस को प्राकृतिक तरीके से विभेदित किया जा सकता है। हालाँकि, सदिश क्षेत्रों का विभेदीकरण कम सीधा है: यूक्लिडियन अंतरिक्ष में यह एक साधारण मामला है, क्योंकि एक बिंदु पर आधारित सदिशों का स्पर्शरेखा स्थान $p$ को पास के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान के साथ स्वाभाविक रूप से (अनुवाद द्वारा) पहचाना जा सकता है $q$ . एक सामान्य कई गुना पर, आस-पास के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच ऐसी कोई प्राकृतिक पहचान नहीं होती है, और इसलिए आस-पास के बिंदुओं पर स्पर्शरेखा सदिशों की तुलना एक अच्छी तरह से परिभाषित तरीके से नहीं की जा सकती। आस-पास के स्पर्शरेखा स्थानों को जोड़कर इस समस्या का समाधान करने के लिए एक संबंध संबंध की धारणा पेश की गई थी। इस विचार की उत्पत्ति दो मुख्य स्रोतों में खोजी जा सकती है: सतहों की विभेदक ज्यामिति और टेन्सर कैलकुलस।

सतह सिद्धांत से प्रेरणा

एक चिकनी सतह पर विचार करें $S$ 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में। किसी भी बिंदु के पास, $S$ को उस बिंदु पर उसके स्पर्शरेखा तल द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक उप-उपस्थान है। 19वीं शताब्दी में डिफरेंशियल जियोमीटर विकास की धारणा (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) में रुचि रखते थे, जिसमें एक सतह को बिना फिसले या घुमाए दूसरी सतह पर घुमाया जाता था। विशेष रूप से, के एक बिंदु पर स्पर्शरेखा तल $S$ पर रोल किया जा सकता है $S$ : कब इसकी कल्पना करना आसान होना चाहिए $S$ 2-गोले जैसी सतह है, जो उत्तल सेट क्षेत्र की चिकनी सीमा है। जैसा कि स्पर्शरेखा तल पर लुढ़का हुआ है $S$ , संपर्क बिंदु एक वक्र का पता लगाता है $S$ . इसके विपरीत, एक वक्र दिया $S$ , स्पर्शरेखा तल को उस वक्र के साथ घुमाया जा सकता है। यह वक्र के साथ विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा विमानों की पहचान करने का एक तरीका प्रदान करता है: विशेष रूप से, वक्र पर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में एक स्पर्शरेखा वेक्टर को वक्र पर किसी अन्य बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ पहचाना जाता है। ये पहचान हमेशा एक स्पर्शरेखा विमान से दूसरे स्पर्शरेखा परिवर्तन द्वारा दी जाती हैं।

स्पर्शरेखा सदिशों के समानांतर परिवहन की यह धारणा, एक वक्र के साथ परिशोधित परिवर्तनों द्वारा, एक विशेषता है: सतह के साथ स्पर्शरेखा विमान के संपर्क का बिंदु हमेशा समानांतर अनुवाद के तहत वक्र के साथ चलता है (यानी, स्पर्शरेखा विमान के साथ लुढ़का हुआ है) सतह, संपर्क बिंदु चलता है)। यह सामान्य स्थिति कार्टन कनेक्शन की विशेषता है। अधिक आधुनिक दृष्टिकोणों में, संपर्क के बिंदु को स्पर्शरेखा विमान (जो तब एक सदिश स्थान है) में उत्पत्ति के रूप में देखा जाता है, और मूल के आंदोलन को एक अनुवाद द्वारा ठीक किया जाता है, ताकि समांतर परिवहन चक्कर के बजाय रैखिक हो।

कार्टन कनेक्शन के दृष्टिकोण से, हालांकि, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एफ़िन उप-स्थान मॉडल सतह हैं - वे यूक्लिडियन 3-स्पेस में सबसे सरल सतह हैं, और विमान के एफ़िन समूह के तहत सजातीय हैं - और हर चिकनी सतह में एक अद्वितीय है मॉडल सतह प्रत्येक बिंदु पर इसके लिए स्पर्शरेखा है। फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम के अर्थ में ये मॉडल सतह क्लेन ज्यामितीय हैं। अधिक आम तौर पर, ए $n$ -डायमेंशनल एफ़िन स्पेस एफ़िन समूह के लिए क्लेन ज्यामिति है $Aff(n)$ , सामान्य रेखीय समूह होने वाले बिंदु का स्टेबलाइज़र $GL(n)$ . एक संबंध $n$ -अनेक तब एक बहुविध है जो असीम रूप से दिखता है $n$ -डायमेंशनल एफ़िन स्पेस।

टेन्सर कैलकुलस से प्रेरणा

ऐतिहासिक रूप से, लोगों ने दूसरे सदिश की दिशा में एक सदिश की भिन्नता दर का वर्णन करने के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न (या मीट्रिक द्वारा दिया गया लेवी-सिविता कनेक्शन) का उपयोग किया। यहाँ पंक्चर्ड 2-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस पर, नीला वेक्टर फील्ड

X

एक प्रपत्र भेजता है

d r

से 0.07 हर जगह। लाल वेक्टर क्षेत्र

Y

वन-फॉर्म भेजता है

r d θ

को

0.5 r

हर जगह। मीट्रिक द्वारा समर्थित

d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2

, लेवी-सिविता कनेक्शन

\nabla Y X

हर जगह 0 है, जो दर्शाता है

X

में कोई बदलाव नहीं है

Y

. दूसरे शब्दों में,

X

प्रत्येक संकेंद्रित वृत्त के साथ समानांतर परिवहन।

\nabla X Y = Y / r

हर जगह, जो भेजता है

r d θ

से 0.5 हर जगह, जिसका अर्थ है

Y

की रेडियल दिशा पर लगातार बदलती दर है।

Affine कनेक्शन के लिए दूसरी प्रेरणा सदिश क्षेत्रों के एक सहसंयोजक व्युत्पन्न की धारणा से आती है। समन्वय-स्वतंत्र तरीकों के आगमन से पहले, एटलस (टोपोलॉजी) में अपने संबंधित यूक्लिडियन वेक्टर को एम्बेडिंग करके वेक्टर क्षेत्रों के साथ काम करना आवश्यक था। इन घटकों को विभेदित किया जा सकता है, लेकिन डेरिवेटिव निर्देशांक के परिवर्तन के तहत प्रबंधनीय तरीके से परिवर्तित नहीं होते हैं।{{citation needed|date=June 2016}1870 के दशक में एल्विन ब्रूनो क्रिस्टोफर (बर्नहार्ड रीमैन के निम्नलिखित विचारों) द्वारा सुधार की शर्तों को पेश किया गया था ताकि समन्वय परिवर्तनों के तहत एक वेक्टर क्षेत्र के व्युत्पन्न (संशोधित) दूसरे रूपांतरित सहसंयोजक परिवर्तन के साथ-साथ इन सुधार शर्तों को बाद में क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के रूप में जाना जाने लगा। .

इस विचार को 1880 और 20वीं सदी के अंत के बीच ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो और उनके छात्र टुल्लियो लेवी-सिविता द्वारा पूर्ण अंतर कैलकुलस (अब टेन्सर कैलकुलस के रूप में जाना जाता है) के सिद्धांत में विकसित किया गया था।

टेंसर कैलकुलस वास्तव में जीवन में आया, हालांकि, 1915 में अल्बर्ट आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के आगमन के साथ। इसके कुछ वर्षों बाद, लेवी-सिविता ने रीमैनियन मेट्रिक से जुड़े अद्वितीय कनेक्शन को औपचारिक रूप दिया, जिसे अब लेवी-सिविता कनेक्शन के रूप में जाना जाता है। 1920 के आसपास हरमन वेइल द्वारा और अधिक सामान्य संबंध संबंधों का अध्ययन किया गया,^[5] जिन्होंने सामान्य सापेक्षता के लिए एक विस्तृत गणितीय नींव विकसित की, और एली कार्टन,^[6] जिन्होंने भूतल सिद्धांत से आने वाले ज्यामितीय विचारों के साथ संबंध स्थापित किया।

दृष्टिकोण

जटिल इतिहास ने संबंध संबंध अवधारणा के लिए व्यापक रूप से भिन्न दृष्टिकोणों और सामान्यीकरणों के विकास को प्रेरित किया है।

सबसे लोकप्रिय दृष्टिकोण शायद सहसंयोजक डेरिवेटिव से प्रेरित परिभाषा है। एक ओर, वेइल के विचारों को भौतिकविदों द्वारा गेज सिद्धांत और गेज सहसंयोजक डेरिवेटिव के रूप में लिया गया था। दूसरी ओर, जीन-लुई शर्ट्स द्वारा सहपरिवर्ती विभेदीकरण की धारणा को अमूर्त किया गया, जिन्होंने वेक्टर बंडलों पर (रैखिक या कोस्ज़ुल) कनेक्शन (वेक्टर बंडल) को परिभाषित किया। इस भाषा में, स्पर्शरेखा बंडल पर एक संबंध संबंध बस एक सहसंयोजक व्युत्पन्न या (रैखिक) कनेक्शन (वेक्टर बंडल) है।

हालांकि, यह दृष्टिकोण affine कनेक्शन के पीछे की ज्यामिति की व्याख्या नहीं करता है और न ही उन्होंने अपना नाम कैसे प्राप्त किया।^{[lower-alpha 3]} अनुवाद द्वारा यूक्लिडियन अंतरिक्ष में स्पर्शरेखा रिक्त स्थान की पहचान में वास्तव में इसका मूल है: इस संपत्ति का अर्थ है कि यूक्लिडियन $n$ -स्पेस एक एफ़िन स्पेस है। (वैकल्पिक रूप से, यूक्लिडियन स्पेस अनुवाद के समूह के तहत एक प्रमुख सजातीय स्थान या धड़ है, जो एफ़ाइन समूह का एक उपसमूह है।) जैसा कि परिचय में उल्लेख किया गया है, इसे सटीक बनाने के कई तरीके हैं: एक इस तथ्य का उपयोग करता है कि एक एफ़िन कनेक्शन एक वक्र के साथ सदिश क्षेत्रों के समानांतर परिवहन की धारणा को परिभाषित करता है। यह फ्रेम बंडल पर समानांतर परिवहन को भी परिभाषित करता है। फ्रेम बंडल में इनफिनिटिमल समांतर परिवहन एक एफ़िन कनेक्शन का एक और विवरण देता है, या तो एफ़िन समूह के लिए कार्टन कनेक्शन के रूप में $Aff(n)$ या एक प्राचार्य के रूप में $GL(n)$ फ्रेम बंडल पर कनेक्शन।

एक अंतर ऑपरेटर के रूप में औपचारिक परिभाषा

होने देना $M$ एक चिकनी कई गुना हो और चलो $Γ(T M)$ सदिश क्षेत्रों का स्थान हो $M$ , यानी स्पर्शरेखा बंडल के खंड (फाइबर बंडल) का स्थान $T M$ . फिर एक एफ़िन कनेक्शन चालू $M$ एक द्विरेखीय मानचित्र है

{\begin{aligned}\Gamma (\mathrm {T} M)\times \Gamma (\mathrm {T} M)&\rightarrow \Gamma (\mathrm {T} M)\\(X,Y)&\mapsto \nabla _{X}Y\,,\end{aligned}}

ऐसा कि सभी के लिए $f$ सुचारू कार्यों के सेट में $M$ , लिखा हुआ $C \infty (M, R)$ , और सभी सदिश क्षेत्र $X, Y$ पर $M$ :

$\nabla fX Y = f \nabla X Y$ , वह है, $\nabla$ है $C \infty (M, R)$ -पहले चर में रैखिक;
$\nabla X (fY) = (\partial X f) Y + f \nabla X Y$ , कहाँ $\partial X$ दिशात्मक व्युत्पन्न को दर्शाता है; वह है, $\nabla$ दूसरे चर में लीबनिज नियम को संतुष्ट करता है।

प्राथमिक गुण

यह उपरोक्त संपत्ति 1 से इस प्रकार है कि का मूल्य $\nabla X Y$ एक बिंदु पर $x \in M$ के मान पर ही निर्भर करता है $X$ पर $x$ और के मूल्य पर नहीं $X$ पर $M - {x}$ . यह ऊपर की संपत्ति 2 से भी आता है कि का मूल्य $\nabla X Y$ एक बिंदु पर $x \in M$ के मान पर ही निर्भर करता है $Y$ के पड़ोस में $x$ .
अगर $\nabla 1, \nabla 2$ affine कनेक्शन हैं तो मान पर $x$ का $\nabla 1 X Y - \nabla 2 X Y$ लिखा जा सकता है $Γ x (X x, Y x)$ कहाँ $\Gamma _{x}:\mathrm {T} _{x}M\times \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}M$ बिलिनियर है और सुचारू रूप से निर्भर करता है $x$ (यानी, यह एक चिकने बंडल समरूपता को परिभाषित करता है)। इसके विपरीत यदि $\nabla$ एक affine कनेक्शन है और $Γ$ एक ऐसा चिकना बिलिनियर बंडल होमोमोर्फिज्म है (जिसे कनेक्शन प्रपत्र कहा जाता है $M$ ) तब $\nabla + Γ$ एक एफ़िन कनेक्शन है।
अगर $M$ का एक खुला उपसमुच्चय है $R n$ , फिर की स्पर्शरेखा बंडल $M$ तुच्छ बंडल है $M \times R n$ . इस स्थिति में एक कैनोनिकल एफ़िन कनेक्शन होता है $d$ पर $M$ : कोई सदिश क्षेत्र $Y$ एक सहज कार्य द्वारा दिया जाता है $V$ से $M$ को $R n$ ; तब $d X Y$ सुचारू कार्य के अनुरूप सदिश क्षेत्र है $d V (X) = \partial X Y$ से $M$ को $R n$ . कोई अन्य संबंध संबंध $\nabla$ पर $M$ इसलिए लिखा जा सकता है $\nabla = d + Γ$ , कहाँ $Γ$ एक कनेक्शन फॉर्म है $M$ .
अधिक आम तौर पर, स्पर्शरेखा बंडल का एक स्थानीय तुच्छकरण, के प्रतिबंध के बीच एक बंडल मानचित्र है $T M$ एक खुले उपसमुच्चय के लिए $U$ का $M$ , और $U \times R n$ . एक affine कनेक्शन का प्रतिबंध $\nabla$ को $U$ फिर फॉर्म में लिखा जा सकता है $d + Γ$ कहाँ $Γ$ एक कनेक्शन फॉर्म है $U$ .

Affine कनेक्शन के लिए समानांतर परिवहन

गोले में एक वक्र के साथ एक स्पर्शरेखा सदिश का समानांतर परिवहन।

कई गुना पर विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा सदिशों की तुलना आम तौर पर एक अच्छी तरह से परिभाषित प्रक्रिया नहीं है। एक एफ़िन कनेक्शन समानांतर परिवहन की धारणा का उपयोग करके इसका समाधान करने का एक तरीका प्रदान करता है, और वास्तव में इसका उपयोग एफ़िन कनेक्शन की परिभाषा देने के लिए किया जा सकता है।

होने देना $M$ affine कनेक्शन के साथ कई गुना हो $\nabla$ . फिर एक वेक्टर क्षेत्र $X$ समानांतर कहा जाता है अगर $\nabla X = 0$ इस अर्थ में कि किसी भी सदिश क्षेत्र के लिए $Y$ , $\nabla Y X = 0$ . सहज रूप से बोलते हुए, समांतर वैक्टरों में उनके सभी डेरिवेटिव्स शून्य के बराबर होते हैं और इसलिए कुछ अर्थों में स्थिर होते हैं। दो बिंदुओं पर समांतर वेक्टर क्षेत्र का मूल्यांकन करके $x$ और $y$ , पर एक स्पर्शरेखा सदिश के बीच एक पहचान $x$ और एक पर $y$ प्राप्त होना। ऐसे स्पर्शरेखा सदिशों को एक दूसरे के समानांतर परिवहन कहा जाता है।

अशून्य समानांतर सदिश क्षेत्र सामान्य रूप से मौजूद नहीं हैं, क्योंकि समीकरण $\nabla X = 0$ एक आंशिक अंतर समीकरण है जो अतिनिर्धारित प्रणाली है: इस समीकरण के लिए अभिन्नता की स्थिति की वक्रता का गायब होना है $\nabla$ (नीचे देखें)। हालाँकि, यदि यह समीकरण एक वक्र से प्रतिबंधित है $x$ को $y$ यह एक साधारण अंतर समीकरण बन जाता है। के किसी भी प्रारंभिक मूल्य के लिए एक अनूठा समाधान है $X$ पर $x$ .

अधिक सटीक, अगर $γ : I \to M$ एक वक्र एक अंतराल द्वारा parametrized $[a, b]$ और $ξ \in T x M$ , कहाँ $x = γ (a)$ , फिर एक सदिश क्षेत्र $X$ साथ में $γ$ (और विशेष रूप से, पर इस सदिश क्षेत्र का मान $y = γ (b)$ ) का समानांतर परिवहन कहा जाता है $ξ$ साथ में $γ$ अगर

$\nabla γ' (t) X = 0$ , सभी के लिए $t \in [a, b]$
$X γ (a) = ξ$ .

औपचारिक रूप से, पहली शर्त का अर्थ है $X$ पुलबैक बंडल पर पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के संबंध में समानांतर है $γ * T M$ . हालांकि, स्थानीय तुच्छता में यह रैखिक अंतर समीकरण का पहला क्रम प्रणाली है, जिसमें दूसरी स्थिति (उदाहरण के लिए, पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय द्वारा) द्वारा दी गई किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए एक अनूठा समाधान है।

इस प्रकार समानांतर परिवहन एक सहज ज्ञान युक्त अर्थ में एक ही दिशा में उन्हें इंगित करने के लिए affine कनेक्शन का उपयोग करके एक वक्र के साथ स्पर्शरेखा वैक्टर को स्थानांतरित करने का एक तरीका प्रदान करता है, और यह वक्र के दो सिरों पर स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच एक रैखिक समरूपता प्रदान करता है। इस तरह से प्राप्त समरूपता सामान्य रूप से वक्र की पसंद पर निर्भर करती है: यदि ऐसा नहीं होता है, तो समानांतर सदिश क्षेत्रों को परिभाषित करने के लिए प्रत्येक वक्र के साथ समानांतर परिवहन का उपयोग किया जा सकता है $M$ , जो केवल तभी हो सकता है जब की वक्रता हो $\nabla$ शून्य है।

एक रेखीय समरूपता एक आधार (रैखिक बीजगणित)#आदेशित आधारों और निर्देशांक या फ्रेम पर इसकी क्रिया द्वारा निर्धारित होती है। इसलिए समानांतर परिवहन को (स्पर्शरेखा) फ्रेम बंडल के तत्वों के परिवहन के तरीके के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है $GL(M)$ एक वक्र के साथ। दूसरे शब्दों में, affine कनेक्शन किसी भी वक्र की लिफ्ट प्रदान करता है $γ$ में $M$ एक वक्र के लिए $γ̃$ में $GL(M)$ .

== फ्रेम बंडल == पर औपचारिक परिभाषा

एक affine कनेक्शन को एक कनेक्शन (प्रिंसिपल बंडल) | प्रिंसिपल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $GL(n)$ कनेक्शन $ω$ फ्रेम बंडल पर $F M$ या $GL(M)$ कई गुना $M$ . और अधिक विस्तार में, $ω$ स्पर्शरेखा बंडल से एक चिकना नक्शा है $T(F M)$ फ्रेम बंडल के स्थान पर $n \times n$ मेट्रिसेस (जो झूठ बीजगणित है $gl (n)$ झूठ समूह का $GL(n)$ उलटा $n \times n$ matrices) दो गुणों को संतुष्ट करता है:

$ω$ की क्रिया के संबंध में समतुल्य है $GL(n)$ पर $T(F M)$ और $gl (n)$ ;
$ω (X ξ) = ξ$ किसी के लिए $ξ$ में $gl (n)$ , कहाँ $X ξ$ सदिश क्षेत्र चालू है $F M$ तदनुसार $ξ$ .

ऐसा संबंध $ω$ न केवल स्पर्शरेखा बंडल पर, बल्कि वेक्टर बंडलों पर बंडल के किसी भी समूह के प्रतिनिधित्व के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न को तुरंत परिभाषित करता है $GL(n)$ , टेन्सर और टेंसर घनत्व के बंडलों सहित। इसके विपरीत, स्पर्शरेखा बंडल पर एक एफ़िन कनेक्शन फ्रेम बंडल पर एक एफ़िन कनेक्शन निर्धारित करता है, उदाहरण के लिए, इसकी आवश्यकता होती है $ω$ समानांतर परिवहन द्वारा परिभाषित फ्रेम बंडल के वक्रों के लिफ्टों के लिए स्पर्शरेखा वैक्टर पर गायब हो जाता है।

फ्रेम बंडल भी एक फ्रेम बंडल # सोल्डर फॉर्म से सुसज्जित है $θ : T(F M) \to R n$ जो इस अर्थ में क्षैतिज है कि यह लंबवत बंडल पर गायब हो जाता है जैसे वेक्टर फ़ील्ड के बिंदु मान $X ξ$ : वास्तव में $θ$ को पहले एक स्पर्शरेखा सदिश (to $F M$ एक फ्रेम में $f$ ) को $M$ , फिर इस स्पर्शरेखा सदिश के घटकों को चालू करके $M$ फ्रेम के संबंध में $f$ . ध्यान दें कि $θ$ ई आल्सो $GL(n)$ -समतुल्य (जहां $GL(n)$ कार्य करता है $R n$ मैट्रिक्स गुणन द्वारा)।

जोड़ी $(θ, ω)$ बंडल समरूपता को परिभाषित करता है $T(F M)$ तुच्छ बंडल के साथ $F M \times aff (n)$ , कहाँ $aff (n)$ का कार्टेशियन उत्पाद है $R n$ और $gl (n)$ (एफ़िन समूह के झूठ बीजगणित के रूप में देखा गया, जो वास्तव में एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है - नीचे देखें)।

कार्टन कनेक्शन के रूप में Affine कनेक्शन

Affine कनेक्शन को कार्टन के सामान्य ढांचे के भीतर परिभाषित किया जा सकता है।^[7] आधुनिक दृष्टिकोण में, यह फ्रेम बंडल पर एफ़िन कनेक्शन की परिभाषा से निकटता से संबंधित है। वास्तव में, एक सूत्रीकरण में, एक कार्टन कनेक्शन उपयुक्त गुणों को संतुष्ट करने वाले एक प्रमुख बंडल का पूर्ण समानता है। इस दृष्टि से $aff (n)$ -मूल्यवान एक-रूप $(θ, ω) : T(F M) \to aff (n)$ फ्रेम बंडल पर (एक affine कई गुना का) एक कार्टन कनेक्शन है। हालांकि, कार्टन का मूल दृष्टिकोण कई मायनों में इससे अलग था:

फ़्रेम बंडल या प्रिंसिपल बंडल की अवधारणा मौजूद नहीं थी;
एक कनेक्शन को असीम रूप से पास के बिंदुओं के बीच समानांतर परिवहन के संदर्भ में देखा गया;^{[lower-alpha 4]}
यह समानांतर परिवहन रेखीय के बजाय परिशोधित था;
जिन वस्तुओं को ले जाया जा रहा था, वे आधुनिक अर्थों में स्पर्शरेखा सदिश नहीं थे, बल्कि एक चिन्हित बिंदु के साथ एक सजातीय स्थान के तत्व थे, जिसे कार्टन कनेक्शन अंततः स्पर्शरेखा स्थान के साथ पहचानता है।

स्पष्टीकरण और ऐतिहासिक अंतर्ज्ञान

सतह के सिद्धांत द्वारा प्रदान की गई प्रेरणा से शुरू करते हुए, अभी उठाए गए बिंदुओं को रिवर्स में व्याख्या करना सबसे आसान है। इस स्थिति में, हालांकि सतह पर लुढ़कने वाले विमान एक सहज अर्थ में स्पर्शरेखा विमान हैं, स्पर्शरेखा स्थान की धारणा वास्तव में एक अंतर (अतिसूक्ष्म) धारणा है,^{[lower-alpha 5]} जबकि विमान, affine उप-स्थान के रूप में $R 3$ , सीमा में अनंत हैं। हालाँकि इन सभी समतलों में एक चिह्नित बिंदु होता है, सतह के साथ संपर्क का बिंदु, और वे इस बिंदु पर सतह पर स्पर्शरेखा होते हैं। भ्रम इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि एक चिन्हित बिंदु के साथ एक सघन स्थान को उस बिंदु पर उसके स्पर्शरेखा स्थान से पहचाना जा सकता है। हालांकि, रोलिंग द्वारा परिभाषित समांतर परिवहन इस उत्पत्ति को ठीक नहीं करता है: यह रैखिक के बजाय affine परिवर्तन है; अनुवाद लागू करके रैखिक समानांतर परिवहन को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

इस विचार को अमूर्त करते हुए, एक एफ़िन मैनिफोल्ड इसलिए एक होना चाहिए $n$ -कई गुना $M$ affine स्थान के साथ $A x$ , आयाम का $n$ , प्रत्येक से जुड़ा हुआ है $x \in M$ एक चिह्नित बिंदु पर $a x \in A x$ , किसी भी वक्र के साथ इन संबधित स्थानों के तत्वों के परिवहन के लिए एक विधि के साथ $C$ में $M$ . कई गुणों को पूरा करने के लिए इस विधि की आवश्यकता है:

किन्हीं दो बिंदुओं के लिए $x, y$ पर $C$ , समानांतर परिवहन से एक परिशोधित परिवर्तन है $A x$ को $A y$ ;
समानांतर परिवहन को असीम रूप से इस अर्थ में परिभाषित किया गया है कि यह किसी भी बिंदु पर अलग-अलग है $C$ और केवल स्पर्शरेखा वेक्टर पर निर्भर करता है $C$ उस बिंदु पर;
समानांतर परिवहन का व्युत्पन्न $x$ से एक रेखीय समरूपता निर्धारित करता है $T x M$ को $T a x A x$ .

इन अंतिम दो बिंदुओं को सटीक बनाना काफी कठिन है,^[9] इसलिए एफ़िन कनेक्शन को अक्सर असीम रूप से परिभाषित किया जाता है। इसे प्रेरित करने के लिए, यह विचार करने के लिए पर्याप्त है कि संदर्भ के एफ़िन फ्रेम समानांतर परिवहन के संबंध में असीम रूप से कैसे बदलते हैं। (यह कार्टन के मूविंग फ्रेम की विधि का मूल है।) एक बिंदु पर एक एफाइन फ्रेम में एक सूची होती है $(p, e 1,\dots e n)$ , कहाँ $p \in A x$ ^{[lower-alpha 6]} और यह $e i$ का आधार बनता है $T p (A x)$ . एफ़िन कनेक्शन तब प्रतीकात्मक रूप से पहले ऑर्डर अंतर प्रणाली द्वारा दिया जाता है

(*){\begin{cases}\mathrm {d} {p}&=\theta ^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\mathbf {e} _{n}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\omega _{i}^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\mathbf {e} _{n}\end{cases}}\quad i=1,2,\ldots ,n

भिन्न रूपों के संग्रह द्वारा परिभाषित | एक-रूप $(θ j, ω j i)$ . ज्यामितीय रूप से, एक चक्करदार फ्रेम एक वक्र के साथ यात्रा करते हुए विस्थापन से गुजरता है $γ$ से $γ (t)$ को $γ (t + δt)$ द्वारा दिया गया (लगभग, या असीम रूप से)।

{\begin{aligned}p(\gamma (t+\delta t))-p(\gamma (t))&=\left(\theta ^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\mathrm {\delta } t\\\mathbf {e} _{i}(\gamma (t+\delta t))-\mathbf {e} _{i}(\gamma (t))&=\left(\omega _{i}^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\delta t\,.\end{aligned}}

इसके अलावा, affine रिक्त स्थान $A x$ को स्पर्शरेखा होना आवश्यक है $M$ अनौपचारिक अर्थ में कि के विस्थापन $a x$ साथ में $γ$ स्पर्शरेखा सदिश के साथ (लगभग या असीम रूप से) पहचाना जा सकता है $γ'(t)$ को $γ$ पर $x = γ (t)$ (जो कि का अतिसूक्ष्म विस्थापन है $x$ ). तब से

a_{x}(\gamma (t+\delta t))-a_{x}(\gamma (t))=\theta \left(\gamma '(t)\right)\delta t\,,

कहाँ $θ$ द्वारा परिभाषित किया गया है $θ (X) = θ 1 (X) e 1 + \dots + θ n (X) e n$ , यह पहचान किसके द्वारा दी गई है $θ$ , तो आवश्यकता यह है कि $θ$ प्रत्येक बिंदु पर एक रेखीय समरूपता होनी चाहिए।

स्पर्शरेखा संबंध स्थान $A x$ इस प्रकार सहज रूप से एक अपरिमेय सजातीय पड़ोस के साथ पहचाना जाता है $x$ .

आधुनिक दृष्टिकोण इस सभी अंतर्ज्ञान को प्रमुख बंडलों का उपयोग करके अधिक सटीक बनाता है (आवश्यक विचार इस स्थान पर सभी फ़्रेमों और कार्यों के स्थान द्वारा एक फ्रेम या एक चर फ्रेम को बदलना है)। यह फेलिक्स क्लेन के एरलांगेन कार्यक्रम की प्रेरणा पर भी आधारित है,^[10] जिसमें एक ज्यामिति को एक सजातीय स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है। एफ़िन स्पेस इस अर्थ में एक ज्यामिति है, और एक फ्लैट कार्टन कनेक्शन से लैस है। इस प्रकार एक सामान्य एफ़िन मैनिफोल्ड को एफ़िन स्पेस के फ्लैट मॉडल ज्यामिति के घुमावदार विरूपण के रूप में देखा जाता है।

=== फ्लैट मॉडल ज्योमेट्री === के रूप में स्पेस को एफ़िन करें

एफ़िन स्पेस की परिभाषा

अनौपचारिक रूप से, एक सदिश स्थान मूल (गणित) के निश्चित विकल्प के बिना एक सदिश स्थान है। यह अंतरिक्ष में बिंदु (गणित) और वेक्टर (ज्यामितीय) की ज्यामिति का वर्णन करता है। उत्पत्ति की कमी के परिणामस्वरूप, एफ़िन स्पेस में बिंदुओं को एक साथ नहीं जोड़ा जा सकता है क्योंकि इसके लिए मूल के एक विकल्प की आवश्यकता होती है जिसके साथ वेक्टर जोड़ के लिए समांतर चतुर्भुज कानून बनाया जाता है। हालाँकि, एक वेक्टर $v$ को एक बिंदु में जोड़ा जा सकता है $p$ सदिश के प्रारंभिक बिंदु को पर रखकर $p$ और फिर परिवहन $p$ टर्मिनल बिंदु पर। ऑपरेशन इस प्रकार वर्णित है $p \to p + v$ का अनुवाद है $p$ साथ में $v$ . तकनीकी शब्दों में, affine $n$ -स्पेस एक सेट है $A n$ सदिश समूह की समूह क्रिया (गणित) से सुसज्जित है $R n$ बिंदुओं के अनुवाद के इस ऑपरेशन के माध्यम से: $A n$ इस प्रकार सदिश समूह के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान है $R n$ .

सामान्य रैखिक समूह $GL(n)$ का रूपांतरण समूह है $R n$ जो की रैखिक संरचना को संरक्षित करता है $R n$ इस अर्थ में कि $T (av + bw) = aT (v) + bT (w)$ . सादृश्य से, affine समूह $Aff(n)$ के परिवर्तनों का समूह है $A n$ affine संरचना का संरक्षण। इस प्रकार $φ \in Aff(n)$ अनुवाद को इस अर्थ में संरक्षित करना चाहिए कि

\varphi (p+v)=\varphi (p)+T(v)

कहाँ $T$ एक सामान्य रैखिक परिवर्तन है। नक्शा भेज रहा है $φ \in Aff(n)$ को $T \in GL(n)$ एक समूह समरूपता है। इसकी गुठली (बीजगणित) अनुवादों का समूह है $R n$ . द ग्रुप एक्शन (गणित)#ऑर्बिट्स और किसी भी बिंदु के स्टेबलाइजर्स $p$ में $A$ के साथ पहचाना जा सकता है $GL(n)$ इस प्रक्षेपण का उपयोग करते हुए: यह affine समूह को एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में महसूस करता है $GL(n)$ और $R n$ , और सजातीय स्थान के रूप में स्थान को परिशोधित करें $Aff(n)/GL(n)$ .

एफ़िन फ़्रेम और फ़्लैट एफ़िन कनेक्शन

के लिए एक एफ़िन फ्रेम $A$ में एक बिंदु होता है $p \in A$ और एक आधार $(e 1,\dots e n)$ सदिश स्थान का $T p A = R n$ . सामान्य रैखिक समूह $GL(n)$ सेट पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है $F A$ सभी affine फ़्रेमों को फिक्स करके $p$ और आधार को बदलना $(e 1,\dots e n)$ सामान्य तरीके से, और map $π$ एक affine फ्रेम भेज रहा हूँ $(p; e 1,\dots e n)$ को $p$ भागफल मानचित्र है। इस प्रकार $F A$ एक प्रमुख बंडल है|principal $GL(n)$ -बंडल ओवर $A$ . की क्रिया $GL(n)$ स्वाभाविक रूप से affine समूह की एक मुक्त सकर्मक क्रिया तक फैली हुई है $Aff(n)$ पर $F A$ , ताकि $F A$ एक $Aff(n)$ -प्रिंसिपल सजातीय स्थान, और एक संदर्भ फ्रेम की पसंद की पहचान करता है $F A \to A$ प्रिंसिपल बंडल के साथ $Aff(n) \to Aff(n)/GL(n)$ .

पर $F A$ का संग्रह है $n + 1$ कार्यों द्वारा परिभाषित

\pi (p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=p

(पहले की तरह) और

\varepsilon _{i}(p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} _{i}\,.

के लिए एक बेसपॉइंट चुनने के बाद $A$ , ये सभी फ़ंक्शन हैं जिनमें मान हैं $R n$ , इसलिए मूल्यों के साथ अंतर 1-रूप प्राप्त करने के लिए उनके बाहरी डेरिवेटिव लेना संभव है $R n$ . कार्यों के बाद से $ε i$ के लिए एक आधार प्राप्त करें $R n$ के प्रत्येक बिंदु पर $F A$ , इन 1-रूपों को रूप के योग के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए

{\begin{aligned}\mathrm {d} \pi &=\theta ^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\theta ^{n}\varepsilon _{n}\\\mathrm {d} \varepsilon _{i}&=\omega _{i}^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\varepsilon _{n}\end{aligned}}

कुछ संग्रह के लिए $(θ i, ω k j) 1 \leq i, j, k \leq n$ वास्तविक-मूल्यवान एक-रूपों पर $Aff(n)$ . प्रिंसिपल बंडल पर एक-रूपों की यह प्रणाली $F A \to A$ affine कनेक्शन को परिभाषित करता है $A$ .

बाहरी व्युत्पन्न को दूसरी बार लेना, और इस तथ्य का उपयोग करना कि $d 2 = 0$ साथ ही रैखिक रूप से स्वतंत्र $ε i$ , निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

{\begin{aligned}\mathrm {d} \theta ^{j}-\sum _{i}\omega _{i}^{j}\wedge \theta ^{i}&=0\\\mathrm {d} \omega _{i}^{j}-\sum _{k}\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}&=0\,.\end{aligned}}

ये लाई समूह के लिए मौरर-कार्टन समीकरण हैं $Aff(n)$ (के साथ पहचान की गई $F A$ एक संदर्भ फ्रेम की पसंद से)। आगे:

पफाफियन प्रणाली $θ j = 0$ (सभी के लिए $j$ ) अभिन्नता की स्थिति है, और इसके अभिन्न कई गुना प्रमुख बंडल के तंतु हैं $Aff(n) \to A$ .
पफाफियन प्रणाली $ω j i = 0$ (सभी के लिए $i, j$ ) भी पूर्णांक है, और इसके अभिन्न कई गुना समानांतर परिवहन को परिभाषित करते हैं $F A$ .

इस प्रकार रूप $(ω j i)$ एक फ्लैट कनेक्शन (प्रिंसिपल बंडल) को परिभाषित करें $F A \to A$ .

प्रेरणा के साथ सख्त तुलना के लिए, वास्तव में प्रिंसिपल में समांतर परिवहन को परिभाषित करना चाहिए $Aff(n)$ -बंडल ओवर $A$ . यह पुलबैक बंडल द्वारा किया जा सकता है $F A$ चिकने मानचित्र द्वारा $φ : R n \times A \to A$ अनुवाद द्वारा परिभाषित। फिर समग्र $φ' * F A \to F A \to A$ प्रधानाचार्य हैं $Aff(n)$ -बंडल ओवर $A$ , और प्रपत्र $(θ i, ω k j)$ फ्लैट प्रिंसिपल देने के लिए पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री)। $Aff(n)$ -इस बंडल पर कनेक्शन।

सामान्य संबंध ज्यामिति: औपचारिक परिभाषाएं

अनिवार्य रूप से किसी भी चिकनी क्लेन ज्यामिति के साथ एक संबधित स्थान एक फ्लैट कार्टन कनेक्शन से सुसज्जित कई गुना है। मौरर-कार्टन समीकरणों द्वारा व्यक्त की गई समतलता की स्थिति को गिराकर अधिक सामान्य एफ़िन मैनिफोल्ड या एफ़िन ज्यामिति आसानी से प्राप्त की जाती हैं। परिभाषा तक पहुंचने के कई तरीके हैं और दो दिए जाएंगे। दोनों परिभाषाओं को 1-रूपों की प्राप्ति से सहायता मिलती है $(θ i, ω k j)$ फ्लैट मॉडल में लाई बीजगणित में मानों के साथ 1-फॉर्म देने के लिए एक साथ फिट होते हैं $aff (n)$ affine समूह के $Aff(n)$ .

इन परिभाषाओं में, $M$ चिकना है $n$ -कई गुना और $A = Aff(n)/GL(n)$ समान आयाम का एक संबधित स्थान है।

पूर्ण समानता के माध्यम से परिभाषा

होने देना $M$ कई गुना हो, और $P$ एक प्रधानाचार्य $GL(n)$ -बंडल ओवर $M$ . फिर एक एफ़िन कनेक्शन 1-फॉर्म है $η$ पर $P$ मूल्यों के साथ $aff (n)$ निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना

$η$ की क्रिया के संबंध में समतुल्य है $GL(n)$ पर $P$ और $aff (n)$ ;
$η (X ξ) = ξ$ सभी के लिए $ξ$ झूठ बीजगणित में $gl (n)$ के सभी $n \times n$ मैट्रिक्स;
$η$ प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान का एक रेखीय समरूपता है $P$ साथ $aff (n)$ .

अंतिम शर्त का अर्थ है $η$ पर एक पूर्ण समानता है $P$ , यानी, यह स्पर्शरेखा बंडल की पहचान करता है $P$ एक तुच्छ बंडल के साथ (इस मामले में $P \times aff (n)$ ). जोड़ी $(P, η)$ affine ज्यामिति की संरचना को परिभाषित करता है $M$ , इसे एक एफ़िन मैनिफोल्ड में बनाते हैं।

द अफिन लाइ बीजगणित $aff (n)$ के सेमीडायरेक्ट उत्पाद के रूप में विभाजित होता है $R n$ और $gl (n)$ इसलिए $η$ को जोड़ी के रूप में लिखा जा सकता है $(θ, ω)$ कहाँ $θ$ मान लेता है $R n$ और $ω$ मान लेता है $gl (n)$ . शर्तें 1 और 2 के बराबर हैं $ω$ प्रधानाचार्य होने के नाते $GL(n)$ -कनेक्शन और $θ$ एक क्षैतिज समरूप 1-रूप है, जो एक बंडल समरूपता को प्रेरित करता है $T M$ संबद्ध बंडल में $P \times GL(n) R n$ . शर्त 3 इस तथ्य के समतुल्य है कि यह बंडल समाकारिता एक तुल्याकारिता है। (हालांकि, यह अपघटन affine समूह की बल्कि विशेष संरचना का परिणाम है।) चूंकि $P$ का फ्रेम बंडल है $P \times GL(n) R n$ , यह इस प्रकार है कि $θ$ के बीच एक बंडल समरूपता प्रदान करता है $P$ और फ्रेम बंडल $F M$ का $M$ ; यह प्रिंसिपल के रूप में एक एफ़िन कनेक्शन की परिभाषा को पुनर्प्राप्त करता है $GL(n)$ -कनेक्शन चालू $F M$ .

फ्लैट मॉडल में उत्पन्न होने वाले 1-रूप केवल इसके घटक हैं $θ$ और $ω$ .

प्रमुख संबंध संबंध के रूप में परिभाषा

एक एफ़िन कनेक्शन चालू है $M$ प्रधानाचार्य हैं $Aff(n)$ -बंडल $Q$ ऊपर $M$ , एक साथ एक प्रिंसिपल के साथ $GL(n)$ -सबबंडल $P$ का $Q$ और एक प्राचार्य $Aff(n)$ -कनेक्शन $α$ (एक 1-फॉर्म ऑन $Q$ मूल्यों के साथ $aff (n)$ ) जो निम्नलिखित (जेनेरिक) कार्टन शर्त को पूरा करता है। वह $R n$ पुलबैक का घटक $α$ को $P$ एक क्षैतिज समपरिवर्ती 1-रूप है और इसलिए बंडल समरूपता को परिभाषित करता है $T M$ को $P \times GL(n) R n$ : यह एक समरूपता होना आवश्यक है।

प्रेरणा से संबंध

तब से $Aff(n)$ कार्य करता है $A$ , प्रिंसिपल बंडल से जुड़ा हुआ है $Q$ , पोटली $A = Q \times Aff(n) A$ , जो एक फाइबर बंडल ओवर है $M$ जिसका फाइबर पर $x$ में $M$ एक एफ़िन स्पेस है $A x$ . एक खंड (फाइबर बंडल) $a$ का $A$ (एक चिह्नित बिंदु को परिभाषित करना $a x$ में $A x$ प्रत्येक के लिए $x \in M$ ) एक प्रिंसिपल निर्धारित करता है $GL(n)$ -सबबंडल $P$ का $Q$ (इन चिह्नित बिंदुओं के स्टेबलाइजर्स के बंडल के रूप में) और इसके विपरीत। प्रमुख कनेक्शन $α$ इस बंडल पर एह्रेसमैन कनेक्शन को परिभाषित करता है, इसलिए समानांतर परिवहन की धारणा। कार्टन स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि विशिष्ट खंड $a$ हमेशा समानांतर परिवहन के तहत चलता है।

और गुण

वक्रता और मरोड़

वक्रता और मरोड़ एक सजातीय संबंध के मुख्य आक्रमणकारी हैं। चूंकि एक संबंध संबंध की धारणा को परिभाषित करने के कई समान तरीके हैं, इसलिए वक्रता और मरोड़ को परिभाषित करने के कई अलग-अलग तरीके हैं।

कार्टन कनेक्शन के दृष्टिकोण से, वक्रता एफ़िन कनेक्शन की विफलता है $η$ मौरर-कार्टन समीकरण को संतुष्ट करने के लिए

\mathrm {d} \eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ]=0,

जहां बाईं ओर दूसरा पद सदिश क्षेत्रों के लाई ब्रैकेट का उपयोग करके कील उत्पाद है $aff (n)$ मूल्यों को अनुबंधित करने के लिए। विस्तार करके $η$ जोड़ी में $(θ, ω)$ और झूठ बीजगणित की संरचना का उपयोग करना $aff (n)$ , इस बाएँ हाथ की ओर को दो सूत्रों में विस्तारित किया जा सकता है

\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta \quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega \,,

जहां मैट्रिक्स गुणन का उपयोग करके वेज उत्पादों का मूल्यांकन किया जाता है। पहली अभिव्यक्ति को कनेक्शन का मरोड़ टेंसर कहा जाता है, और दूसरी को वक्रता भी कहा जाता है।

ये भाव एक फ्रेम बंडल के कुल स्थान पर विभेदक 2-रूप हैं। हालांकि, वे क्षैतिज और समानान्तर हैं, और इसलिए तन्य वस्तुओं को परिभाषित करते हैं। इन्हें सीधे प्रेरित सहसंयोजक व्युत्पन्न से परिभाषित किया जा सकता है $\nabla$ पर $T M$ निम्नलिखित नुसार।

कनेक्शन का मरोड़ सूत्र द्वारा दिया गया है

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y].

यदि मरोड़ गायब हो जाता है, तो कनेक्शन को मरोड़ रहित या सममित कहा जाता है।

वक्रता सूत्र द्वारा दी गई है

R_{X,Y}^{\nabla }Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.

ध्यान दें कि $[X, Y]$ सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है

[X,Y]=\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}

आइंस्टीन संकेतन में। यह समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है और

\partial _{i}=\left({\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\right)_{p}\,,

बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश $p$ की $i$ वें समन्वय वक्र। वह $\partial i$ बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान के लिए एक प्राकृतिक आधार हैं $p$ , और यह $X i$ सदिश क्षेत्र के लिए संबंधित निर्देशांक $X = X i \partial i$ .

जब वक्रता और मरोड़ दोनों गायब हो जाते हैं, तो कनेक्शन स्पर्शरेखा बंडल के वैश्विक वर्गों के स्थान पर प्री-लाई बीजगणित संरचना को परिभाषित करता है।

लेवी-सिविता कनेक्शन

अगर $(M, g)$ एक रीमैनियन कई गुना है तो एक अनोखा एफ़िन कनेक्शन है $\nabla$ पर $M$ निम्नलिखित दो गुणों के साथ:

कनेक्शन मरोड़ रहित है, अर्थात, $T \nabla$ शून्य है, इसलिए $\nabla X Y - \nabla Y X = [X, Y]$ ;
समानांतर परिवहन एक आइसोमेट्री है, अर्थात, आंतरिक उत्पाद (उपयोग करके परिभाषित $g$ ) स्पर्शरेखा सदिशों के बीच संरक्षित हैं।

इस कनेक्शन को लेवी-सिविता कनेक्शन कहा जाता है।

पहली संपत्ति के लिए मरोड़-मुक्त के बजाय सममित शब्द का प्रयोग अक्सर किया जाता है। दूसरी शर्त का अर्थ है कि कनेक्शन इस अर्थ में एक मीट्रिक कनेक्शन है कि रिमेंनियन मीट्रिक $g$ समानांतर है: $\nabla g = 0$ . मरोड़ रहित कनेक्शन के लिए, स्थिति पहचान के बराबर होती है $X g (Y, Z)$ = $g (\nabla X Y, Z)$ + $g (Y, \nabla X Z)$ , मीट्रिक के साथ संगतता।^[11] स्थानीय निर्देशांक में फॉर्म के घटकों को क्रिस्टोफेल प्रतीक कहा जाता है: लेवी-सिविता कनेक्शन की विशिष्टता के कारण, इन घटकों के घटकों के संदर्भ में एक सूत्र है $g$ .

भूगणित

चूँकि सीधी रेखाएँ affine ज्यामिति में एक अवधारणा है, affine कनेक्शन किसी भी affine कई गुना पर (parametrized) सीधी रेखाओं की एक सामान्यीकृत धारणा को परिभाषित करता है, जिसे affine geodesics कहा जाता है। संक्षेप में, एक पैरामीट्रिक वक्र $γ : I \to M$ एक सीधी रेखा है यदि इसका स्पर्शरेखा सदिश समांतर और समांतर रहता है जब इसे साथ ले जाया जाता है $γ$ . रैखिक दृष्टिकोण से, एक सजातीय संबंध $M$ affine geodesics को निम्न तरीके से अलग करता है: एक चिकनी वक्र $γ : I \to M$ एक affine geodesic है अगर ${\dot {\gamma }}$ समानांतर ले जाया जाता है $γ$ , वह है

\tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t)

कहाँ $τ s t : T γ s M \to T γ t M$ कनेक्शन को परिभाषित करने वाला समांतर परिवहन मानचित्र है।

अतिसूक्ष्म संबंध के संदर्भ में $\nabla$ , इस समीकरण के व्युत्पन्न का तात्पर्य है

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0

सभी के लिए $t \in I$ .

इसके विपरीत, इस विभेदक समीकरण का कोई भी समाधान एक वक्र उत्पन्न करता है जिसका स्पर्शरेखा सदिश वक्र के साथ समानांतर ले जाया जाता है। हरएक के लिए $x \in M$ और हर $X \in T x M$ , एक अद्वितीय एफाइन जियोडेसिक मौजूद है $γ : I \to M$ साथ $γ (0) = x$ और $γ̇ (0) = X$ और कहाँ $I$ में अधिकतम खुला अंतराल है $R$ , जिसमें 0 है, जिस पर जियोडेसिक परिभाषित है। यह पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय से अनुसरण करता है, और एफ़िन कनेक्शन से जुड़े एक घातीय मानचित्र (रीमैनियन ज्यामिति) की परिभाषा की अनुमति देता है।

विशेष रूप से, कब $M$ एक (स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड) रिमैनियन मैनिफोल्ड और है $\nabla$ लेवी-सिविता कनेक्शन है, तो एफाइन geodesic ्स रिमेंनियन ज्यामिति के सामान्य जियोडेसिक्स हैं और स्थानीय रूप से दूरी को कम करने वाले वक्र हैं।

यहाँ परिभाषित जियोडेसिक्स को कभी-कभी सजातीय पैरामीट्रिज्ड कहा जाता है, क्योंकि दी गई सीधी रेखा में $M$ एक पैरामीट्रिक वक्र निर्धारित करता है $γ$ लाइन के माध्यम से affine reparametrization के विकल्प तक $γ (t) \to γ (at + b)$ , कहाँ $a$ और $b$ नियतांक हैं। एक affine geodesic के लिए स्पर्शरेखा वेक्टर समानांतर और स्वयं के साथ उप-सदिश है। एक अपैरामीट्रिज्ड जियोडेसिक, या एक जो आवश्यक रूप से लैस होने के बिना केवल समानांतर है, केवल संतुष्ट करने की आवश्यकता है

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=k{\dot {\gamma }}

किसी समारोह के लिए $k$ साथ परिभाषित $γ$ . प्रक्षेप्य कनेक्शन के दृष्टिकोण से अक्सर अप्रतिबंधित जियोडेसिक्स का अध्ययन किया जाता है।

विकास

एक affine कनेक्शन घटता के विकास (अंतर ज्यामिति) की धारणा को परिभाषित करता है। सहज रूप से, विकास इस धारणा को पकड़ लेता है कि यदि $x t$ में एक वक्र है $M$ , फिर affine स्पर्शरेखा स्थान पर $x 0$ वक्र के साथ लुढ़का जा सकता है। जैसा कि ऐसा होता है, स्पर्शरेखा स्थान और कई गुना के बीच संपर्क का चिह्नित बिंदु एक वक्र का पता लगाता है $C t$ इस संबंध स्थान में: का विकास $x t$ .

औपचारिक शब्दों में, चलो $τ 0 t : T x t M \to T x 0 M$ affine कनेक्शन से जुड़ा रैखिक समानांतर परिवहन मानचित्र हो। फिर विकास $C t$ में वक्र है $T x 0 M$ 0 से शुरू होता है और की स्पर्शरेखा के समानांतर है $x t$ हमेशा के लिए $t$ :

{\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t}\,,\quad C_{0}=0.

विशेष रूप से, $x t$ एक जियोडेसिक है अगर और केवल अगर इसका विकास एक सजातीय पैरामीट्रिज्ड सीधी रेखा है $T x 0 M$ .^[12]

भूतल सिद्धांत पर दोबारा गौर किया गया

अगर $M$ में एक सतह है $R 3$ , यह देखना आसान है $M$ का प्राकृतिक संबंध है। रैखिक कनेक्शन के दृष्टिकोण से, एक सदिश क्षेत्र के सहसंयोजक व्युत्पन्न को सदिश क्षेत्र को अलग करके परिभाषित किया जाता है, जिसे एक मानचित्र के रूप में देखा जाता है $M$ को $R 3$ , और फिर परिणाम को ओर्थोगोनली वापस की स्पर्शरेखा रिक्त स्थान पर प्रक्षेपित करना $M$ . यह देखना आसान है कि यह एफ़िन कनेक्शन मरोड़-मुक्त है। इसके अलावा, यह रिमेंनियन मेट्रिक ऑन के संबंध में एक मीट्रिक कनेक्शन है $M$ पर आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित $R 3$ , इसलिए यह इस मेट्रिक का Levi-Civita कनेक्शन है।

उदाहरण: यूक्लिडियन अंतरिक्ष में इकाई क्षेत्र

होने देना $⟨ , ⟩$ सामान्य स्केलर उत्पाद चालू करें $R 3$ , और जाने $S 2$ इकाई क्षेत्र हो। के लिए स्पर्शरेखा स्थान $S 2$ एक बिंदु पर $x$ की सदिश उपसमष्टि से स्वाभाविक रूप से पहचाना जाता है $R 3$ सभी वैक्टर ऑर्थोगोनल से मिलकर $x$ . यह इस प्रकार है कि एक वेक्टर क्षेत्र $Y$ पर $S 2$ को मानचित्र के रूप में देखा जा सकता है $Y : S 2 \to R 3$ जो संतुष्ट करता है

\langle Y_{x},x\rangle =0\,,\quad \forall x\in \mathbf {S} ^{2}.

के रूप में निरूपित करें $d Y$ ऐसे मानचित्र का अंतर (जैकोबियन मैट्रिक्स)। तो हमारे पास हैं:

लेम्मा। सूत्र

(\nabla _{Z}Y)_{x}=\mathrm {d} Y_{x}(Z_{x})+\langle Z_{x},Y_{x}\rangle x

affine कनेक्शन को परिभाषित करता है

S 2

गायब होने वाले मरोड़ के साथ।

सबूत। इसे सिद्ध करना सीधा है

\nabla

लीबनिज पहचान को संतुष्ट करता है और है

C \infty (S 2)

पहले चर में रैखिक। तो यहाँ जो कुछ सिद्ध करने की आवश्यकता है वह यह है कि ऊपर दिया गया नक्शा वास्तव में एक स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है। यानी हमें इसे सभी के लिए साबित करने की जरूरत है

x

में

S 2

{\bigl \langle }(\nabla _{Z}Y)_{x},x{\bigr \rangle }=0\,.\qquad {\text{(Eq.1)}}

नक्शे पर विचार करें

{\begin{aligned}f:\mathbf {S} ^{2}&\to \mathbf {R} \\x&\mapsto \langle Y_{x},x\rangle \,.\end{aligned}}

नक्शा f स्थिर है, इसलिए इसका अंतर गायब हो जाता है। विशेष रूप से

\mathrm {d} f_{x}(Z_{x})={\bigl \langle }(\mathrm {d} Y)_{x}(Z_{x}),x(\gamma '(t)){\bigr \rangle }+\langle Y_{x},Z_{x}\rangle =0\,.

उपरोक्त समीकरण 1 इस प्रकार है। Q.E.D.

यह भी देखें

एटलस (टोपोलॉजी)
कनेक्शन (गणित)
कनेक्शन (फाइबर मैनिफोल्ड)
कनेक्शन (एफ़ाइन बंडल)
विभेदक कई गुना
विभेदक ज्यामिति
सामान्य सापेक्षता के गणित का परिचय
लेवी-सिविता कनेक्शन
रिमानियन ज्यामिति में सूत्रों की सूची
रिमानियन ज्यामिति

↑ a linear connection is also frequently called affine connection or simply connection,^[1] So that there is no agreement on the precise definitions of these terms (John M. Lee simply calls it connection).^[2]
↑ Cartan explains that he has borrowed this term (i.e. "affine connection") from the H. Weyl's book and referred to it (Space-Time-Matter), although he used it in more general context.^[4]
↑ As a result, many mathematicians use the term linear connection (instead of affine connection) for a connection on the tangent bundle, on the grounds that parallel transport is linear and not affine. However, the same property holds for any (Koszul or linear Ehresmann) connection on a vector bundle. Originally the term affine connection is short for an affine connection in the sense of Cartan, and this implies that the connection is defined on the tangent bundle, rather than an arbitrary vector bundle. The notion of a linear Cartan connection does not really make much sense, because linear representations are not transitive.
↑ It is difficult to make Cartan's intuition precise without invoking smooth infinitesimal analysis, but one way is to regard his points being variable, that is maps from some unseen parameter space into the manifold, which can then be differentiated.
↑ Classically, the tangent space was viewed as an infinitesimal approximation, while in modern differential geometry, tangent spaces are often defined in terms of differential objects such as derivations.^[8]
↑ This can be viewed as a choice of origin: actually it suffices to consider only the case $p = a x$ ; Cartan implicitly identifies this with $x$ in $M$ .

उद्धरण

↑ Lee 1997, p. 51.
↑ Lee 2018, p. 91.
↑ Lee 2018, p. 88, Connections.
↑ Akivis & Rosenfeld 1993, p. 213.
↑ Weyl 1918, 5 editions to 1922.
↑ Cartan 1923.
↑ Cartan 1926.
↑ Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, sections 1.1–1.2
↑ For details, see Lumiste (2001b). The following intuitive treatment is that of Cartan (1923) and Cartan (1926).
↑ Cf. R. Hermann (1983), Appendix 1–3 to Cartan (1951), and also Sharpe (1997).
↑ Kobayashi & Nomizu 1996, p. 160, Vol. I
↑ This treatment of development is from Kobayashi & Nomizu (1996, Volume 1, Proposition III.3.1); see section III.3 for a more geometrical treatment. See also Sharpe (1997) for a thorough discussion of development in other geometrical situations.

संदर्भ

Akivis, M. A.; Rosenfeld, Boris (1993). Élie Cartan (1869–1951). Translated by Goldberg, V. V. AMS. ISBN 978-0-8218-5355-9.
Lee, John M. (1997). Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 176. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6. OCLC 54850593.
Lee, John M. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 176 (2nd ed.). Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-319-91755-9. ISBN 978-3-319-91755-9.

ग्रन्थसूची

प्राथमिक ऐतिहासिक संदर्भ

Christoffel, Elwin Bruno (1869), "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1869 (70): 46–70, doi:10.1515/crll.1869.70.46, S2CID 122999847
Levi-Civita, Tullio (1917), "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana", Rend. Circ. Mat. Palermo, 42: 173–205, doi:10.1007/bf03014898, S2CID 122088291
Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40: 325–412, doi:10.24033/asens.751
Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 41: 1–25, doi:10.24033/asens.753
Cartan, Élie (1986), On Manifolds with Affine Connection and the Theory of General Relativity, Humanities Press

सापेक्षता सिद्धांत के अध्ययन से प्रेरित के रूप में कार्टन का संबंध संबंधों का उपचार। संदर्भ फ्रेम के भौतिकी की विस्तृत चर्चा शामिल है, और कैसे कनेक्शन एक विश्व रेखा के साथ परिवहन की भौतिक धारणा को दर्शाता है।

Cartan, Élie (1926), "Espaces à connexion affine, projective et conforme", Acta Math., 48: 1–42, doi:10.1007/BF02629755

affine कनेक्शन का अधिक गणितीय रूप से प्रेरित खाता।

Cartan, Élie (1951), with appendices by Robert Hermann (ed.), Geometry of Riemannian Spaces (translation by James Glazebrook of Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, 2nd ed.), Math Sci Press, Massachusetts (published 1983), ISBN 978-0-915692-34-7.

Riemannian ज्यामिति के दृष्टिकोण से Affine कनेक्शन। रॉबर्ट हरमन के परिशिष्ट सतह सिद्धांत से प्रेरणा के साथ-साथ कोज़ुल के आधुनिक अर्थों में संबंध संबंधों की धारणा पर चर्चा करते हैं। वह डिफरेंशियल ऑपरेटर ∇ के बुनियादी गुणों को विकसित करता है, और उन्हें कार्टन के अर्थ में क्लासिकल एफ़िन कनेक्शन से संबंधित करता है।

Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 editions to 1922, with notes by Jürgen Ehlers (1980), translated 4th edition Space, Time, Matter by Henry Brose, 1922 (Methuen, reprinted 1952 by Dover) ed.), Springer, Berlin, ISBN 0-486-60267-2

माध्यमिक संदर्भ

Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vols. 1 & 2 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.

यह लेख के तकनीकी विवरण के लिए मुख्य संदर्भ है। वॉल्यूम 1, अध्याय III कई गुना, समांतर परिवहन, विकास, भूगर्भ विज्ञान, और संबंधित अंतर ऑपरेटरों पर मुख्य बंडलों के परिप्रेक्ष्य से एफ़िन कनेक्शन का विस्तृत विवरण देता है। वॉल्यूम 1 अध्याय VI affine परिवर्तन, मरोड़, और affine geodesy के सामान्य सिद्धांत का लेखा-जोखा देता है। वॉल्यूम 2 सजातीय रिक्त स्थान और जटिल मैनिफोल्ड के साथ-साथ अन्य मिश्रित विषयों के लिए एफ़िन कनेक्शन के कई अनुप्रयोग देता है।

Lumiste, Ülo (2001a) [1994], "Affine connection", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, ISBN 978-1-55608-010-4.
Lumiste, Ülo (2001b) [1994], "Connections on a manifold", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, ISBN 978-1-55608-010-4.

लुमिस्टे द्वारा दो लेख, समांतर परिवहन मानचित्रों पर सटीक स्थितियां देते हुए ताकि वे affine कनेक्शन परिभाषित कर सकें। वे शास्त्रीय (गैर-प्रमुख बंडल) परिप्रेक्ष्य से वक्रता, मरोड़ और अन्य मानक विषयों का भी इलाज करते हैं।

Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.

यह कुछ ऐतिहासिक विवरणों को भरता है, और सामान्य रूप से कार्टन कनेक्शनों का अधिक पाठक-अनुकूल प्रारंभिक खाता प्रदान करता है। परिशिष्ट A प्रमुख संबंध और पूर्ण समानता के दृष्टिकोण के बीच संबंध को स्पष्ट करता है। परिशिष्ट बी एफाइन कनेक्शन के क्लासिकल रोलिंग मॉडल और प्रिंसिपल बंडल्स और डिफरेंशियल ऑपरेटर्स पर आधारित आधुनिक मॉडल के बीच की खाई को पाटता है।

श्रेणी:कनेक्शन (गणित) श्रेणी:विभेदक ज्यामिति श्रेणी:कई गुना के मानचित्र केटेगरी: स्मूद फंक्शन

डी: ज़ुसममेनहैंग (डिफरेंशियल जियोमेट्री)#लीनियरर ज़ुसममेनहांग

[3] linear connection is also frequently called affine connection or simply connection,^[1] So that there is no agreement on the precise definitions of these terms (John M. Lee simply calls it connection).^[2]

[6] Cartan explains that he has borrowed this term (i.e. "affine connection") from the H. Weyl's book and referred to it (Space-Time-Matter), although he used it in more general context.^[4]

[9] As a result, many mathematicians use the term linear connection (instead of affine connection) for a connection on the tangent bundle, on the grounds that parallel transport is linear and not affine. However, the same property holds for any (Koszul or linear Ehresmann) connection on a vector bundle. Originally the term affine connection is short for an affine connection in the sense of Cartan, and this implies that the connection is defined on the tangent bundle, rather than an arbitrary vector bundle. The notion of a linear Cartan connection does not really make much sense, because linear representations are not transitive.

[11] It is difficult to make Cartan's intuition precise without invoking smooth infinitesimal analysis, but one way is to regard his points being variable, that is maps from some unseen parameter space into the manifold, which can then be differentiated.

[13] Classically, the tangent space was viewed as an infinitesimal approximation, while in modern differential geometry, tangent spaces are often defined in terms of differential objects such as derivations.^[8]

[15] This can be viewed as a choice of origin: actually it suffices to consider only the case $p = a x$ ; Cartan implicitly identifies this with $x$ in $M$ .

[FOOTNOTELee199751-1] Lee 1997, p. 51.

[FOOTNOTELee201891-2] Lee 2018, p. 91.

[FOOTNOTELee201888Connections-4] Lee 2018, p. 88, Connections.

[FOOTNOTEAkivisRosenfeld1993213-5] Akivis & Rosenfeld 1993, p. 213.

[7] Weyl 1918, 5 editions to 1922.

[Cartan-affine-8] Cartan 1923.

[10] Cartan 1926.

[12] Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, sections 1.1–1.2

[14] For details, see Lumiste (2001b). The following intuitive treatment is that of Cartan (1923) and Cartan (1926).

[16] Cf. R. Hermann (1983), Appendix 1–3 to Cartan (1951), and also Sharpe (1997).

[17] Kobayashi & Nomizu 1996, p. 160, Vol. I

[18] This treatment of development is from Kobayashi & Nomizu (1996, Volume 1, Proposition III.3.1); see section III.3 for a more geometrical treatment. See also Sharpe (1997) for a thorough discussion of development in other geometrical situations.

[lower-alpha 1]

[3]

[lower-alpha 2]

[5]

[6]

[lower-alpha 3]

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[lower-alpha 4]

[lower-alpha 5]

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[lower-alpha 6]

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