पृथक समूह

पूर्णांक अपनी सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का एक अलग उपसमूह हैं।

गणित में, एक टोपोलॉजिकल समूह G को 'असतत समूह' कहा जाता है यदि इसमें कोई सीमा बिंदु नहीं है (यानी, G में प्रत्येक तत्व के लिए, एक पड़ोस होता है जिसमें केवल वह तत्व होता है)। समान रूप से, समूह G असतत है यदि और केवल यदि इसका पहचान तत्व पृथक बिंदु है।

टोपोलॉजिकल समूह G का एक उपसमूह H एक 'असतत उपसमूह' है यदि H, G से प्रेरित टोपोलॉजी से संपन्न होने पर असतत है। दूसरे शब्दों में, G में पहचान का एक पड़ोस है जिसमें H का कोई अन्य तत्व नहीं है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक, 'Z', वास्तविक संख्या, 'R' (मानक मीट्रिक स्थान के साथ) का एक अलग उपसमूह बनाते हैं, लेकिन तर्कसंगत संख्याएँ, 'Q', ऐसा नहीं करते हैं।

किसी भी समूह को असतत टोपोलॉजी से संपन्न किया जा सकता है, जिससे यह एक असतत टोपोलॉजिकल समूह बन सकता है। चूँकि असतत स्थान से प्रत्येक मानचित्र सतत (टोपोलॉजी) है, असतत समूहों के बीच टोपोलॉजिकल समरूपताएँ वास्तव में अंतर्निहित समूहों के बीच समूह समरूपताएँ हैं। इसलिए, समूहों की श्रेणी और अलग-अलग समूहों की श्रेणी के बीच श्रेणियों की एक समरूपता है। इसलिए अलग-अलग समूहों की पहचान उनके अंतर्निहित (गैर-टोपोलॉजिकल) समूहों से की जा सकती है।

ऐसे कुछ अवसर होते हैं जब एक टोपोलॉजिकल समूह या लाई समूह उपयोगी रूप से 'प्रकृति के विरुद्ध' असतत टोपोलॉजी से संपन्न होता है। उदाहरण के लिए, बोह्र संघनन के सिद्धांत और लाई समूहों के समूह कोहोमोलॉजी सिद्धांत में ऐसा होता है।

असतत आइसोमेट्री समूह एक आइसोमेट्री समूह है जैसे कि मीट्रिक स्थान के प्रत्येक बिंदु के लिए आइसोमेट्री के तहत बिंदु की छवियों का सेट एक अलग सेट होता है। एक असतत समरूपता समूह एक समरूपता समूह है जो एक असतत आइसोमेट्री समूह है।

गुण

चूँकि टोपोलॉजिकल समूह सजातीय स्थान हैं, किसी को यह निर्धारित करने के लिए केवल एक बिंदु को देखने की आवश्यकता है कि क्या टोपोलॉजिकल समूह असतत है। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजिकल समूह केवल तभी असतत होता है जब पहचान वाला सिंगलटन (गणित) एक खुला सेट होता है।

एक असतत समूह एक शून्य-आयामी झूठ समूह के समान है (बेशुमार अलग-अलग समूह दूसरे-गणनीय नहीं हैं, इसलिए जिन लेखकों को इस सिद्धांत को पूरा करने के लिए झूठ समूहों की आवश्यकता होती है, वे इन समूहों को झूठ समूह नहीं मानते हैं)। एक असतत समूह का पहचान घटक केवल तुच्छ समूह होता है जबकि घटकों का समूह समूह के लिए समरूपी होता है।

चूँकि एक परिमित सेट पर एकमात्र हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजी असतत है, एक परिमित हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजिकल समूह आवश्यक रूप से असतत होना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि हॉसडॉर्फ समूह का प्रत्येक परिमित उपसमूह असतत है।

G का एक अलग उपसमूह H 'कोकॉम्पैक्ट' है यदि G का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K है जैसे कि HK = G.

अलग-अलग सामान्य उपसमूह समूहों और स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक समूहों को कवर करने के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। एक जुड़े हुए अंतरिक्ष समूह जी का एक अलग सामान्य उपसमूह आवश्यक रूप से जी के केंद्र (समूह सिद्धांत) में स्थित है और इसलिए एबेलियन समूह है।

अन्य गुण:

• प्रत्येक अलग समूह पूरी तरह से अलग हो गया है
• अलग-अलग समूह का प्रत्येक उपसमूह अलग-अलग होता है।
• अलग-अलग समूह का प्रत्येक भागफल समूह अलग-अलग होता है।
• असतत समूहों की एक सीमित संख्या का उत्पाद अलग होता है।
• एक असतत समूह सघन समूह है यदि और केवल यदि वह परिमित है।
• प्रत्येक असतत समूह स्थानीय रूप से सघन समूह है।
• हॉसडॉर्फ़ समूह का प्रत्येक अलग उपसमूह बंद है।
• कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ समूह का प्रत्येक असतत उपसमूह परिमित है।

उदाहरण

• फ़्रीज़ समूह और वॉलपेपर समूह यूक्लिडियन विमान के आइसोमेट्री समूह के अलग-अलग उपसमूह हैं। वॉलपेपर समूह सह-कॉम्पैक्ट हैं, लेकिन फ़्रीज़ समूह नहीं हैं।
• एक क्रिस्टलोग्राफिक समूह का मतलब आमतौर पर कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के आइसोमेट्री का एक कोकॉम्पैक्ट, असतत उपसमूह होता है। कभी-कभी, हालांकि, एक क्रिस्टलोग्राफिक समूह एक निलपोटेंट या सॉल्वेबल लाई समूह का एक कोकॉम्पैक्ट असतत उपसमूह हो सकता है।
• प्रत्येक त्रिभुज समूह T गोले के आइसोमेट्री समूह का एक असतत उपसमूह है (जब T परिमित है), यूक्लिडियन विमान (जब T में एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का 'Z' + 'Z' उपसमूह है), या हाइपरबोलिक अंतरिक्ष।
• फ़ुचियन समूह, परिभाषा के अनुसार, हाइपरबोलिक विमान के आइसोमेट्री समूह के असतत उपसमूह हैं।
  • एक फ़्यूचियन समूह जो अभिविन्यास को संरक्षित करता है और हाइपरबोलिक विमान के ऊपरी आधे-तल मॉडल पर कार्य करता है, वह लाई समूह पीएसएल (2,'आर') का एक अलग उपसमूह है, जो ऊपरी आधे-तल के आइसोमेट्री को संरक्षित करने वाले अभिविन्यास का समूह है। अतिशयोक्तिपूर्ण विमान का मॉडल.
  • कभी-कभी फ़ुचियन समूह को क्लेनियन समूह का एक विशेष मामला माना जाता है, जो हाइपरबोलिक विमान को सममितीय रूप से त्रि-आयामी हाइपरबोलिक स्थान में एम्बेड करता है और विमान पर समूह क्रिया को पूरे अंतरिक्ष में विस्तारित करता है।
  • मॉड्यूलर समूह PSL(2,'Z') को PSL(2,'R') का एक अलग उपसमूह माना जाता है। मॉड्यूलर समूह PSL(2,'R') में एक जाली है, लेकिन यह सह-कॉम्पैक्ट नहीं है।
• क्लेनियन समूह, परिभाषा के अनुसार, अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के आइसोमेट्री समूह के असतत उपसमूह हैं। इनमें अर्ध-फ़ुचियन समूह शामिल हैं।
  • एक क्लेनियन समूह जो अभिविन्यास को संरक्षित करता है और अतिशयोक्तिपूर्ण 3-स्थान के ऊपरी आधे अंतरिक्ष मॉडल पर कार्य करता है, वह लाई समूह पीएसएल (2,'सी') का एक अलग उपसमूह है, जो ऊपरी आधे-स्थान के आइसोमेट्री को संरक्षित करने वाले अभिविन्यास का समूह है। हाइपरबोलिक 3-स्पेस का मॉडल।
• झूठ समूह में एक जाली (असतत उपसमूह) एक अलग उपसमूह है जैसे कि भागफल स्थान का हार माप परिमित है।

यह भी देखें

• क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह
• सर्वांगसमता उपसमूह
• अंकगणित समूह
• ज्यामितीय समूह सिद्धांत
• कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत
• स्वतंत्र रूप से असंतत
• निःशुल्क नियमित सेट

संदर्भ

• Pontrjagin, Leon (1946). Topological Groups. Princeton University Press.
• "Discrete group of transformations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Discrete subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]