घुंघराले पथरी

"Tensor index notation" redirects here. For a summary of tensors in general, see Glossary of tensor theory.

गणित में, रिक्की कलन [[ मीट्रिक टेंसर ]] या कनेक्शन (गणित) के साथ या उसके बिना, अलग-अलग मैनिफोल्ड पर टेंसर और टेंसर फ़ील्ड के लिए इंडेक्स नोटेशन और मैनिपुलेशन के नियमों का गठन करता है। 1887-1896 में ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो द्वारा विकसित, और बाद में 1887-1896 में ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो द्वारा विकसित, और बाद में उनके शिष्य टुल्लियो लेवी-सिविता के साथ लिखे गए एक पेपर में लोकप्रिय, यह पूर्ण अंतर कलन (टेंसर कैलकुलेशन की नींव) कहा जाने वाला आधुनिक नाम भी है। 1900. जन अर्नोल्डस स्काउटन ने इस गणितीय ढांचे के लिए आधुनिक संकेतन और औपचारिकता विकसित की, और बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में सामान्य सापेक्षता और अंतर ज्यामिति के अपने अनुप्रयोगों के दौरान सिद्धांत में योगदान दिया। टेंसर का एक घटक एक वास्तविक संख्या है जिसका उपयोग टेंसर स्पेस के लिए आधार तत्व के गुणांक के रूप में किया जाता है। टेन्सर इसके घटकों का योग है जो उनके संगत आधार तत्वों से गुणा किया जाता है। टेंसर और टेंसर फ़ील्ड को उनके घटकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, और टेंसर और टेंसर फ़ील्ड पर संचालन को उनके घटकों पर संचालन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। उनके घटकों के संदर्भ में टेन्सर फ़ील्ड्स और उन पर संचालन का विवरण रिक्की कैलकुलस का फोकस है। यह अंकन ऐसे टेन्सर क्षेत्रों और संचालनों की कुशल अभिव्यक्ति की अनुमति देता है। जबकि अधिकांश अंकन किसी भी टेन्सर के साथ लागू किए जा सकते हैं, एक विभेदक संरचना से संबंधित संचालन केवल टेन्सर क्षेत्रों पर लागू होते हैं। जहां आवश्यक हो, संकेतन गैर-टेंसर के घटकों, विशेष रूप से बहुआयाम ी सरणियों तक विस्तारित होता है।

एक टेंसर को वेक्टर (गणित और भौतिकी) और covector आधार तत्वों के टेंसर उत्पाद के रैखिक योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। परिणामी टेंसर घटकों को आधार के सूचकांकों द्वारा लेबल किया जाता है। प्रत्येक इंडेक्स में अंतर्निहित सदिश स्थल के प्रति आयाम का एक संभावित मान होता है। सूचकांकों की संख्या टेन्सर की डिग्री (या क्रम) के बराबर होती है।

कॉम्पैक्टनेस और सुविधा के लिए, रिक्की कैलकुलस में आइंस्टीन संकेतन शामिल है, जिसका अर्थ है एक शब्द के भीतर दोहराए जाने वाले सूचकांकों पर योग और मुक्त सूचकांकों पर सार्वभौमिक मात्रा का ठहराव। रिक्की कैलकुस के अंकन में अभिव्यक्तियों को आम तौर पर कई गुना से अधिक कार्यों के रूप में घटकों से संबंधित एक साथ समीकरणों के एक सेट के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, आमतौर पर अधिक विशेष रूप से कई गुना पर निर्देशांक के कार्यों के रूप में। यह नियमों के केवल सीमित सेट की परिचितता के साथ भावों के सहज हेरफेर की अनुमति देता है।

सूचकांकों के लिए संकेतन

See also: Index notation

आधार संबंधी भेद

अंतरिक्ष और समय निर्देशांक

जहां शास्त्रीय भौतिकी के चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में अंतरिक्ष-जैसे आधार तत्वों और समय-समान तत्व के बीच अंतर किया जाना है, यह परंपरागत रूप से सूचकांकों के माध्यम से किया जाता है:

• लोअरकेस लैटिन वर्णमाला a, b, c, ... 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर प्रतिबंध को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है, जो स्थानिक घटकों के लिए 1, 2, 3 मान लेता है; और समय जैसा तत्व, 0 द्वारा इंगित किया गया है, अलग से दिखाया गया है।
• लोअरकेस ग्रीक वर्णमाला α, β, γ, ... 4-आयामी अंतरिक्ष समय के लिए उपयोग किया जाता है, जो आमतौर पर समय घटकों के लिए 0 और स्थानिक घटकों के लिए 1, 2, 3 मान लेता है।

कुछ स्रोत समय के अनुरूप सूचकांक मान के रूप में 0 के बजाय 4 का उपयोग करते हैं; इस लेख में 0 का प्रयोग किया गया है। अन्यथा, सामान्य गणितीय संदर्भों में, सूचकांकों के लिए किसी भी प्रतीक का उपयोग किया जा सकता है, आमतौर पर सदिश स्थान के सभी आयामों पर चल रहा है।

समन्वय और सूचकांक संकेतन

लेखक आमतौर पर यह स्पष्ट कर देंगे कि एक सबस्क्रिप्ट एक इंडेक्स के रूप में या एक लेबल के रूप में अभिप्रेत है।

उदाहरण के लिए, 3-डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में और कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करना; समन्वय वेक्टर A = (A₁, A₂, A₃) = (A_x, A_y, A_z) सबस्क्रिप्ट 1, 2, 3 और लेबल के बीच सीधा पत्राचार दिखाता है x, y, z. अभिव्यक्ति में A_i, i 1, 2, 3 के मानों को लेकर एक सूचकांक के रूप में व्याख्या की जाती है, जबकि x, y, z सबस्क्रिप्ट केवल लेबल हैं, चर नहीं। स्पेसटाइम के संदर्भ में, इंडेक्स वैल्यू 0 पारंपरिक रूप से लेबल से मेल खाती है t.

आधार का संदर्भ

सूचकांकों को विशेषक-जैसे प्रतीकों का उपयोग करके लेबल किया जा सकता है, जैसे कि सिकमफ़्लक्स (ˆ), मैक्रोन (विशेषक) (¯), टिल्ड (˜), या प्राइम (′) जैसा कि:

$X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}$

उस सूचकांक के लिए संभवतः भिन्न आधार (रैखिक बीजगणित) को निरूपित करने के लिए। एक उदाहरण संदर्भ के एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम के लोरेंत्ज़ परिवर्तन ों में है, जहां एक फ्रेम अप्रकाशित और दूसरा प्राथमिक हो सकता है, जैसा कि:

$v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.$

यह spinor ों के लिए वैन डेर वेर्डन संकेतन के साथ भ्रमित नहीं होना है, जो एक स्पिनर की चिरायता को प्रतिबिंबित करने के लिए सूचकांकों पर टोपी और ओवरडॉट्स का उपयोग करता है।

ऊपरी और निचले सूचकांक

रिक्की कैलकुलस, और सार सूचकांक संकेतन अधिक आम तौर पर, निम्न सूचकांकों (सबस्क्रिप्ट) और ऊपरी सूचकांकों (सुपरस्क्रिप्ट) के बीच अंतर करता है; बाद वाले प्रतिपादक नहीं हैं, भले ही वे गणित के अन्य भागों से परिचित पाठक को ऐसे लग सकते हैं।

विशेष मामले में जब मीट्रिक टेन्सर हर जगह आइडेंटिटी मैट्रिक्स के बराबर होता है, तो ऊपरी और निचले सूचकांकों के बीच के अंतर को गिराना संभव है, और फिर सभी सूचकांकों को निचले स्थान पर लिखा जा सकता है। रेखीय बीजगणित में समन्वय सूत्र जैसे $a_{ij}b_{jk}$ मैट्रिसेस के उत्पाद के लिए इसका उदाहरण हो सकता है। लेकिन सामान्य तौर पर, ऊपरी और निचले सूचकांकों के बीच अंतर बनाए रखा जाना चाहिए।

सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण

एक निचला सूचकांक (सबस्क्रिप्ट) उस सूचकांक के संबंध में घटकों के सहप्रसरण को इंगित करता है:

$A_{\alpha \beta \gamma \cdots }$

सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण

एक ऊपरी सूचकांक (सुपरस्क्रिप्ट) उस सूचकांक के संबंध में घटकों के विरोधाभास को दर्शाता है:

$A^{\alpha \beta \gamma \cdots }$

मिश्रित टेंसर |मिश्रित-विचरण टेंसर घटक

टेंसर में ऊपरी और निचले दोनों सूचकांक हो सकते हैं:

$A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.$

अलग-अलग विचरण होने पर भी सूचकांकों का क्रम महत्वपूर्ण है। हालांकि, जब यह समझा जाता है कि आधार प्रतीक को बनाए रखते हुए कोई सूचकांक ऊपर या नीचे नहीं किया जाएगा, सहपरिवर्ती सूचकांकों को कभी-कभी नोटेशनल सुविधा के लिए प्रतिपरिवर्ती सूचकांकों के नीचे रखा जाता है (उदाहरण के लिए सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा के साथ)।

टेंसर प्रकार और डिग्री

टेंसर के प्रत्येक ऊपरी और निचले सूचकांकों की संख्या इसका प्रकार देती है: एक टेंसर with p ऊपरी और q निम्न सूचकांकों को प्रकार का कहा जाता है (p, q), या एक प्रकार होना-(p, q) टेंसर।

एक टेन्सर के सूचकांकों की संख्या, विचरण की परवाह किए बिना, टेंसर की डिग्री कहलाती है (वैकल्पिक रूप से, इसकी वैलेंस, ऑर्डर या रैंक, हालांकि रैंक अस्पष्ट है)। इस प्रकार, प्रकार का एक टेंसर (p, q) डिग्री है p + q.

योग सम्मेलन

एक शब्द के भीतर दो बार (एक ऊपरी और एक निचला) होने वाला एक ही प्रतीक उन सूचकांकों की एक जोड़ी को इंगित करता है जिनका योग किया गया है:

$A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.$

इस तरह के योग द्वारा निहित ऑपरेशन को टेन्सर संकुचन कहा जाता है:

$A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.$

यह योग एक शब्द के भीतर एक से अधिक बार हो सकता है, उदाहरण के लिए प्रति जोड़े एक अलग प्रतीक के साथ:

$A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.$

एक शब्द के भीतर दोहराए गए सूचकांकों के अन्य संयोजनों को खराब रूप से गठित माना जाता है, जैसे

$A_{\alpha \alpha }{}^{\gamma }\qquad$	(both occurrences of $\alpha$ are lower; $A_{\alpha }{}^{\alpha \gamma }$ would be fine)
$A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }$	($\gamma$ occurs twice as a lower index; $A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }$ or $A_{\alpha \delta }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }$ would be fine).

ऐसे फ़ार्मुलों को बाहर करने का कारण यह है कि हालांकि इन मात्राओं की गणना संख्याओं के सरणियों के रूप में की जा सकती है, वे सामान्य रूप से परिवर्तन के आधार पर टेंसर के रूप में परिवर्तित नहीं होंगे।

मल्टी-इंडेक्स नोटेशन

यदि टेंसर में सभी ऊपरी या निचले सूचकांकों की एक सूची है, तो सूची के लिए एक बड़े अक्षर का उपयोग करने के लिए एक आशुलिपि है:

$A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J}$

कहां I = i₁ i₂ ⋅⋅⋅ i_n और J = j₁ j₂ ⋅⋅⋅ j_m.

अनुक्रमिक योग

लंबवत सलाखों की एक जोड़ी | ⋅ | सभी-ऊपरी सूचकांकों या सभी-निचले सूचकांकों (लेकिन दोनों नहीं) के एक सेट के आसपास, सूचकांकों के एक और सेट के साथ संकुचन के साथ जुड़ा हुआ है जब अभिव्यक्ति सूचकांकों के दो सेटों में से प्रत्येक में एंटीसिमेट्रिक टेंसर है:

$A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }$

मतलब सूचकांक मूल्यों पर एक प्रतिबंधित योग, जहां प्रत्येक सूचकांक अगले से सख्ती से कम होने के लिए विवश है। एक से अधिक समूहों को इस तरह से जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}$

मल्टी-इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करते समय, इंडेक्स के ब्लॉक के नीचे एक अंडरएरो रखा जाता है:

$A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}$

कहां

${\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |$

बढ़ते और घटते सूचकांक

एक गैर-एकवचन मीट्रिक टेन्सर के साथ एक इंडेक्स को अनुबंधित करके, एक टेंसर के मिश्रित टेंसर को बदला जा सकता है, एक निचले इंडेक्स को एक ऊपरी इंडेक्स या इसके विपरीत परिवर्तित किया जा सकता है:

$B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }$

कई मामलों में आधार प्रतीक को बरकरार रखा जाता है (उदाहरण के लिए उपयोग करना A कहां B यहां दिखाई देता है), और जब कोई अस्पष्टता नहीं होती है, तो इस ऑपरेशन को लागू करने के लिए एक इंडेक्स को दोबारा बदलने के लिए लिया जा सकता है।

इंडेक्स पोजीशन और इनवेरियन के बीच संबंध

यह तालिका सारांशित करती है कि कैसे सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती सूचकांकों का हेरफेर आधारों के बीच एक निष्क्रिय परिवर्तन के तहत निश्चरता के साथ फिट होता है, जिसमें प्रत्येक आधार के घटक पहले कॉलम में परिलक्षित दूसरे के संदर्भ में सेट होते हैं। वर्जित सूचकांक परिवर्तन के बाद अंतिम समन्वय प्रणाली को संदर्भित करता है। क्रोनकर डेल्टा का उपयोग किया जाता है, #उल्लेखनीय टेंसर।

	Basis transformation	Component transformation	Invariance
Covector, covariant vector, 1-form	$\omega ^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }\omega ^{\beta }$	$a_{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}$	$a_{\bar {\alpha }}\omega ^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }\omega ^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }\omega ^{\beta }=a_{\beta }\omega ^{\beta }$
Vector, contravariant vector	$e_{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}$	$u^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }$	$e_{\bar {\alpha }}u^{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }u^{\gamma }$

इंडेक्स नोटेशन और ऑपरेशंस के लिए सामान्य रूपरेखा

टेन्सर समान होते हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संगत घटक समान हो; उदाहरण के लिए, टेंसर A टेंसर के बराबर B अगर और केवल अगर

$A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }$

सबके लिए α, β, γ. नतीजतन, अंकन के ऐसे पहलू हैं जो यह जांचने में उपयोगी होते हैं कि एक समीकरण समझ में आता है (विमीय विश्लेषण के लिए एक समान प्रक्रिया)।

आइंस्टीन संकेतन#परिचय

संकुचन में शामिल नहीं होने वाले सूचकांकों को मुक्त सूचकांक कहा जाता है। संकुचन में उपयोग किए जाने वाले सूचकांकों को डमी इंडेक्स या योग सूचकांक कहा जाता है।

=== एक टेन्सर समीकरण कई साधारण (वास्तविक-मूल्यवान) समीकरणों === का प्रतिनिधित्व करता है

टेंसर के घटक (जैसे A^α, B_β^γ आदि) केवल वास्तविक संख्याएँ हैं। चूंकि सूचकांक टेन्सर के विशिष्ट घटकों का चयन करने के लिए विभिन्न पूर्णांक मान लेते हैं, एक एकल टेन्सर समीकरण कई सामान्य समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है। यदि एक टेंसर समानता है n नि: शुल्क सूचकांक, और यदि अंतर्निहित सदिश स्थान की आयामीता है m, समानता दर्शाती है mⁿ समीकरण: प्रत्येक सूचकांक मानों के एक विशिष्ट समूह के प्रत्येक मान को ग्रहण करता है।

उदाहरण के लिए, अगर

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }$

चार-आयामी स्थान में है (अर्थात, प्रत्येक सूचकांक 0 से 3 या 1 से 4 तक चलता है), तब क्योंकि वहाँ तीन मुक्त सूचकांक हैं (α, β, δ), 4 हैं³ = 64 समीकरण। इनमें से तीन हैं:

${\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}$

यह इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करने की कॉम्पैक्टनेस और दक्षता को दिखाता है: कई समीकरण जो समान संरचना साझा करते हैं, उन्हें एक सरल टेन्सर समीकरण में एकत्र किया जा सकता है।

=== सूचकांक बदले जाने योग्य लेबल === हैं

किसी भी सूचकांक प्रतीक को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित करने से टेंसर समीकरण अपरिवर्तित रहता है (बशर्ते कि पहले से उपयोग किए गए अन्य प्रतीकों के साथ कोई विरोध न हो)। सूचकांकों में हेरफेर करते समय यह उपयोगी हो सकता है, जैसे कि वेक्टर कैलकुलस पहचान या क्रोनकर डेल्टा की पहचान और लेवी-सिविता प्रतीक # गुण | लेवी-सिविता प्रतीक (नीचे भी देखें) को सत्यापित करने के लिए सूचकांक संकेतन का उपयोग करना। सही परिवर्तन का एक उदाहरण है:

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,$

जबकि एक गलत परिवर्तन है:

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.$

पहले प्रतिस्थापन में, λ जगह ले ली α और μ जगह ले ली γ हर जगह, इसलिए अभिव्यक्ति का अभी भी वही अर्थ है। क्षण में, λ पूरी तरह से नहीं बदला α, और μ पूरी तरह से नहीं बदला γ (संयोग से, पर संकुचन γ इंडेक्स एक टेन्सर उत्पाद बन गया), जो आगे दिखाए गए कारणों से पूरी तरह से असंगत है।

प्रत्येक पद में सूचकांक समान होते हैं

एक टेन्सर एक्सप्रेशन में मुक्त सूचकांक हमेशा प्रत्येक पद के दौरान एक ही (ऊपरी या निचले) स्थिति में दिखाई देते हैं, और एक टेन्सर समीकरण में मुक्त सूचकांक प्रत्येक तरफ समान होते हैं। डमी इंडेक्स (जो उस इंडेक्स पर एक योग का तात्पर्य है) समान नहीं होना चाहिए, उदाहरण के लिए:

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }$

एक गलत अभिव्यक्ति के लिए:

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.$

दूसरे शब्दों में, गैर-दोहराए गए सूचकांक समीकरण के प्रत्येक पद में एक ही प्रकार के होने चाहिए। उपरोक्त पहचान में, α, β, δ पूरे लाइन अप और γ संकुचन के कारण एक शब्द में दो बार होता है (एक बार ऊपरी सूचकांक के रूप में और एक बार निचले सूचकांक के रूप में), और इस प्रकार यह एक मान्य अभिव्यक्ति है। अमान्य अभिव्यक्ति में, जबकि β रेखा के ऊपर, α और δ मत करो, और γ एक पद (संकुचन) में दो बार और दूसरे पद में एक बार प्रकट होता है, जो असंगत है।

कोष्ठक और विराम चिह्न का एक बार उपयोग किया जाता है जहाँ निहित होता है

कई सूचकांकों पर एक नियम लागू करते समय (विभेदन, समरूपता आदि, आगे दिखाया गया है), नियमों को दर्शाने वाले कोष्ठक या विराम चिह्न केवल उन सूचकांकों के एक समूह पर दिखाए जाते हैं जिन पर वे लागू होते हैं।

यदि कोष्ठक सहपरिवर्ती सूचकांकों को संलग्न करते हैं - नियम केवल कोष्ठकों में संलग्न सभी सहसंयोजक सूचकांकों पर लागू होता है, किसी भी विपरीत सूचकांकों पर नहीं जो कोष्ठकों के बीच में रखा जाता है।

इसी प्रकार यदि कोष्ठक प्रतिपरिवर्ती सूचकांकों को संलग्न करते हैं - नियम केवल सभी संलग्न प्रतिपरिवर्ती सूचकांकों पर लागू होता है, मध्यवर्ती रूप से रखे गए सहपरिवर्ती सूचकांकों पर नहीं।

सममित और विषम भाग

टेंसर का सममित टेन्सर भाग

कोष्ठक#कोष्ठक ( )|कोष्ठक, ( ), कई सूचकांकों के आसपास टेंसर के सममित भाग को दर्शाता है। सममित करते समय p सूचकांकों का उपयोग करना σ संख्या 1 से क्रमचय पर सीमा करने के लिए p, कोई उन सूचकांकों के क्रमचय पर योग लेता है α_σ(i) के लिए i = 1, 2, 3, …, p, और फिर क्रमपरिवर्तन की संख्या से भाग देता है:

$A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.$

उदाहरण के लिए, दो सममित सूचकांकों का अर्थ है कि दो सूचकांकों को परमिट और योग करना है:

$A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)$

जबकि तीन सममित सूचकांकों के लिए, योग करने और क्रमपरिवर्तन करने के लिए तीन सूचकांक हैं:

$A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)$

सममितीकरण इसके अतिरिक्त वितरणात्मक गुण है;

$A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }$

जब वे होते हैं तो सूचकांक समरूपता का हिस्सा नहीं होते हैं:

• समान स्तर पर नहीं, उदाहरण के लिए;

  $A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)$

• कोष्ठकों के भीतर और ऊर्ध्वाधर बार के बीच (अर्थात |⋅⋅⋅|), पिछले उदाहरण को संशोधित करते हुए;

  $A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)$

यहां ही α और γ सूचकांक सममित हैं, β नहीं है।

एंटीसिमेट्रिक टेंसर या टेंसर का वैकल्पिक भाग

ब्रैकेट#स्क्वायर ब्रैकेट्स [ ]|स्क्वायर ब्रैकेट्स, [ ], कई इंडेक्स के आसपास टेंसर के एंटीसिमेट्रिज्ड हिस्से को दर्शाता है। के लिए p प्रतिसममितीकरण सूचकांक - उन सूचकांकों के क्रमपरिवर्तन पर सूर्य α_σ(i) हस्ताक्षर से गुणा (क्रमपरिवर्तन) sgn(σ) लिया जाता है, फिर क्रमपरिवर्तन की संख्या से विभाजित किया जाता है:

${\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}$

कहां δβ1⋅⋅⋅βp
α1⋅⋅⋅αp डिग्री का सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा है 2p, स्केलिंग के साथ जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है।

उदाहरण के लिए, दो एंटीसिमेट्रिज़िंग इंडेक्स का अर्थ है:

$A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)$

जबकि तीन एंटीसिमेट्रिज़िंग सूचकांकों का अर्थ है:

$A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)$

अधिक विशिष्ट उदाहरण के लिए, यदि F विद्युत चुम्बकीय टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है, फिर समीकरण

$0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,$

चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम और फैराडे के प्रेरण के नियम का प्रतिनिधित्व करता है।

पहले की तरह, एंटीसिमेट्रिजेशन अतिरिक्त पर वितरण है;

$A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }$

समरूपता के साथ, जब वे होते हैं तो सूचकांक प्रतिरूपित नहीं होते हैं:

• समान स्तर पर नहीं, उदाहरण के लिए;

  $A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)$

• वर्गाकार कोष्ठकों के भीतर और लंबवत बार के बीच (अर्थात |⋅⋅⋅|), पिछले उदाहरण को संशोधित करते हुए;

  $A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)$

यहां ही α और γ सूचकांक एंटीसिमेट्रिज्ड हैं, β नहीं है।

सममित और विषम भागों का योग

किसी भी टेन्सर को दो सूचकांकों पर उसके सममित और असममित भागों के योग के रूप में लिखा जा सकता है:

$A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }$

जैसा कि उपरोक्त भावों को जोड़कर देखा जा सकता है A_{(αβ)γ⋅⋅⋅} और A_{[αβ]γ⋅⋅⋅}. यह दो से अधिक सूचकांकों के लिए लागू नहीं होता है।

भेद

See also: Four-gradient, d'Alembertian, and Intrinsic derivative

कॉम्पैक्टनेस के लिए, अल्पविराम या अर्धविराम के बाद सूचकांक जोड़कर डेरिवेटिव का संकेत दिया जा सकता है।

आंशिक व्युत्पन्न

जबकि रिक्की कलन की अधिकांश अभिव्यक्ति मनमाना आधारों के लिए मान्य हैं, निर्देशांक के संबंध में टेन्सर घटकों के आंशिक डेरिवेटिव वाले भाव केवल एक समन्वय आधार के साथ लागू होते हैं: एक आधार जिसे निर्देशांक के संबंध में विभेदीकरण के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। निर्देशांक आमतौर पर द्वारा निरूपित किए जाते हैं x^μ, लेकिन सामान्य रूप से सदिश के घटक नहीं बनाते हैं। रैखिक समन्वयन के साथ फ्लैट स्पेसटाइम में, निर्देशांक में अंतर का एक टपल, Δx^μ, को एक प्रतिपरिवर्ती सदिश के रूप में माना जा सकता है। अंतरिक्ष पर और समन्वय प्रणाली की पसंद पर समान बाधाओं के साथ, निर्देशांक के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव एक परिणाम उत्पन्न करते हैं जो प्रभावी रूप से सहसंयोजक है। इस विशेष मामले में उपयोग के अलावा, टेंसर के घटकों के आंशिक डेरिवेटिव सामान्य रूप से सहसंयोजक रूप से परिवर्तित नहीं होते हैं, लेकिन सहसंयोजक के रूप में आंशिक डेरिवेटिव स्पष्ट रूप से उपयोग किए जाने पर भी सहसंयोजक के रूप में अभिव्यक्ति के निर्माण में उपयोगी होते हैं। , बाहरी और नीचे डेरिवेटिव।

एक निर्देशांक चर के संबंध में टेंसर क्षेत्र के घटकों के आंशिक विभेदन को इंगित करने के लिए x^γ, अल्पविराम को कोऑर्डिनेट वेरिएबल के जोड़े गए लोअर इंडेक्स से पहले रखा जाता है।

$A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }$

इसे दोहराया जा सकता है (आगे अल्पविराम जोड़े बिना):

$A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.$

ये घटक सहसंयोजक रूप से परिवर्तित नहीं होते हैं, जब तक कि विभेदित किया जा रहा व्यंजक एक अदिश राशि नहीं है। यह व्युत्पन्न उत्पाद नियम और निर्देशांक के डेरिवेटिव की विशेषता है

$x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },$

कहां δ क्रोनकर डेल्टा है।

सहपरिवर्ती व्युत्पन्न

सहसंयोजक व्युत्पन्न केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब एक कनेक्शन (गणित) परिभाषित किया जाता है। किसी टेंसर क्षेत्र के लिए, एक अर्धविराम ( ; ) एक संलग्न निचले (सहसंयोजक) सूचकांक से पहले रखा गया है जो सहसंयोजक विभेदन को इंगित करता है। अल्पविराम के कम सामान्य विकल्पों में एक स्लैश (विराम चिह्न) शामिल है ( / ) या त्रि-आयामी घुमावदार स्थान में एक एकल लंबवत पट्टी ( | ). एक अदिश फलन के सहपरिवर्ती व्युत्पन्न, एक प्रतिपरिवर्ती सदिश और एक सहपरिवर्ती सदिश हैं:

$f_{;\beta }=f_{,\beta }$

$A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }$

$A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,$

कहां Γ^α_γβ कनेक्शन गुणांक हैं।

मनमाना टेंसर के लिए:

${\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}$

किसी टेंसर के सहपरिवर्ती व्युत्पन्न के लिए एक वैकल्पिक संकेतन सबस्क्रिप्टेड नाबला प्रतीक है ∇_β. वेक्टर क्षेत्र के मामले में A^α:

$\nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.$

सदिश के साथ किसी टेंसर क्षेत्र के दिशात्मक व्युत्पन्न का सहपरिवर्ती सूत्रीकरण v^γ सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ इसके संकुचन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे:

$v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.$

एक टेंसर क्षेत्र के इस व्युत्पन्न के घटक सहसंयोजक रूप से रूपांतरित होते हैं, और इसलिए उप-अभिव्यक्तियों (आंशिक व्युत्पन्न और कनेक्शन गुणांक) के बावजूद एक और टेंसर क्षेत्र बनाते हैं, जो अलग-अलग सहसंयोजक रूप से परिवर्तित नहीं होते हैं।

यह व्युत्पन्न उत्पाद नियम द्वारा विशेषता है:

$(A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.$

कनेक्शन प्रकार

एक अलग करने योग्य मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल पर एक कनेक्शन शर्ट को affine कनेक्शन कहा जाता है।

एक कनेक्शन एक मीट्रिक कनेक्शन है जब मीट्रिक टेन्सर का सहसंयोजक व्युत्पन्न गायब हो जाता है:

$g_{\mu \nu ;\xi }=0\,.$

एक एफ़िन कनेक्शन जो एक मीट्रिक कनेक्शन भी है, रिमानियन कनेक्शन कहलाता है। एक रिमेंनियन कनेक्शन जो मरोड़-मुक्त है (अर्थात, जिसके लिए मरोड़ टेंसर गायब हो जाता है: T^α_βγ = 0) एक लेवी-Civita कनेक्शन है। Γ^α_βγ}}} समन्वय के आधार पर लेवी-सिविता कनेक्शन के लिए दूसरी तरह के क्रिस्टोफेल प्रतीक कहलाते हैं।

बाहरी व्युत्पन्न

पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक प्रकार का बाहरी व्युत्पन्न (0, s) घटकों के साथ टेंसर क्षेत्र A_{α1⋅⋅⋅αs} (जिसे विभेदक रूप भी कहा जाता है) एक व्युत्पन्न है जो आधार परिवर्तन के तहत सहसंयोजक है। यह या तो मीट्रिक टेन्सर या कनेक्शन पर निर्भर नहीं करता है: इसके लिए केवल एक अलग-अलग मैनिफोल्ड की संरचना की आवश्यकता होती है। एक समन्वय के आधार पर, इसे टेंसर घटकों के आंशिक डेरिवेटिव के एंटीसिमेट्रिजेशन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$(\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.$

यह व्युत्पत्ति किसी भी टेन्सर क्षेत्र पर प्रतिपरिवर्ती सूचकांकों के साथ परिभाषित नहीं है या जो पूरी तरह से असममित नहीं है। यह एक वर्गीकृत उत्पाद नियम की विशेषता है।

झूठ व्युत्पन्न

लाई डेरिवेटिव एक और डेरिवेटिव है जो आधार परिवर्तन के तहत सहसंयोजक है। बाहरी व्युत्पन्न की तरह, यह मीट्रिक टेन्सर या कनेक्शन पर निर्भर नहीं करता है। एक प्रकार का झूठ व्युत्पन्न (r, s) टेंसर क्षेत्र T एक विपरीत सदिश क्षेत्र के साथ (का प्रवाह)। X^ρ एक समन्वय आधार का उपयोग करके व्युत्पन्न # समन्वय अभिव्यक्तियों को झूठ बोलें

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}$

इस व्युत्पन्न को उत्पाद नियम और इस तथ्य की विशेषता है कि एक प्रतिपरिवर्तक सदिश क्षेत्र का लाई व्युत्पन्न शून्य है:

$({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.$

उल्लेखनीय टेंसर

क्रोनकर डेल्टा

गुणा और अनुबंधित होने पर क्रोनेकर डेल्टा पहचान मैट्रिक्स की तरह है:

${\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}$

अवयव δ^α
_β किसी भी आधार पर समान हैं और प्रकार का एक अपरिवर्तनीय टेन्सर बनाते हैं (1, 1), यानी आधार कई गुना की पहचान मैपिंग पर स्पर्शरेखा बंडल की पहचान, और इसलिए इसका निशान एक अपरिवर्तनीय है। इसका ट्रेस (रैखिक बीजगणित) अंतरिक्ष की आयामीता है; उदाहरण के लिए, चार आयामी स्पेसटाइम में,

$\delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.$

क्रोनकर डेल्टा सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टास के परिवार में से एक है। डिग्री का सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा 2p क्रोनकर डेल्टा के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है (एक सामान्य परिभाषा में एक अतिरिक्त गुणक शामिल है p! दायीं तरफ):

$\delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},$

और एक एंटीसिमेट्रिज़र के रूप में कार्य करता है p सूचकांक:

$\delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.$

मरोड़ टेंसर

एक affine कनेक्शन में मरोड़ वाला टेंसर होता है T^α_βγ:

$T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },$

कहां γ^α_βγ स्थानीय आधार के लाई ब्रैकेट के घटकों द्वारा दिए गए हैं, जो एक समन्वय आधार होने पर गायब हो जाते हैं।

लेवी-सीविटा कनेक्शन के लिए इस टेंसर को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है, जो एक समन्वय के आधार पर समीकरण देता है

$\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.$

रीमैन वक्रता टेन्सर

यदि इस टेंसर को परिभाषित किया गया है

$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,$

तो यह स्वयं के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न का कम्यूटेटर है:

$A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,$

चूंकि कनेक्शन मरोड़ रहित है, जिसका अर्थ है कि मरोड़ का तनाव गायब हो जाता है।

इस प्रकार एक मनमाना टेन्सर के दो सहसंयोजक डेरिवेटिव के लिए कम्यूटेटर प्राप्त करने के लिए इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है:

${\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}$

जिन्हें अक्सर रिक्की पहचान के रूप में जाना जाता है।

मीट्रिक टेंसर

मीट्रिक टेंसर g_αβ का उपयोग सूचकांकों को कम करने के लिए किया जाता है और किसी भी स्थान-जैसी वक्र की लंबाई देता है

${\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,$

कहां γ पथ का कोई भी चिकना कार्य मोनोटोनिक फ़ंक्शन मानकीकरण है। यह किसी भी समय की तरह वक्र की अवधि भी देता है

${\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,$

कहां γ प्रक्षेपवक्र का कोई भी सख्त मोनोटोन पैरामीटरीकरण है। रेखा तत्व भी देखें।

उलटा मैट्रिक्स {{math|g^αβ}मीट्रिक टेन्सर का } एक अन्य महत्वपूर्ण टेन्सर है, जिसका उपयोग सूचकांकों को ऊपर उठाने के लिए किया जाता है:

$g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.$

यह भी देखें

• सार सूचकांक संकेतन
• कनेक्शन (गणित)
• बाहरी बीजगणित
• विभेदक रूप
• हॉज स्टार ऑपरेटर
• होलोनोमिक आधार
• मीट्रिक टेंसर
• पेनरोज़ ग्राफिकल नोटेशन
• रेग कैलकुलस
• रिक्की अपघटन
• टेंसर (आंतरिक परिभाषा)
• टेंसर कैलकुलस
• टेंसर क्षेत्र

स्रोत

• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). इंजीनियरिंग और भौतिकी में वैक्टर और टेन्सर (2/e ed.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Dimitrienko, Yuriy (2002). टेंसर विश्लेषण और नॉनलाइनियर टेंसर फ़ंक्शंस. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. टेंसर्स, डिफरेंशियल फॉर्म्स और वेरिएशनल प्रिंसिपल्स. Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
• C. Møller (1952), The Theory of Relativity (3rd ed.), Oxford University Press
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• J.R. Tyldesley (1975), An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, ISBN 0-582-44355-5
• D.C. Kay (1988), Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-033484-6
• T. Frankel (2012), The Geometry of Physics (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601

श्रेणी:गणना श्रेणी:विभेदक ज्यामिति श्रेणी:टेंसर