ज्यामितीय कलन

Not to be confused with matrix calculus or vector calculus.

गणित में, ज्यामितीय कैलकुलस व्युत्पन्न और अभिन्न को शामिल करने के लिए ज्यामितीय बीजगणित का विस्तार करता है। औपचारिकता शक्तिशाली है और इसे विभेदक ज्यामिति और विभेदक रूपों सहित अन्य गणितीय सिद्धांतों को शामिल करने के लिए दिखाया जा सकता है।

भेदभाव

दिए गए ज्यामितीय बीजगणित के साथ, आइए $a$ और $b$ वेक्टर बनें (गणित और भौतिकी) और चलो $F$ एक वेक्टर का मल्टीवेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन बनें। की दिशात्मक व्युत्पत्ति $F$ साथ में $b$ पर $a$ परिभाषित किया जाता है

$(\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},$

बशर्ते कि सीमा सभी के लिए मौजूद हो $b$, जहां अदिश के लिए सीमा ली जाती है $\epsilon$. यह दिशात्मक व्युत्पन्न की सामान्य परिभाषा के समान है लेकिन इसे उन कार्यों तक विस्तारित करता है जो आवश्यक रूप से स्केलर-मूल्यवान नहीं हैं।

इसके बाद, आधार वैक्टर का एक सेट चुनें $\{e_{i}\}$ और निरूपित ऑपरेटरों पर विचार करें $\partial _{i}$, जो कि दिशा में दिशात्मक व्युत्पन्न करता है $e_{i}$:

$\partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).$

फिर, आइंस्टीन सारांश संकेतन का उपयोग करते हुए, ऑपरेटर पर विचार करें:

$e^{i}\partial _{i},$

मतलब

$F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,$

जहां दिशात्मक व्युत्पन्न के बाद ज्यामितीय उत्पाद लागू किया जाता है। अधिक शब्दाडंबरपूर्ण:

$F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).$

यह ऑपरेटर फ्रेम की पसंद से स्वतंत्र है, और इस प्रकार इसका उपयोग यह परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है कि ज्यामितीय कैलकुलस में वेक्टर व्युत्पन्न क्या कहा जाता है:

$\nabla =e^{i}\partial _{i}.$

यह ग्रेडियेंट की सामान्य परिभाषा के समान है, लेकिन यह उन कार्यों तक भी विस्तारित होता है जो आवश्यक रूप से स्केलर-मूल्यवान नहीं होते हैं।

दिशात्मक व्युत्पन्न अपनी दिशा के संबंध में रैखिक है, अर्थात:

$\nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दिशात्मक व्युत्पन्न वेक्टर व्युत्पन्न द्वारा इसकी दिशा का आंतरिक उत्पाद है। बस दिशा का ध्यान रखना होगा $a$ लिखा जा सकता है $a=(a\cdot e^{i})e_{i}$, ताकि:

$\nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .$

इस कारण से, $\nabla _{a}F(x)$ अक्सर नोट किया जाता है $a\cdot \nabla F(x)$.

वेक्टर व्युत्पन्न के लिए संचालन का मानक क्रम यह है कि यह केवल अपने निकटतम दाएं फ़ंक्शन पर कार्य करता है। दो कार्य दिए गए $F$ और $G$, तो उदाहरण के लिए हमारे पास है

$\nabla FG=(\nabla F)G.$

उत्पाद नियम

यद्यपि आंशिक व्युत्पन्न एक उत्पाद नियम प्रदर्शित करता है, वेक्टर व्युत्पन्न केवल आंशिक रूप से इस संपत्ति को प्राप्त करता है। दो कार्यों पर विचार करें $F$ और $G$:

${\begin{aligned}\nabla (FG)&=e^{i}\partial _{i}(FG)\\&=e^{i}((\partial _{i}F)G+F(\partial _{i}G))\\&=e^{i}(\partial _{i}F)G+e^{i}F(\partial _{i}G).\end{aligned}}$

चूँकि ज्यामितीय उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है $e^{i}F\neq Fe^{i}$ सामान्य तौर पर, हमें आगे बढ़ने के लिए एक नए संकेतन की आवश्यकता होती है। एक समाधान अति नोटेशन को अपनाना है, जिसमें एक ओवरडॉट के साथ एक वेक्टर व्युत्पन्न का दायरा एक ही ओवरडॉट साझा करने वाला मल्टीवेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है। इस मामले में, यदि हम परिभाषित करते हैं

${\dot {\nabla }}F{\dot {G}}=e^{i}F(\partial _{i}G),$

तो वेक्टर व्युत्पन्न के लिए उत्पाद नियम है

$\nabla (FG)=\nabla FG+{\dot {\nabla }}F{\dot {G}}.$

आंतरिक और बाहरी व्युत्पन्न

होने देना $F$ सेम $r$-ग्रेड मल्टीवेक्टर। फिर हम ऑपरेटरों की एक अतिरिक्त जोड़ी, आंतरिक और बाहरी डेरिवेटिव को परिभाषित कर सकते हैं,

$\nabla \cdot F=\langle \nabla F\rangle _{r-1}=e^{i}\cdot \partial _{i}F,$

$\nabla \wedge F=\langle \nabla F\rangle _{r+1}=e^{i}\wedge \partial _{i}F.$

विशेषकर, यदि $F$ ग्रेड 1 (वेक्टर-वैल्यू फ़ंक्शन) है, तो हम लिख सकते हैं

$\nabla F=\nabla \cdot F+\nabla \wedge F$

और विचलन और कर्ल (गणित) को इस रूप में पहचानें

$\nabla \cdot F=\operatorname {div} F,$

$\nabla \wedge F=I\,\operatorname {curl} F.$

वेक्टर व्युत्पन्न के विपरीत, न तो आंतरिक व्युत्पन्न ऑपरेटर और न ही बाहरी व्युत्पन्न ऑपरेटर उलटा है।

मल्टीवेक्टर व्युत्पन्न

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, एक वेक्टर के संबंध में व्युत्पन्न को एक सामान्य मल्टीवेक्टर के संबंध में व्युत्पन्न के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे मल्टीवेक्टर व्युत्पन्न कहा जाता है।

होने देना $F$ एक मल्टीवेक्टर का मल्टीवेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन बनें। की दिशात्मक व्युत्पत्ति $F$ इसके संबंध में $X$ दिशा में $A$, कहाँ $X$ और $A$ मल्टीवेक्टर हैं, के रूप में परिभाषित किया गया है

$A*\partial _{X}F(X)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F(X+\epsilon A)-F(X)}{\epsilon }}\ ,$

कहाँ $A*B=\langle AB\rangle$ ज्यामितीय बीजगणित#आंतरिक और बाहरी उत्पादों का विस्तार है। साथ $\{e_{i}\}$ एक वेक्टर आधार और $\{e^{i}\}$ संगत ज्यामितीय बीजगणित#दोहरे आधार पर, मल्टीवेक्टर व्युत्पन्न को दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है

${\frac {\partial }{\partial X}}=\partial _{X}=\sum _{J}e^{J}(e_{J}*\partial _{X})\ ,$

कहाँ $J$ आधार वेक्टर सूचकांकों के एक क्रमबद्ध सेट को निरूपित कर रहा है, जैसा कि आलेख अनुभाग ज्यामितीय बीजगणित#दोहरे आधार में है। यह समीकरण मात्र व्यक्त कर रहा है $\partial _{X}$ ब्लेड के पारस्परिक आधार पर घटकों के संदर्भ में, जैसा कि उस लेख अनुभाग में चर्चा की गई है।

मल्टीवेक्टर व्युत्पन्न की एक प्रमुख संपत्ति वह है

$\partial _{X}\langle XA\rangle =P_{X}(A)\ ,$

कहाँ $P_{X}(A)$ का प्रक्षेपण है $A$ में निहित ग्रेड पर $X$.

मल्टीवेक्टर व्युत्पन्न लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) में अनुप्रयोग पाता है।

एकीकरण

होने देना $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ आधार वेक्टरों का एक सेट बनें जो a को फैलाता है $n$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष. ज्यामितीय बीजगणित से, हम स्यूडोस्केलर की व्याख्या करते हैं $e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ का हस्ताक्षरित खंड होना $n$-Parallelepiped#Parallelotop इन आधार वैक्टरों द्वारा अंतरित। यदि आधार वैक्टर ऑर्थोनॉर्मल हैं, तो यह इकाई स्यूडोस्केलर है।

अधिक सामान्यतः, हम स्वयं को एक उपसमूह तक ही सीमित रख सकते हैं $k$ आधार सदिशों का, कहाँ $1\leq k\leq n$, लंबाई, क्षेत्र, या अन्य सामान्य का इलाज करने के लिए $k$-कुल मिलाकर एक उपस्थान का आयतन $n$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष. हम इन चयनित आधार वैक्टरों को निरूपित करते हैं $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$. एक सामान्य $k$-की मात्रा $k$-इन आधार सदिशों द्वारा अंतरित समांतरलोटोप ग्रेड है $k$ मल्टीवेक्टर $e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}$.

इससे भी अधिक सामान्यतः, हम वैक्टरों के एक नए सेट पर विचार कर सकते हैं $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ के आनुपातिक $k$ आधार वैक्टर, जहां प्रत्येक $\{x^{i_{j}}\}$ एक घटक है जो आधार वैक्टरों में से एक को मापता है। हम अपनी इच्छानुसार अत्यंत छोटे घटकों को चुनने के लिए स्वतंत्र हैं, जब तक कि वे शून्येतर बने रहें। चूँकि इन शब्दों के बाहरी उत्पाद की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है $k$-वॉल्यूम, माप को परिभाषित करने का एक प्राकृतिक तरीका (गणित) है

${\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}$

इसलिए माप हमेशा ए की इकाई स्यूडोस्केलर के समानुपाती होता है $k$सदिश समष्टि का -आयामी उपस्थान। विभेदक रूपों के सिद्धांत में रीमैनियन वॉल्यूम फॉर्म की तुलना करें। इस माप के संबंध में अभिन्न अंग लिया जाता है:

$\int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.$

अधिक औपचारिक रूप से, कुछ निर्देशित मात्रा पर विचार करें $V$ उपस्थान का. हम इस खंड को सरलताओं के योग में विभाजित कर सकते हैं। होने देना $\{x_{i}\}$ शीर्षों के निर्देशांक बनें। प्रत्येक शीर्ष पर हम एक माप निर्दिष्ट करते हैं $\Delta U_{i}(x)$ शीर्ष को साझा करने वाली सरलताओं के औसत माप के रूप में। फिर का अभिन्न अंग $F(x)$ इसके संबंध में $U(x)$ इस आयतन के ऊपर आयतन को छोटे-छोटे सरल भागों में विभाजित करने की सीमा प्राप्त होती है:

$\int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x).$

ज्यामितीय कलन का मौलिक प्रमेय

उपरोक्त के अनुसार वेक्टर व्युत्पन्न और अभिन्न को परिभाषित करने का कारण यह है कि वे स्टोक्स प्रमेय के एक मजबूत सामान्यीकरण की अनुमति देते हैं। होने देना ${\mathsf {L}}(A;x)$ का एक मल्टीवेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन बनें $r$-ग्रेड इनपुट $A$ और सामान्य स्थिति $x$, अपने पहले तर्क में रैखिक। फिर ज्यामितीय कैलकुलस का मौलिक प्रमेय आयतन पर व्युत्पन्न के अभिन्न अंग से संबंधित है $V$ इसकी सीमा पर अभिन्न अंग के लिए:

$\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)=\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x).$ उदाहरण के तौर पर, आइए ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए $F(x)$ और एक ($n-1$)-ग्रेड मल्टीवेक्टर $A$. हम उसे ढूंढते हैं

${\begin{aligned}\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,dX\,I^{-1}\rangle \\&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,|dX|\rangle \\&=\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|.\end{aligned}}$

वैसे ही,

${\begin{aligned}\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x)&=\oint _{\partial V}\langle F(x)\,dS\,I^{-1}\rangle \\&=\oint _{\partial V}\langle F(x){\hat {n}}\,|dS|\rangle \\&=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.\end{aligned}}$

इस प्रकार हम विचलन प्रमेय को पुनर्प्राप्त करते हैं,

$\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.$

सहसंयोजक व्युत्पन्न

पर्याप्त रूप से चिकना $k$-सतह में एक $n$-आयामी स्थान को कई गुना माना जाता है। मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर, हम एक संलग्न कर सकते हैं $k$-ब्लेड $B$ वह अनेक गुना स्पर्शरेखा है। स्थानीय स्तर पर, $B$ के छद्मस्केलर के रूप में कार्य करता है $k$-आयामी स्थान. यह ब्लेड एक ज्यामितीय बीजगणित को परिभाषित करता है#मैनिफोल्ड पर वैक्टर का प्रक्षेपण और अस्वीकृति:

${\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.$

वेक्टर व्युत्पन्न के रूप में $\nabla$ संपूर्ण रूप से परिभाषित किया गया है $n$-आयामी स्थान, हम एक आंतरिक व्युत्पन्न को परिभाषित करना चाह सकते हैं $\partial$, स्थानीय रूप से मैनिफोल्ड पर परिभाषित:

$\partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.$

(नोट: उपरोक्त का दाहिना हाथ मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थान में नहीं हो सकता है। इसलिए, यह वैसा नहीं है ${\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)$, जो आवश्यक रूप से स्पर्शरेखा स्थान में स्थित है।)

अगर $a$ मैनिफोल्ड के लिए एक वेक्टर स्पर्शरेखा है, तो वास्तव में वेक्टर व्युत्पन्न और आंतरिक व्युत्पन्न दोनों एक ही दिशात्मक व्युत्पन्न देते हैं:

$a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.$

हालाँकि यह ऑपरेशन पूरी तरह से वैध है, यह हमेशा उपयोगी नहीं होता है क्योंकि $\partial F$ आवश्यक नहीं है कि स्वयं अनेक गुना पर हो। इसलिए, हम सहसंयोजक व्युत्पन्न को मैनिफोल्ड पर आंतरिक व्युत्पन्न के मजबूर प्रक्षेपण के रूप में परिभाषित करते हैं:

$a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).$

चूँकि इस मामले में किसी भी सामान्य मल्टीवेक्टर को प्रक्षेपण और अस्वीकृति के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),$

हम एक नया फ़ंक्शन, आकार टेंसर प्रस्तुत करते हैं ${\mathsf {S}}(a)$, जो संतुष्ट करता है

$F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),$

कहाँ $\times$ कम्यूटेटर है. स्थानीय समन्वय के आधार पर $\{e_{i}\}$ स्पर्शरेखा सतह को फैलाते हुए, आकार टेंसर द्वारा दिया जाता है

${\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).$

महत्वपूर्ण बात यह है कि सामान्य मैनिफ़ोल्ड पर, सहसंयोजक व्युत्पन्न परिवर्तन नहीं करता है। विशेष रूप से, कम्यूटेटर आकार टेंसर से संबंधित है

$[a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.$

स्पष्ट रूप से शब्द ${\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)$ रुचिकर है. हालाँकि, यह, आंतरिक व्युत्पन्न की तरह, आवश्यक रूप से कई गुना पर नहीं है। इसलिए, हम रीमैन टेंसर को मैनिफोल्ड पर वापस प्रक्षेपण के रूप में परिभाषित कर सकते हैं:

${\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).$

अंत में, यदि $F$ ग्रेड का है $r$, तो हम आंतरिक और बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्नों को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं

$D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1},$

$D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1},$

और इसी तरह आंतरिक व्युत्पन्न के लिए भी।

विभेदक ज्यामिति से संबंध

मैनिफोल्ड पर, स्थानीय स्तर पर हम आधार वैक्टर के एक सेट द्वारा फैली हुई एक स्पर्शरेखा सतह निर्दिष्ट कर सकते हैं $\{e_{i}\}$. हम मीट्रिक टेंसर के घटकों, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों और रीमैन वक्रता टेंसर को इस प्रकार जोड़ सकते हैं:

$g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j},$

$\Gamma _{ij}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},$

$R_{ijkl}=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.$

ये संबंध ज्यामितीय कलन के भीतर विभेदक ज्यामिति के सिद्धांत को अंतर्निहित करते हैं।

विभेदक रूपों से संबंध

एक स्थानीय समन्वय प्रणाली में ($x^{1},\ldots ,x^{n}$), निर्देशांक अंतर $dx^{1}$, ..., $dx^{n}$ समन्वय चार्ट के भीतर एक-रूपों का एक मूल सेट बनाएं। एक बहु-सूचकांक दिया गया $I=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ साथ $1\leq i_{p}\leq n$ के लिए $1\leq p\leq k$, हम परिभाषित कर सकते हैं a $k$-प्रपत्र

$\omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.$

हम वैकल्पिक रूप से एक परिचय दे सकते हैं $k$-ग्रेड मल्टीवेक्टर $A$ जैसा

$A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}$

और एक उपाय

${\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}$

अंतर रूपों के संबंध में बाहरी उत्पाद के अर्थ में सूक्ष्म अंतर के अलावा, वैक्टर के संबंध में बाहरी उत्पाद के अर्थ में (पूर्व में वेतन वृद्धि कोवेक्टर हैं, जबकि बाद में वे स्केलर का प्रतिनिधित्व करते हैं), हम अंतर रूप के पत्राचार को देखते हैं

$\omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },$

इसका व्युत्पन्न

$d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },$

और यह हॉज दोहरे है

$\star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,$

ज्यामितीय कलन के भीतर विभेदक रूपों के सिद्धांत को शामिल करें।

इतिहास

ज्यामितीय कैलकुलस के इतिहास का सारांश प्रस्तुत करने वाला एक चित्र निम्नलिखित है।

ज्यामितीय कलन का इतिहास.

सन्दर्भ और आगे पढ़ना

• Macdonald, Alan (2012). वेक्टर और ज्यामितीय कैलकुलस. Charleston: CreateSpace. ISBN 9781480132450. OCLC 829395829.

श्रेणी:अनुप्रयुक्त गणित श्रेणी:कैलकुलस श्रेणी:ज्यामितीय बीजगणित