चर का परिवर्तन

गणित में, चरों का परिवर्तन एक बुनियादी तकनीक है जिसका उपयोग समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर (गणित) को अन्य चरों के फलन (गणित) से बदल दिया जाता है। आशय यह है कि जब नए चरों में व्यक्त किया जाता है, तो समस्या सरल हो सकती है, या बेहतर समझी जाने वाली समस्या के बराबर हो सकती है।

चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन (बीजगणित) से संबंधित है। हालाँकि ये अलग-अलग ऑपरेशन हैं, जैसा कि व्युत्पन्न (श्रृंखला नियम) या अभिन्न (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण) पर विचार करते समय देखा जा सकता है।

उपयोगी चर परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण छठी डिग्री बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में देखा जा सकता है:

x^{6}-9x^{3}+8=0.

रेडिकल के संदर्भ में छठी-डिग्री बहुपद समीकरणों को हल करना आम तौर पर असंभव है (एबेल-रफिनी प्रमेय देखें)। हालाँकि, यह विशेष समीकरण लिखा जा सकता है

(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0

(यह बहुपद अपघटन का एक साधारण मामला है)। इस प्रकार एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है $u=x^{3}$ . द्वारा x को प्रतिस्थापित करना ${\sqrt[{3}]{u}}$ बहुपद में देता है

u^{2}-9u+8=0,

जो दो समाधानों के साथ सिर्फ एक द्विघात समीकरण है:

u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.

मूल चर के संदर्भ में समाधान x को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है³ बैक इन फॉर यू, जो देता है

x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.

फिर, यह मानते हुए कि कोई केवल वास्तविक संख्या समाधानों में रुचि रखता है, मूल समीकरण के समाधान हैं

x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.

सरल उदाहरण

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

xy+x+y=71

x^{2}y+xy^{2}=880

कहाँ $x$ और $y$ के साथ धनात्मक पूर्णांक हैं $x>y$ . (स्रोत: 1991 अमेरिकी आमंत्रण गणित परीक्षा)

इसे सामान्य रूप से हल करना बहुत कठिन नहीं है, लेकिन यह थोड़ा कठिन हो सकता है। हालाँकि, हम दूसरे समीकरण को फिर से लिख सकते हैं $xy(x+y)=880$ . प्रतिस्थापन बनाना $s=x+y$ और $t=xy$ सिस्टम को कम कर देता है $s+t=71,st=880$ . इसका समाधान देता है $(s,t)=(16,55)$ और $(s,t)=(55,16)$ . पहले क्रमित युग्म का बैक-प्रतिस्थापन हमें देता है $x+y=16,xy=55,x>y$ , जो समाधान देता है $(x,y)=(11,5).$ दूसरी ऑर्डर की गई जोड़ी को बैक-प्रतिस्थापन करना हमें देता है $x+y=55,xy=16,x>y$ , जिसका कोई समाधान नहीं है। इसलिए सिस्टम को हल करने वाला समाधान है $(x,y)=(11,5)$ .

औपचारिक परिचय

होने देना $A$ , $B$ चिकनी कई गुना हो और चलो $\Phi :A\rightarrow B$ एक हो $C^{r}$ -उनके बीच भिन्नता, वह है: $\Phi$ एक है $r$ बार निरंतर अवकलनीय, विशेषण मानचित्र से $A$ को $B$ साथ $r$ बार लगातार अवकलनीय प्रतिलोम से $B$ को $A$ . यहाँ $r$ कोई भी प्राकृतिक संख्या (या शून्य) हो सकती है, $\infty$ (चिकनी समारोह) या $\omega$ (विश्लेषणात्मक कार्य)।

वो नक्शा $\Phi$ एक नियमित समन्वय परिवर्तन या नियमित चर प्रतिस्थापन कहा जाता है, जहां नियमित रूप से संदर्भित होता है $C^{r}$ -की $\Phi$ . आमतौर पर कोई लिखेगा $x=\Phi (y)$ चर के प्रतिस्थापन को इंगित करने के लिए $x$ चर द्वारा $y$ के मान को प्रतिस्थापित करके $\Phi$ में $y$ की हर घटना के लिए $x$ .

अन्य उदाहरण

समन्वय परिवर्तन

ध्रुवीय निर्देशांक पर स्विच करने पर कुछ प्रणालियों को अधिक आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए समीकरण पर विचार करें

U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.

यह किसी शारीरिक समस्या के लिए संभावित ऊर्जा फलन हो सकता है। यदि किसी को तुरंत समाधान नहीं दिखता है, तो वह प्रतिस्थापन का प्रयास कर सकता है

\displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )

द्वारा दिए गए

\displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).

ध्यान दें कि अगर $\theta$ ए के बाहर चलता है $2\pi$ -लंबाई अंतराल, उदाहरण के लिए, $[0,2\pi ]$ , वो नक्शा $\Phi$ अब विशेषण नहीं है। इसलिए, $\Phi$ तक सीमित होना चाहिए, उदाहरण के लिए $(0,\infty ]\times [0,2\pi )$ . नोटिस कैसे $r=0$ के लिए बहिष्कृत है $\Phi$ मूल में विशेषण नहीं है ( $\theta$ कोई भी मान ले सकता है, बिंदु (0, 0)) पर मैप किया जाएगा। फिर, द्वारा निर्धारित नई अभिव्यक्ति (गणित) द्वारा मूल चर की सभी घटनाओं को प्रतिस्थापित करना $\Phi$ और पहचान का उपयोग करना $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ , हम पाते हैं

V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.

अब समाधान आसानी से मिल सकते हैं: $\sin(\theta )=0$ , इसलिए $\theta =0$ या $\theta =\pi$ . का विलोम लगाना $\Phi$ दिखाता है कि यह बराबर है $y=0$ जबकि $x\not =0$ . वास्तव में, हम देखते हैं कि के लिए $y=0$ उत्पत्ति को छोड़कर फ़ंक्शन गायब हो जाता है।

ध्यान दें, क्या हमने अनुमति दी थी $r=0$ , मूल भी एक समाधान होता, हालांकि यह मूल समस्या का समाधान नहीं है। यहाँ की वस्तुनिष्ठता $\Phi$ अत्यंत महत्वपूर्ण है। समारोह हमेशा सकारात्मक होता है (के लिए $x,y\in \mathbb {R}$ ), इसलिए निरपेक्ष मान।

भेद

जटिल विभेदीकरण को आसान बनाने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न की गणना करने की समस्या पर विचार करें

{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).

होने देना $y=\sin u$ साथ $u=x^{2}.$ तब:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}

एकीकरण

कठिन समाकलों का अक्सर चरों को बदलकर मूल्यांकन किया जा सकता है; यह प्रतिस्थापन नियम द्वारा सक्षम है और उपरोक्त श्रृंखला नियम के उपयोग के अनुरूप है। संबंधित जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक द्वारा दिए गए चर के परिवर्तन का उपयोग करके अभिन्न अंग को सरल बनाकर कठिन इंटीग्रल को भी हल किया जा सकता है।^[1] जेकोबियन निर्धारक और इसके द्वारा दिए गए चर के संगत परिवर्तन का उपयोग ध्रुवीय, बेलनाकार और गोलाकार समन्वय प्रणाली जैसे समन्वय प्रणालियों का आधार है।

Lebesgue माप के संदर्भ में चर सूत्र का परिवर्तन

निम्नलिखित प्रमेय^[2] हमें एक पैरामीटर जी के तहत पुलबैक माप के संबंध में समकक्ष इंटीग्रल के लिए लेबेस्ग माप के संबंध में इंटीग्रल से संबंधित करने की अनुमति देता है। सबूत जॉर्डन सामग्री के अनुमानों के कारण है।

मान लीजिए कि $\Omega$ का खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ और $G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ एक है $C^{1}$ डिफियोमोर्फिज्म।
अगर $f$ एक Lebesgue मापने योग्य कार्य है $G(\Omega )$ , तब $f\circ G$ Lebesgue पर मापने योग्य है $\Omega$ . अगर $f\geq 0$ या $f\in L^{1}(G(\Omega ),m),$ तब $\int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx$ .

अगर $E\subset \Omega$ और $E$ Lebesgue औसत दर्जे का है, तो $G(E)$ Lebesgue औसत दर्जे का है, तो $m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx$ .

इस प्रमेय के परिणाम के रूप में, हम पुलबैक और पुशफॉरवर्ड उपायों दोनों के रेडॉन-निकोडिम डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं $m$ अंतर्गत $T$ .

पुलबैक उपाय और परिवर्तन सूत्र

परिवर्तन के संदर्भ में पुलबैक उपाय $T$ , परिभाषित किया जाता है $T^{*}\mu :=\mu (T(A))$ . पुलबैक उपायों के लिए चर सूत्र का परिवर्तन है

$\int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu$ .

पुशफॉरवर्ड माप और परिवर्तन सूत्र

एक परिवर्तन के संदर्भ में पुशफॉरवर्ड उपाय $T$ , परिभाषित किया जाता है $T_{*}\mu :=\mu (T^{-1}(A))$ . पुशफॉरवर्ड उपायों के लिए चर सूत्र का परिवर्तन है

$\int _{\Omega }gd\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ (T^{-1})dT_{*}\mu$ .

Lebesgue माप के लिए चर सूत्र के परिवर्तन के परिणाम के रूप में, हमारे पास वह है

लेबेस्ग उपाय के संबंध में पुलबैक का रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न: ${\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|$
लेबेस्ग माप के संबंध में पुशफॉरवर्ड का रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न: ${\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|$

जिससे हम प्राप्त कर सकते हैं

पुलबैक उपाय के लिए चर सूत्र का परिवर्तन: $\int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu =\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)$
पुशफॉरवर्ड माप के लिए वेरिएबल्स फॉर्मूला का परिवर्तन: $\int _{\Omega }gd\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ TdT_{*}\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ T|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)$

विभेदक समीकरण

विभेदीकरण और एकीकरण के लिए परिवर्तनशील परिवर्तन प्रारंभिक कलन में पढ़ाए जाते हैं और चरणों को शायद ही कभी पूरा किया जाता है।

अंतर समीकरणों पर विचार करते समय चर परिवर्तनों का बहुत व्यापक उपयोग स्पष्ट है, जहां श्रृंखला नियम का उपयोग करके स्वतंत्र चर को बदला जा सकता है या आश्रित चर को बदल दिया जाता है जिसके परिणामस्वरूप कुछ भेदभाव किया जाता है। विदेशी परिवर्तन, जैसे कि बिंदु परिवर्तन और संपर्क परिवर्तन में आश्रित और स्वतंत्र चर का मिलन, बहुत जटिल हो सकता है लेकिन अधिक स्वतंत्रता की अनुमति देता है।

बहुत बार, परिवर्तन के लिए एक सामान्य रूप को एक समस्या में प्रतिस्थापित किया जाता है और समस्या को सरल बनाने के तरीके के साथ चुने गए पैरामीटर।

स्केलिंग और शिफ्टिंग

संभवतः सबसे सरल परिवर्तन वेरिएबल्स की स्केलिंग और शिफ्टिंग है, जो उन्हें नए वेरिएबल्स के साथ बदल रहा है जो निरंतर मात्रा में फैले और स्थानांतरित होते हैं। भौतिक मापदंडों को समस्याओं से बाहर निकालने के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोगों में यह बहुत आम है। एन के लिए^वां ऑर्डर डेरिवेटिव, परिवर्तन केवल परिणाम देता है

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}

कहाँ

x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}

y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.

यह श्रृंखला नियम और विभेदीकरण की रैखिकता के माध्यम से आसानी से दिखाया जा सकता है। भौतिक मापदंडों को समस्याओं से बाहर निकालने के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोगों में यह परिवर्तन बहुत आम है, उदाहरण के लिए, सीमा मान समस्या

\mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0

दूरी δ द्वारा अलग की गई सपाट ठोस दीवारों के बीच समानांतर द्रव प्रवाह का वर्णन करता है; μ चिपचिपापन है और $dp/dx$ दाब प्रवणता, दोनों स्थिरांक। चरों को स्केल करके समस्या बन जाती है

{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0

कहाँ

y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.

स्केलिंग कई कारणों से उपयोगी है। यह मापदंडों की संख्या को कम करके और समस्या को सरल बनाकर विश्लेषण को सरल बनाता है। उचित स्केलिंग वेरिएबल्स को सामान्य कर सकती है, जो उन्हें 0 से 1 जैसी एक समझदार इकाई रहित श्रेणी बनाती है। अंत में, यदि कोई समस्या संख्यात्मक समाधान को अनिवार्य करती है, तो कम पैरामीटर, संगणनाओं की संख्या कम होती है।

संवेग बनाम वेग

समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

{\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}

किसी दिए गए समारोह के लिए $H(x,v)$ . (तुच्छ) प्रतिस्थापन द्वारा द्रव्यमान को समाप्त किया जा सकता है $\Phi (p)=1/m\cdot p$ . स्पष्ट रूप से यह एक विशेषण मानचित्र है $\mathbb {R}$ को $\mathbb {R}$ . प्रतिस्थापन के तहत $v=\Phi (p)$ सिस्टम बन जाता है

{\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}

लग्रंगियन यांत्रिकी

एक बल क्षेत्र दिया $\varphi (t,x,v)$ , आइजैक न्यूटन की गति के समीकरण हैं

m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).

लाग्रेंज ने जांच की कि कैसे गति के ये समीकरण चर के मनमाने प्रतिस्थापन के तहत बदलते हैं $x=\Psi (t,y)$ , $v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.$ उन्होंने पाया कि समीकरण

{\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}

समारोह के लिए न्यूटन के समीकरणों के बराबर हैं $L=T-V$ , जहाँ T गतिज है, और V स्थितिज ऊर्जा है।

वास्तव में, जब प्रतिस्थापन को अच्छी तरह से चुना जाता है (उदाहरण के लिए सिस्टम की समरूपता और बाधाओं का शोषण) कार्टेशियन निर्देशांक में न्यूटन के समीकरणों की तुलना में इन समीकरणों को हल करना बहुत आसान है।

यह भी देखें

चरों का परिवर्तन (पीडीई)
संभाव्यता घनत्व समारोह# यादृच्छिक चर का कार्य और संभावना घनत्व समारोह में चर का परिवर्तन
समानता की प्रतिस्थापन संपत्ति
सार्वभौमिक तात्कालिकता

संदर्भ

↑ Kaplan, Wilfred (1973). "Change of Variables in Integrals". उन्नत कैलकुलस (Second ed.). Reading: Addison-Wesley. pp. 269–275.
↑ Folland, G. B. (1999). Real analysis : modern techniques and their applications (2nd ed.). New York: Wiley. pp. 74–75. ISBN 0-471-31716-0. OCLC 39849337.

[1] Kaplan, Wilfred (1973). "Change of Variables in Integrals". उन्नत कैलकुलस (Second ed.). Reading: Addison-Wesley. pp. 269–275.

[2] Folland, G. B. (1999). Real analysis : modern techniques and their applications (2nd ed.). New York: Wiley. pp. 74–75. ISBN 0-471-31716-0. OCLC 39849337.

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