परिवर्तनशील सिद्धांत

विज्ञान में और विशेष रूप से गणितीय अध्ययनों में, परिवर्तनशील सिद्धांत वह है जो विविधताओं की गणना का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने में सक्षम बनाता है, जो उन कार्यों को खोजने से संबंधित है जो उन कार्यों पर निर्भर मात्राओं के मूल्यों को अनुकूलित करते हैं। उदाहरण के लिए, दोनों सिरों पर निलंबित एक लटकती श्रृंखला के आकार को निर्धारित करने की समस्या - एक ज़ंजीर का - को वैरिएबल कैलकुलस का उपयोग करके हल किया जा सकता है, और इस मामले में, वैरिएबल सिद्धांत निम्नलिखित है: समाधान एक फ़ंक्शन है जो गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा को कम करता है श्रृंखला का.

अवलोकन

कोई भी भौतिक नियम जिसे एक परिवर्तनशील सिद्धांत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक स्व-सहायक ऑपरेटर का वर्णन करता है। इन भावों को हर्मिटियन भी कहा जाता है। ऐसी अभिव्यक्ति हर्मिटियन परिवर्तन के तहत एक अपरिवर्तनीय (गणित) का वर्णन करती है।

इतिहास

Main article: History of variational principles in physics

फ़ेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम ने परिवर्तनों के एक समूह के तहत ऐसे अपरिवर्तनीयों की पहचान करने का प्रयास किया। जिसे भौतिकी में नोएथर के प्रमेय के रूप में संदर्भित किया जाता है, सामान्य सापेक्षता के लिए परिवर्तनों का पोंकारे समूह (जिसे अब गेज समूह कहा जाता है) परिवर्तनों के एक समूह के तहत समरूपता को परिभाषित करता है जो एक परिवर्तनशील सिद्धांत, या क्रिया (भौतिकी) पर निर्भर करता है।

उदाहरण

गणित में

• सीमा-मूल्य समस्या|सीमा-मूल्य समस्याओं को लगभग हल करने के लिए रेले-रिट्ज विधि
• गणितीय अनुकूलन में एकलैंड का परिवर्तनशील सिद्धांत
• परिमित तत्व विधि
• टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी और कोलमोगोरोव-सिनाई एन्ट्रापी से संबंधित भिन्नता सिद्धांत।

भौतिकी में

• ज्यामितीय प्रकाशिकी में फ़र्मेट का सिद्धांत
• [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] में मौपर्टुइस का सिद्धांत
• यांत्रिकी, विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी में न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत
• क्वांटम यांत्रिकी में परिवर्तनशील विधि (क्वांटम यांत्रिकी)।
• गॉस का न्यूनतम अवरोध का सिद्धांत और गॉस का न्यूनतम अवरोध का सिद्धांत#हर्ट्ज़ का न्यूनतम वक्रता का सिद्धांत|हर्ट्ज़ का न्यूनतम वक्रता का सिद्धांत
• आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया|सामान्य सापेक्षता में हिल्बर्ट का क्रिया सिद्धांत, जो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों की ओर ले जाता है।
• पलटिनी भिन्नता
• गिबन्स-हॉकिंग-यॉर्क सीमा अवधि

बाहरी संबंध

• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action
• Ekeland, Ivar (1979). "Nonconvex minimization problems". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 1 (3): 443–474. doi:10.1090/S0273-0979-1979-14595-6. MR 0526967.
• S T Epstein 1974 "The Variation Method in Quantum Chemistry". (New York: Academic)
• C Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications)
• R K Nesbet 2003 "Variational Principles and Methods In Theoretical Physics and Chemistry". (New York: Cambridge U.P.)
• S K Adhikari 1998 "Variational Principles for the Numerical Solution of Scattering Problems". (New York: Wiley)
• C G Gray, G Karl G and V A Novikov 1996, Ann. Phys. 251 1.
• C.G. Gray, G. Karl, and V. A. Novikov, "Progress in Classical and Quantum Variational Principles". 11 December 2003. physics/0312071 Classical Physics.
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• John Venables, "The Variational Principle and some applications". Dept of Physics and Astronomy, Arizona State University, Tempe, Arizona (Graduate Course: Quantum Physics)
• Andrew James Williamson, "The Variational Principle -- Quantum monte carlo calculations of electronic excitations". Robinson College, Cambridge, Theory of Condensed Matter Group, Cavendish Laboratory. September 1996. (dissertation of Doctor of Philosophy)
• Kiyohisa Tokunaga, "Variational Principle for Electromagnetic Field". Total Integral for Electromagnetic Canonical Action, Part Two, Relativistic Canonical Theory of Electromagnetics, Chapter VI
• Komkov, Vadim (1986) Variational principles of continuum mechanics with engineering applications. Vol. 1. Critical points theory. Mathematics and its Applications, 24. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht.
• Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.