डिफरइंटीग्रल

"Fractional integration" redirects here. Not to be confused with Autoregressive fractionally integrated moving average.

आंशिक गणना में, गणितीय विश्लेषण का एक क्षेत्र, डिफरइंटीग्रल (कभी-कभी डेरिविग्रल भी कहा जाता है) एक संयुक्त विभेदक ऑपरेटर /अभिन्न संचालिका ऑपरेटर होता है। एक फ़ंक्शन (गणित) के लिए लागू किया गया ƒ, q-'f का अलग-अलग इंटीग्रल, यहां द्वारा दर्शाया गया है

$\mathbb {D} ^{q}f$

Fractional_calculus#Historical_notes (यदि q > 0) या Fractional_calculus#Fractional_integrals (यदि q <0) है। यदि q = 0 है, तो किसी फलन का q-वां अंतर समाकलन ही फलन होता है। भिन्नात्मक समाकलन और विभेदन के संदर्भ में, विभिन्न समाकलन की कई वैध परिभाषाएँ हैं।

मानक परिभाषाएँ

चार सबसे आम रूप हैं:

• रीमैन-लिउविल डिफरेंटइंटीग्रल
  यह उपयोग करने में सबसे सरल और आसान है, और परिणामस्वरूप यह सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है। यह स्वैच्छिक क्रम में बार-बार एकीकरण के लिए कौशी सूत्र का सामान्यीकरण है। यहाँ, $n=\lceil q\rceil$.
  $${\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}$$
• ग्रुनवल्ड-लेटनिकोव अलग-अलग हैं{{pb}ग्रुन्वाल्ड-लेटनिकोव डिफरेंटेरल एक व्युत्पन्न की परिभाषा का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है। रीमैन-लिउविल डिफरेंटेरल की तुलना में इसका उपयोग करना अधिक कठिन है, लेकिन कभी-कभी उन समस्याओं को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है जो रीमैन-लिउविल नहीं कर सकते।
  $${\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}$$
• द वेइल डिफरेंट इंटीग्रल
  यह औपचारिक रूप से रीमैन-लिउविल डिफरेंटेरल के समान है, लेकिन आवधिक कार्यों पर लागू होता है, एक अवधि में अभिन्न शून्य के साथ।
• द कैपुटो डिफरेंटीग्रल इंटीग्रल
  रिमैन-लिउविल डिफरेंइंटीग्रल के विपरीत, एक स्थिरांक का कैपुटो डेरिवेटिव $f(t)$ शून्य के बराबर है। इसके अलावा, लाप्लास परिवर्तन का एक रूप बिंदु पर परिमित, पूर्णांक-क्रम डेरिवेटिव की गणना करके प्रारंभिक स्थितियों का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है $a$.
  $${\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}$$

रूपांतरण के माध्यम से परिभाषाएं

लिउविल, फूरियर, और ग्रुनवाल्ड और लेटनिकोव द्वारा दी गई भिन्नात्मक डेरिवेटिव की परिभाषाएं मेल खाती हैं। उन्हें लाप्लास, फूरियर रूपांतरण या न्यूटन श्रृंखला विस्तार के माध्यम से प्रदर्शित किया जा सकता है।

निरंतर फूरियर रूपांतरण को याद करें, यहाँ निरूपित किया गया है ${\mathcal {F}}$:

$$F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

निरंतर फूरियर रूपांतरण का उपयोग करते हुए, फूरियर स्थान में, विभेदन गुणन में बदल जाता है:

$${\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]$$

इसलिए,

$${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}$$

जो सामान्य करता है

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.$$

द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के तहत, यहाँ द्वारा निरूपित किया गया ${\mathcal {L}}$ और के रूप में परिभाषित किया गया है ${\textstyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$, विभेदन गुणन में बदल जाता है

$${\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].$$

मनमाना आदेश और के लिए हल करने के लिए सामान्यीकरण $\mathbb {D} ^{q}f(t)$, एक प्राप्त करता है

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.$$

न्यूटन श्रृंखला के माध्यम से प्रतिनिधित्व लगातार पूर्णांक क्रमों पर न्यूटन प्रक्षेप है:

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {q}{m}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f^{(k)}(x).$$

इस खंड में वर्णित भिन्नात्मक डेरिवेटिव परिभाषाओं के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ धारण करती हैं:

$\mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}$

$\mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)$

$\mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}$

बुनियादी औपचारिक गुण

• रैखिक ऑपरेटर नियम
  $$\mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)$$

$$\mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)$$

• शून्य नियम
  $$\mathbb {D} ^{0}f=f$$
• प्रॉडक्ट नियम
  $$\mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)$$

सामान्य तौर पर, रचना (या अर्धसमूह) नियम एक वांछनीय संपत्ति है, लेकिन गणितीय रूप से प्राप्त करना कठिन है और इसलिए प्रत्येक प्रस्तावित ऑपरेटर द्वारा 'हमेशा पूरी तरह से संतुष्ट नहीं' होता है; यह निर्णय लेने की प्रक्रिया का हिस्सा है जिसमें से किसे चुनना है:

• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f=\mathbb {D} ^{a+b}f}$ (आदर्श)
• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$ (व्यवहार में)

यह भी देखें

• फ्रैक्शनल-ऑर्डर इंटीग्रेटर

संदर्भ

• Miller, Kenneth S. (1993). Ross, Bertram (ed.). An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. Wiley. ISBN 0-471-58884-9.
• Oldham, Keith B.; Spanier, Jerome (1974). The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. Mathematics in Science and Engineering. Vol. V. Academic Press. ISBN 0-12-525550-0.
• Podlubny, Igor (1998). Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications. Mathematics in Science and Engineering. Vol. 198. Academic Press. ISBN 0-12-558840-2.
• Carpinteri, A.; Mainardi, F., eds. (1998). Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-211-82913-X.
• Mainardi, F. (2010). Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. Imperial College Press. ISBN 978-1-84816-329-4. Archived from the original on 2012-05-19.
• Tarasov, V.E. (2010). Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. Nonlinear Physical Science. Springer. ISBN 978-3-642-14003-7.
• Uchaikin, V.V. (2012). Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Nonlinear Physical Science. Springer. Bibcode:2013fdpe.book.....U. ISBN 978-3-642-33910-3.
• West, Bruce J.; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Physics of Fractal Operators. Springer Verlag. ISBN 0-387-95554-2.

बाहरी संबंध

• MathWorld – Fractional calculus
• MathWorld – Fractional derivative
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis (1998-2014) and Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)
• Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
• Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• Specialized journal: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2002). "Initialized Fractional Calculus". Information Technology. Tech Briefs Media Group.
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
• Podlubny, I. (2002). "Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation" (PDF). Fractional Calculus and Applied Analysis. 5 (4): 367–386. arXiv:math.CA/0110241. Bibcode:2001math.....10241P.
• Zavada, P. (1998). "Operator of fractional derivative in the complex plane". Communications in Mathematical Physics. 192 (2): 261–285. arXiv:funct-an/9608002. Bibcode:1998CMaPh.192..261Z. doi:10.1007/s002200050299. S2CID 1201395.