आइंस्टीन नोटेशन

गणित में, विशेष रूप से गणितीय भौतिकी में रैखिक बीजगणित का उपयोग , आइंस्टीन नोटेशन (जिसे आइंस्टीन समेशन कन्वेंशन या आइंस्टीन समेशन नोटेशन के रूप में भी जाना जाता है) एक नोटेंटिक सम्मेलन है जो एक सूत्र में अनुक्रमित शब्दों के एक सेट पर समन का अर्थ है, इस प्रकार ब्रेविटी को प्राप्त करना।गणित के हिस्से के रूप में यह रिक्की कैलकुलस का एक उल्लेखनीय सबसेट है;हालांकि, इसका उपयोग अक्सर भौतिकी अनुप्रयोगों में किया जाता है जो स्पर्शरेखा अंतरिक्ष और कोटैंगेंट रिक्त स्थान के बीच अंतर नहीं करते हैं।इसे 1916 में अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा भौतिकी में पेश किया गया था।

परिचय

सम्मेलन का कथन

इस सम्मेलन के अनुसार, जब एक इंडेक्स वैरिएबल एक योज्य में दो बार दिखाई देता है और इसे अन्यथा परिभाषित नहीं किया जाता है (देखें मुक्त और बाध्य चर ), तो इसका अर्थ है कि सूचकांक के सभी मूल्यों पर उस शब्द का योग।तो जहां सूचकांक सेट (गणित) पर हो सकते हैं {1, 2, 3},

$y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}$

कन्वेंशन द्वारा सरलीकृत किया गया है:

$y=c_{i}x^{i}$

ऊपरी सूचकांकों में घातांक नहीं हैं, लेकिन निर्देशांक, गुणांक या आधार वैक्टर के सूचकांक हैं।यानी इस संदर्भ में x² के दूसरे घटक के रूप में समझा जाना चाहिए x के बजाय वर्ग के x (यह कभी -कभी अस्पष्टता का कारण बन सकता है)।में ऊपरी सूचकांक स्थिति xⁱ इसलिए है, आमतौर पर, एक सूचकांक एक ऊपरी (सुपरस्क्रिप्ट) में एक बार होता है और एक बार एक शब्द में एक निचले (सबस्क्रिप्ट) स्थिति में होता है (देखें (देखें)§ Applicationनीचे)।आमतौर पर, (x¹ x² x³) पारंपरिक के बराबर होगा (x y z)।

सामान्य सापेक्षता में, एक सामान्य सम्मेलन वह है

• ग्रीक वर्णमाला का उपयोग अंतरिक्ष और समय घटकों के लिए किया जाता है, जहां सूचकांक 0, 1, 2, या 3 मान लेते हैं (अक्सर उपयोग किए जाने वाले पत्र हैं μ, ν, …),
• लैटिन वर्णमाला का उपयोग केवल स्थानिक घटकों के लिए किया जाता है, जहां सूचकांक 1, 2, या 3 मान लेते हैं (अक्सर उपयोग किए जाने वाले पत्र हैं i, j, …),

सामान्य तौर पर, सूचकांक किसी भी अनुक्रमित परिवार से अधिक हो सकते हैं, जिसमें एक अनंत सेट भी शामिल है।यह एक टाइपोग्राफिक रूप से समान सम्मेलन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसका उपयोग टेंसर सूचकांक संकेतन और निकट से संबंधित लेकिन अलग-अलग आधार-स्वतंत्र अमूर्त सूचकांक संकेतन के बीच अंतर करने के लिए किया जाता है।

एक सूचकांक जिसे अभिव्यक्त किया गया है, एक योग सूचकांक है, इस मामले मेंi ।इसे एक बाध्य चर भी कहा जाता है क्योंकि कोई भी प्रतीक बदल सकता हैi अभिव्यक्ति के अर्थ को बदलने के बिना (बशर्ते कि यह एक ही शब्द में अन्य सूचकांक प्रतीकों से टकरा नहीं है)।

एक सूचकांक जिसे अभिव्यक्त नहीं किया गया है वह एक मुक्त चर है और केवल एक बार प्रति शब्द दिखाई देना चाहिए।यदि ऐसा सूचकांक दिखाई देता है, तो यह आमतौर पर एक समीकरण में हर दूसरे शब्द में भी दिखाई देता है।एक मुक्त सूचकांक का एक उदाहरण हैi समीकरण में $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$, जो समीकरण के बराबर है ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$।

आवेदन

आइंस्टीन संकेतन को थोड़ा अलग तरीकों से लागू किया जा सकता है।आमतौर पर, प्रत्येक सूचकांक एक बार एक ऊपरी (सुपरस्क्रिप्ट) में होता है और एक बार एक शब्द में एक निचले (सबस्क्रिप्ट) स्थिति में होता है;हालांकि, कन्वेंशन को किसी शब्द के भीतर किसी भी दोहराए गए सूचकांकों पर अधिक आम तौर पर लागू किया जा सकता है। जब सहसंयोजक और वैक्टर वैक्टर के कॉन्ट्रैवेरियन के साथ काम करते हैं, जहां एक सूचकांक की स्थिति भी वेक्टर के प्रकार को इंगित करती है, तो पहला मामला आमतौर पर लागू होता है;एक सहसंयोजक वेक्टर को केवल एक कॉन्ट्रैवेरियन वेक्टर के साथ अनुबंधित किया जा सकता है, जो गुणांक के उत्पादों के योग के अनुरूप है।दूसरी ओर, जब एक निश्चित समन्वय आधार होता है (या जब समन्वय वैक्टर पर विचार नहीं कर रहा है), तो कोई केवल सदस्यता का उपयोग करने के लिए चुन सकता है;देखो§ Superscripts and subscripts versus only subscriptsनीचे।

वेक्टर अभ्यावेदन

सुपरस्क्रिप्ट्स और सब्सक्रिप्ट्स बनाम केवल सब्सक्राइब्स

वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन के संदर्भ में,

• ऊपरी सूचकांक वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं (समन्वय वैक्टर),
• कम सूचकांक सहसंयोजक वेक्टर वैक्टर (कोवेटर ) के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

वे आधार के परिवर्तन के संबंध में क्रमशः विपरीत या सहसंयोजक रूप से बदल जाते हैं।

इस तथ्य की मान्यता में, निम्नलिखित संकेतन एक वेक्टर या कोवेक्टर और इसके घटकों दोनों के लिए एक ही प्रतीक का उपयोग करता है, जैसे:

${\begin{aligned}v=v^{i}e_{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

कहां v वेक्टर है और vⁱ इसके घटक हैं (नहीं ith covector v), w covector है और w_i इसके घटक हैं।आधार वेक्टर तत्व $e_{i}$ प्रत्येक कॉलम वैक्टर, और कोवेक्टर आधार तत्व हैं $e^{i}$ प्रत्येक पंक्ति covectors हैं।(यह भी देखें #Abstract विवरण; दोहरे आधार, नीचे और दोहरे आधार #उदाहरण)

एक पतित बिलिनियर रूप की उपस्थिति में | गैर-पतनशील रूप) V → V^∗, उदाहरण के लिए एक रिमैनियन मीट्रिक या मिंकोव्स्की मीट्रिक ), कोई भी सूचकांकों को बढ़ा सकता है और कम कर सकता है।

एक आधार ऐसा रूप देता है (दोहरे आधार के माध्यम से), इसलिए जब काम कर रहा है Rⁿ एक यूक्लिडियन मीट्रिक और एक निश्चित ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ, किसी के पास केवल सदस्यता के साथ काम करने का विकल्प है।

हालाँकि, यदि कोई परिवर्तन समन्वय करता है, तो जिस तरह से गुणांक बदलते हैं, वह वस्तु के विचरण पर निर्भर करता है, और कोई अंतर को अनदेखा नहीं कर सकता है;वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन देखें।

mNemonics

उपरोक्त उदाहरण में, वैक्टर के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है n × 1 मैट्रिक्स (गणित) (कॉलम वैक्टर), जबकि कोवेक्टर के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है 1 × n मैट्रिस (पंक्ति कोवेक्टर)।

कॉलम वेक्टर कन्वेंशन का उपयोग करते समय:

• ऊपरी सूचकांक नीचे तक जाते हैं;निचले सूचकांक बाएं से दाएं जाते हैं।
• सहसंयोजक टेन्सर पंक्ति वैक्टर हैं जिनके पास सूचकांक हैं जो नीचे हैं (सह-पंक्ति-बेलो)।
• Covectors पंक्ति वैक्टर हैं:
  $${\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.$$
  इसलिए निचला सूचकांक इंगित करता है कि आप किस कॉलम में हैं।
• कॉन्ट्रैवेरिएंट वैक्टर कॉलम वैक्टर हैं:
  $${\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}$$
  इसलिए ऊपरी सूचकांक इंगित करता है कि आप किस पंक्ति में हैं।

सार विवरण

आइंस्टीन संकेतन का गुण यह है कि यह एक साधारण संकेतन के साथ अपरिवर्तनीय (गणित) मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है।

भौतिकी में, एक स्केलर (भौतिकी) आधार के परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है।विशेष रूप से, एक लोरेंत्ज़ स्केलर एक लोरेंट्ज़ परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है।राशि में व्यक्तिगत शब्द नहीं हैं।जब आधार बदल जाता है, तो एक वेक्टर के घटक एक मैट्रिक्स द्वारा वर्णित एक रैखिक परिवर्तन द्वारा बदलते हैं।इसने आइंस्टीन को उस सम्मेलन का प्रस्ताव दिया जो दोहराया सूचकांकों का अर्थ है कि योग को किया जाना है।

Covectors के लिए, वे उलटा मैट्रिक्स द्वारा बदलते हैं।यह गारंटी देने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि सदिश स्थल जुड़ा रैखिक फ़ंक्शन, ऊपर दिया गया योग, कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है।

आइंस्टीन कन्वेंशन का मान यह है कि यह अन्य वेक्टर रिक्त स्थान पर लागू होता है V टेंसर उत्पाद और दोहरी स्थान का उपयोग करना।उदाहरण के लिए, V ⊗ Vका टेंसर उत्पाद V अपने आप के साथ, एक आधार के रूप में एक आधार है e_ij = e_i ⊗ e_j।कोई टेंसर T में V ⊗ V के रूप में लिखा जा सकता है:

$\mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.$

V *के दोहरे V, एक आधार है e¹, e²,…, eⁿ जो नियम का पालन करता है

$\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.$

कहां δ क्रोनकर डेल्टा है।के रूप में

$\operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W$

पंक्ति/स्तंभ एक मैट्रिक्स पर निर्देशांक टेंसर उत्पाद पर ऊपरी/निचले सूचकांकों के अनुरूप है।

इस संकेतन में सामान्य संचालन

आइंस्टीन संकेतन में, सामान्य तत्व संदर्भ $A_{mn}$ के लिए $m$वें पंक्ति और $n$मैट्रिक्स का वें स्तंभ $A$ हो जाता है ${A^{m}}_{n}$।फिर हम आइंस्टीन नोटेशन में निम्नलिखित संचालन लिख सकते हैं।

आंतरिक उत्पाद (इसलिए वेक्टर डॉट उत्पाद भी)

एक ऑर्थोगोनल आधार का उपयोग करते हुए, आंतरिक उत्पाद एक साथ गुणा किए गए संबंधित घटकों का योग है:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{j}v^{j}$

यह वेक्टर पर कोवेक्टर को गुणा करके भी गणना की जा सकती है।

वेक्टर क्रॉस उत्पाद

फिर से एक ऑर्थोगोनल आधार (3 आयामों में) का उपयोग करके क्रॉस उत्पाद आंतरिक रूप से घटकों के क्रमपरिवर्तन पर योग शामिल करता है:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\varepsilon ^{i}}_{jk}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}$

कहां

${\varepsilon ^{i}}_{jk}=\delta ^{il}\varepsilon _{ljk}$

ε_ijk लेवी-सिविटा प्रतीक है, और δ^il सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा है।की इस परिभाषा के आधार पर ε, के बीच कोई अंतर नहीं है εⁱ_jk और ε_ijk लेकिन सूचकांकों की स्थिति।

मैट्रिक्स-वेक्टर गुणन

एक मैट्रिक्स का उत्पाद A_ij एक कॉलम वेक्टर के साथ v_j है :

$\mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}$

के बराबर

$u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}$

यह मैट्रिक्स गुणा का एक विशेष मामला है।

मैट्रिक्स गुणन

दो मैट्रिस का मैट्रिक्स गुणा A_ij और B_jk है:

$\mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}$

के बराबर

${C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}$

ट्रेस (रैखिक बीजगणित)

एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए Aⁱ_j, ट्रेस विकर्ण तत्वों का योग है, इसलिए एक सामान्य सूचकांक पर योग Aⁱ_i।

बाहरी उत्पाद

कॉलम वेक्टर का बाहरी उत्पाद uⁱ पंक्ति वेक्टर द्वारा v_j पैदावार ए m × n आव्यूह A:

${A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}$

तब से i और j दो अलग -अलग सूचकांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, कोई योग नहीं है और सूचकांकों को गुणन द्वारा समाप्त नहीं किया जाता है।

उठाना और कम करना सूचकांक

एक टेन्सर को देखते हुए, कोई एक सूचकांक बढ़ा सकता है या टेंसर को मीट्रिक टेंसर के साथ अनुबंधित करके एक सूचकांक को कम कर सकता है, g_μν।उदाहरण के लिए, टेंसर लें T^α_β, एक सूचकांक बढ़ा सकता है:

$T^{\mu \alpha }=g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }$

या एक सूचकांक कम कर सकता है:

$T_{\mu \beta }=g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }$

यह भी देखें

• टेंसर
• सार सूचकांक संकेतन
• ब्रा डाइविट नोटेशन
• पेनरोज़ ग्राफिकल नोटेशन
• लेवी-सिविटा प्रतीक
• Dewitt संकेतन

टिप्पणियाँ

1. This applies only for numerical indices. The situation is the opposite for abstract indices. Then, vectors themselves carry upper abstract indices and covectors carry lower abstract indices, as per the example in the introduction of this article. Elements of a basis of vectors may carry a lower numerical index and an upper abstract index.

ग्रन्थसूची

• Kuptsov, L. P. (2001) [1994], "Einstein rule", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

बाहरी कड़ियाँ

• Rawlings, Steve (2007-02-01). "Lecture 10 – Einstein Summation Convention and Vector Identities". Oxford University. Archived from the original on 2017-01-06. Retrieved 2008-07-02.
• "Understanding NumPy's einsum". Stack Overflow.