किसी फ़ंक्शन का अंतर

For other uses of "differential", see Differential (mathematics).

गणना में, अंतर किसी फ़ंक्शन (गणित) में परिवर्तन के प्रमुख भाग#कैलकुलस का प्रतिनिधित्व करता है $y=f(x)$ स्वतंत्र चर में परिवर्तन के संबंध में। अंतर $dy$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$$dy=f'(x)\,dx,$$

कहाँ $f'(x)$ का व्युत्पन्न है f इसके संबंध में $x$, और $dx$ एक अतिरिक्त वास्तविक चर (गणित) है (ताकि $dy$ का एक कार्य है $x$ और $dx$). अंकन ऐसा है कि समीकरण

$$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$$

धारण करता है, जहां व्युत्पन्न को लीबनिज संकेतन में दर्शाया गया है $dy/dx$, और यह अवकलज को अंतरों के भागफल के रूप में मानने के अनुरूप है। एक लिखता भी है

$$df(x)=f'(x)\,dx.$$

चरों का सटीक अर्थ $dy$ और $dx$ आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। यदि अंतर को एक विशेष अंतर रूप के रूप में माना जाता है, या विश्लेषणात्मक महत्व यदि अंतर को किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के रैखिक सन्निकटन के रूप में माना जाता है, तो इन चर का डोमेन एक विशेष ज्यामितीय महत्व ले सकता है। परंपरागत रूप से, चर $dx$ और $dy$ बहुत छोटे (असीमित) माने जाते हैं, और गैर-मानक विश्लेषण में इस व्याख्या को कठोर बना दिया जाता है।

इतिहास और उपयोग

अंतर को पहली बार आइजैक न्यूटन द्वारा एक सहज या अनुमानी परिभाषा के माध्यम से पेश किया गया था और लाइबनिट्स द्वारा आगे बढ़ाया गया था, जिन्होंने अंतर के बारे में सोचा थाdy मान में एक असीम रूप से छोटे (या बहुत छोटे) परिवर्तन के रूप मेंy फ़ंक्शन का, एक असीम रूप से छोटे परिवर्तन के अनुरूपdx फ़ंक्शन के तर्क मेंx. उस कारण से, परिवर्तन की तात्कालिक दर y इसके संबंध में x, जो फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान है, अंश द्वारा दर्शाया गया है

$${\frac {dy}{dx}}$$

जिसे डेरिवेटिव के लिए लीबनिज़ नोटेशन कहा जाता है। भागफल $dy/dx$ असीम रूप से छोटा नहीं है; बल्कि यह एक वास्तविक संख्या है.

इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले के प्रसिद्ध पैम्फलेट विश्लेषक द्वारा। ऑगस्टिन-लुई कॉची (#CITEREFCauchi1823) ने लीबनिज के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील किए बिना अंतर को परिभाषित किया। इसके बजाय, कॉची ने, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट|डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज और उसके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उलट दिया: व्युत्पन्न स्वयं मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अंतर भागफल की एक सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया था, और फिर अंतरों को इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया था। अर्थात्, कोई भी व्यक्ति अंतर को परिभाषित करने के लिए स्वतंत्र था $dy$ एक अभिव्यक्ति द्वारा

$$dy=f'(x)\,dx$$

जिसमें $dy$ और $dx$ ये केवल नए चर हैं जो परिमित वास्तविक मान लेते हैं, लिबनिज़ के लिए तय किए गए इनफिनिटिमल्स को निश्चित नहीं किया गया था। के अनुसार Boyer (1959, p. 12), कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण की तुलना में एक महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अतिसूक्ष्म की आध्यात्मिक धारणा को लागू करने के बजाय, मात्राएँ $dy$ और $dx$ अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्रा की तरह ही इसमें हेरफेर किया जा सकता है सार्थक तरीके से. अंतरों के प्रति कॉची का समग्र वैचारिक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक बना हुआ है, हालाँकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः कार्ल वीयरस्ट्रैस के कारण थी। भौतिक उपचारों में, जैसे कि ऊष्मागतिकी के सिद्धांत पर लागू उपचारों में, अनंतसूक्ष्म दृष्टिकोण अभी भी प्रचलित है। Courant & John (1999, p. 184)अतिसूक्ष्म अंतरों के भौतिक उपयोग को उनकी गणितीय असंभवता के साथ निम्नानुसार सुलझाएं। अंतर परिमित गैर-शून्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो उस विशेष उद्देश्य के लिए आवश्यक सटीकता की डिग्री से छोटे होते हैं जिसके लिए उनका इरादा होता है। इस प्रकार सटीक अर्थ प्राप्त करने के लिए भौतिक अतिसूक्ष्मणों को संगत गणितीय अतिसूक्ष्म से अपील करने की आवश्यकता नहीं है।

गणितीय विश्लेषण और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि किसी फ़ंक्शन के अंतर की धारणा को विभिन्न तरीकों से बढ़ाया जा सकता है। वास्तविक विश्लेषण में, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के मुख्य भाग के रूप में अंतर से सीधे निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे तौर पर इस धारणा की ओर ले जाता है कि एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का अंतर एक वृद्धि का एक रैखिक कार्यात्मक है $\Delta x$. यह दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के अधिक परिष्कृत स्थानों के लिए अंतर (एक रेखीय मानचित्र के रूप में) विकसित करने की अनुमति देता है, जो अंततः फ़्रेचेट व्युत्पन्न|फ़्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न जैसी धारणाओं को जन्म देता है। इसी तरह, विभेदक ज्यामिति में, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अंतर एक स्पर्शरेखा वेक्टर (एक असीम रूप से छोटा विस्थापन) का एक रैखिक कार्य होता है, जो इसे एक प्रकार के एक-रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फ़ंक्शन का बाहरी व्युत्पन्न। गैर-मानक कैलकुलस में, अंतर को इनफिनिटिमल माना जाता है, जिसे स्वयं एक कठोर आधार पर रखा जा सकता है (डिफरेंशियल (इनफिनिटिमल) देखें)।

परिभाषा

किसी फ़ंक्शन का अंतर $f(x)$ एक बिंदु पर $x_{0}$.

डिफरेंशियल कैलकुलस के आधुनिक उपचारों में अंतर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। किसी फ़ंक्शन का अंतर $f(x)$ एकल वास्तविक चर का $x$ कार्य है $df$ दो स्वतंत्र वास्तविक चरों का $x$ और $\Delta x$ द्वारा दिए गए

$$df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x)\,\Delta x.$$

एक या दोनों तर्कों को दबाया जा सकता है, यानी एक को देखा जा सकता है $df(x)$ या केवल $df$. अगर $y=f(x)$, अंतर को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है $dy$. तब से $dx(x,\Delta x)=\Delta x$, लिखना पारंपरिक है $dx=\Delta x$ ताकि निम्नलिखित समानता बनी रहे:

$$df(x)=f'(x)\,dx$$

अंतर की यह धारणा मोटे तौर पर तब लागू होती है जब किसी फ़ंक्शन के लिए एक रैखिक सन्निकटन की मांग की जाती है, जिसमें वृद्धि का मूल्य होता है $\Delta x$ काफी छोटा है. अधिक सटीक रूप से, यदि $f$ पर एक अवकलनीय कार्य है $x$, फिर में अंतर $y$-मूल्य

$$\Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)$$

संतुष्ट

$$\Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,$$

त्रुटि कहां है $\varepsilon$ सन्निकटन में संतुष्ट करता है $\varepsilon /\Delta x\rightarrow 0$ जैसा $\Delta x\rightarrow 0$. दूसरे शब्दों में, किसी की अनुमानित पहचान होती है

$$\Delta y\approx dy$$

जिसमें त्रुटि को उसके सापेक्ष इच्छानुसार छोटा किया जा सकता है $\Delta x$ विवश करके $\Delta x$ पर्याप्त रूप से छोटा होना; यानी,

$${\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0$$

जैसा $\Delta x\rightarrow 0$. इस कारण से, किसी फ़ंक्शन के अंतर को मुख्य भाग के रूप में जाना जाता है | किसी फ़ंक्शन की वृद्धि में मुख्य (रैखिक) भाग: अंतर वेतन वृद्धि का एक रैखिक कार्य है $\Delta x$, और यद्यपि त्रुटि $\varepsilon$ अरेखीय हो सकता है, यह तेजी से शून्य हो जाता है $\Delta x$ शून्य हो जाता है.

कई चरों में अंतर

Operator / Function	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Differential	1: $df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx$	2: $d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx$ 3: $df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv$
Partial derivative	$f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}$	$f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}$
Total derivative	${\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}$	${\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0)$

अगले Goursat (1904, I, §15), एक से अधिक स्वतंत्र चर के कार्यों के लिए,

$$y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),$$

का आंशिक अंतर y किसी एक चर के संबंध मेंx₁ में परिवर्तन का प्रमुख भाग है y परिवर्तन के परिणामस्वरूपdx₁ उस एक चर में। इसलिए आंशिक अंतर है

$${\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}$$

का आंशिक व्युत्पन्न शामिल है y इसके संबंध मेंx₁. सभी स्वतंत्र चरों के संबंध में आंशिक अंतरों का योग कुल अंतर है

$$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},$$

जो परिवर्तन का मुख्य भाग है y स्वतंत्र चरों में परिवर्तन के परिणामस्वरूपx_i.

अधिक सटीक रूप से, बहुपरिवर्तनीय कलन के संदर्भ में, निम्नलिखित Courant (1937b), अगर f एक अवकलनीय फलन है, फिर फ़्रेचेट व्युत्पन्न द्वारा, वृद्धि

$${\begin{aligned}\Delta y&{}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}$$

जहां त्रुटि शर्तें ε _i वेतन वृद्धि के रूप में शून्य हो जाते हैं Δx_i संयुक्त रूप से शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं। कुल अंतर को तब कठोरता से परिभाषित किया जाता है

$$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.$$

चूँकि, इस परिभाषा के साथ,

$$dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},$$

किसी के पास

$$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.$$

जैसा कि एक चर के मामले में, अनुमानित पहचान कायम रहती है

$$dy\approx \Delta y$$

जिसमें कुल त्रुटि को उसके सापेक्ष इच्छानुसार छोटा किया जा सकता है ${\textstyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$ ध्यान को पर्याप्त रूप से छोटी वृद्धियों तक सीमित रखकर।

त्रुटि अनुमान के लिए कुल अंतर का अनुप्रयोग

माप में, कुल अंतर का प्रयोग प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण में किया जाता है $\Delta f$ एक समारोह का $f$ त्रुटियों के आधार पर $\Delta x,\Delta y,\ldots$ मापदंडों का $x,y,\ldots$. यह मानते हुए कि परिवर्तन लगभग रैखिक होने के लिए अंतराल काफी छोटा है:

$$\Delta f(x)=f'(x)\Delta x$$

और यह कि सभी चर स्वतंत्र हैं, तो सभी चर के लिए,

$$\Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots$$

ऐसा इसलिए है क्योंकि व्युत्पन्न $f_{x}$ विशेष पैरामीटर के संबंध में $x$ फ़ंक्शन की संवेदनशीलता देता है $f$ में बदलाव के लिए $x$, विशेष रूप से त्रुटि $\Delta x$. चूंकि उन्हें स्वतंत्र माना जाता है, इसलिए विश्लेषण सबसे खराब स्थिति का वर्णन करता है। घटक त्रुटियों के निरपेक्ष मानों का उपयोग किया जाता है, क्योंकि सरल गणना के बाद, व्युत्पन्न में नकारात्मक चिह्न हो सकता है। इस सिद्धांत से योग, गुणन आदि के त्रुटि नियम प्राप्त होते हैं, जैसे:

Let $f(a,b)=ab$. Then, the finite error can be approximated as

$$\Delta f=f_{a}\Delta a+f_{b}\Delta b.$$

Evaluating the derivatives:

$$\Delta f=b\Delta a+a\Delta b.$$

Dividing by f, which is a × b

$${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b}}$$

कहने का तात्पर्य यह है कि, गुणन में, कुल सापेक्ष त्रुटि मापदंडों की सापेक्ष त्रुटियों का योग है।

यह स्पष्ट करने के लिए कि यह विचार किए गए फ़ंक्शन पर कैसे निर्भर करता है, उस मामले पर विचार करें जहां फ़ंक्शन है $f(a,b)=a\ln b$ बजाय। फिर, यह गणना की जा सकती है कि त्रुटि अनुमान कितना है

$${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b\ln b}}$$

एक अतिरिक्त के साथ'ln b' कारक एक साधारण उत्पाद के मामले में नहीं पाया गया। यह अतिरिक्त कारक त्रुटि को छोटा बनाता है, जैसे ln b नंगे जितना बड़ा नहीं हैb.

उच्च-क्रम अंतर

किसी फ़ंक्शन के उच्च-क्रम अंतर y = f(x) एकल चर का x को इसके माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:

$$d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},$$

और, सामान्य तौर पर,

$$d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.$$

अनौपचारिक रूप से, यह उच्च-क्रम डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज के अंकन को प्रेरित करता है

$$f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.$$

जब स्वतंत्र चर x को स्वयं अन्य चरों पर निर्भर रहने की अनुमति है, तो अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो जाती है, क्योंकि इसमें उच्च क्रम के अंतर भी शामिल होने चाहिए x अपने आप। इस प्रकार, उदाहरण के लिए,

$${\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\[1ex]d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}$$

इत्यादि।

इसी तरह के विचार कई चर के कार्यों के उच्च क्रम के अंतर को परिभाषित करने पर लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि f दो वेरिएबल्स का एक फ़ंक्शन है x और y, तब

$$d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},$$

कहाँ ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ एक द्विपद गुणांक है. अधिक चरों में, एक अनुरूप अभिव्यक्ति कायम रहती है, लेकिन द्विपद विस्तार के बजाय एक उपयुक्त बहुपद गुणांक विस्तार के साथ। कई चरों में उच्च क्रम के अंतर भी अधिक जटिल हो जाते हैं जब स्वतंत्र चर को स्वयं अन्य चर पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के लिए f का x और y जिन्हें सहायक चरों पर निर्भर रहने की अनुमति है, किसी के पास है

$$d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.$$

इस सांकेतिक अजीबता के कारण, उच्च क्रम के अंतरों के उपयोग की चौतरफा आलोचना की गई Hadamard (1935), किसने निष्कर्ष निकाला:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

$$d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?$$

A mon avis, rien du tout.

वह यह है: अंततः, समानता का क्या मतलब है, या इसका प्रतिनिधित्व क्या है? मेरी राय में, कुछ भी नहीं। इस संदेह के बावजूद, उच्च क्रम के अंतर विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में उभरे। इन संदर्भों में, n-फ़ंक्शन का वां क्रम अंतर f वेतनवृद्धि पर लागू Δx द्वारा परिभाषित किया गया है

$$d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}$$

या समकक्ष अभिव्यक्ति, जैसे

$$\lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}$$

कहाँ $\Delta _{t\Delta x}^{n}f$ वृद्धि के साथ एनवाँ आगे का अंतर है tΔx.

यह परिभाषा तब भी समझ में आती है f कई चरों का एक फ़ंक्शन है (सरलता के लिए यहां एक वेक्टर तर्क के रूप में लिया गया है)। फिर n-इस तरह से परिभाषित अंतर डिग्री का एक सजातीय कार्य है n वेक्टर वृद्धि में Δx. इसके अलावा, टेलर श्रृंखला f बिंदु पर x द्वारा दिया गया है

$$f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots$$

उच्च क्रम गेटॉक्स व्युत्पन्न इन विचारों को अनंत आयामी स्थानों पर सामान्यीकृत करता है।

गुण

अंतर के कई गुण व्युत्पन्न, आंशिक व्युत्पन्न और कुल व्युत्पन्न के संबंधित गुणों से सीधे तरीके से अनुसरण करते हैं। इसमे शामिल है:

• रैखिकता: स्थिरांक के लिए a और b और भिन्न कार्य f और g,
  $$d(af+bg)=a\,df+b\,dg.$$
• उत्पाद नियम: दो भिन्न कार्यों के लिए f और g,
  $$d(fg)=f\,dg+g\,df.$$

एक ऑपरेशन dइन दो गुणों के साथ अमूर्त बीजगणित में व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) के रूप में जाना जाता है। वे शक्ति नियम का संकेत देते हैं

$$d(f^{n})=nf^{n-1}df$$

इसके अलावा, व्यापकता के बढ़ते स्तर में, श्रृंखला नियम के विभिन्न रूप धारण करते हैं:

• अगर y = f(u) वेरिएबल का एक अवकलनीय फलन है u और u = g(x) का एक अवकलनीय कार्य है x, तब
  $$dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.$$
• अगर y = f(x₁, ..., x_n) और सभी चरx₁, ..., x_n दूसरे वेरिएबल पर निर्भर रहेंt, फिर कई चरों के लिए श्रृंखला नियम#श्रृंखला नियम द्वारा, एक के पास है
  $${\begin{aligned}dy={\frac {dy}{dt}}dt&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\[1ex]&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}$$
  अनुमानतः, कई चरों के लिए श्रृंखला नियम को इस समीकरण के दोनों पक्षों को असीम रूप से छोटी मात्रा से विभाजित करके समझा जा सकता है dt.
• अधिक सामान्य अनुरूप अभिव्यक्तियाँ धारण करती हैं, जिनमें मध्यवर्ती चर होते हैं x_i एक से अधिक वेरिएबल पर निर्भर।

सामान्य सूत्रीकरण

See also: Fréchet derivative and Gateaux derivative

किसी फ़ंक्शन के लिए अंतर की एक सुसंगत धारणा विकसित की जा सकती है f : Rⁿ → R^m दो यूक्लिडियन स्थानों के बीच। होने देना x,Δx ∈ Rⁿ यूक्लिडियन सदिशों की एक जोड़ी बनें। समारोह में वृद्धि f है

$$\Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).$$

यदि कोई मौजूद है m × n मैट्रिक्स (गणित) A ऐसा है कि

$$\Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}$$

जिसमें वेक्टर ε → 0 जैसा Δx → 0, तब f परिभाषा के अनुसार बिंदु पर अवकलनीय है x. गणित का सवाल A को कभी-कभी जैकोबियन मैट्रिक्स और रैखिक परिवर्तन के रूप में जाना जाता है जो वृद्धि से जुड़ा होता है Δx ∈ Rⁿ वेक्टर AΔx ∈ R^m, इस सामान्य सेटिंग में, अंतर के रूप में जाना जाता है df(x) का f बिंदु पर x. यह बिल्कुल फ़्रेचेट व्युत्पन्न है, और किसी भी बानाच रिक्त स्थान के बीच एक फ़ंक्शन के लिए काम करने के लिए एक ही निर्माण किया जा सकता है।

एक अन्य उपयोगी दृष्टिकोण अंतर को सीधे एक प्रकार के दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित करना है:

$$df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},$$

जो उच्च क्रम के अंतरों को परिभाषित करने के लिए पहले से ही अपनाया गया दृष्टिकोण है (और कॉची द्वारा निर्धारित परिभाषा के लगभग यही है)। अगर t समय और x स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, फिर h विस्थापन के बजाय वेग का प्रतिनिधित्व करता है जैसा कि हमने पहले माना है। इससे अंतर की धारणा का एक और परिशोधन होता है: कि यह गतिज वेग का एक रैखिक कार्य होना चाहिए। अंतरिक्ष के किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से सभी वेगों के सेट को स्पर्शरेखा स्थान के रूप में जाना जाता है, इत्यादि df स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक कार्य देता है: एक विभेदक रूप। इस व्याख्या के साथ, का अंतर f को बाहरी व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है, और विभेदक ज्यामिति में इसका व्यापक अनुप्रयोग होता है क्योंकि वेग और स्पर्शरेखा स्थान की धारणा किसी भी विभेदक मैनिफोल्ड पर समझ में आती है। यदि, इसके अतिरिक्त, का आउटपुट मान f एक स्थिति (यूक्लिडियन स्पेस में) का भी प्रतिनिधित्व करता है, फिर एक आयामी विश्लेषण पुष्टि करता है कि df का आउटपुट मान एक वेग होना चाहिए। यदि कोई इस तरीके से अंतर का इलाज करता है, तो इसे पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह स्रोत स्थान से वेगों को लक्ष्य स्थान में वेगों में धकेलता है।

अन्य दृष्टिकोण

Main article: Differential (infinitesimal)

यद्यपि एक अतिसूक्ष्म वेतन वृद्धि की धारणा dx आधुनिक गणितीय विश्लेषण में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, अंतर (असीमित) को परिभाषित करने के लिए कई प्रकार की तकनीकें मौजूद हैं ताकि किसी फ़ंक्शन के अंतर को इस तरह से नियंत्रित किया जा सके कि लाइबनिज़ नोटेशन के साथ टकराव न हो। इसमे शामिल है:

• अंतर को एक प्रकार के अंतर रूप के रूप में परिभाषित करना, विशेष रूप से किसी फ़ंक्शन का बाहरी व्युत्पन्न। फिर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में वैक्टर के साथ अनंत वृद्धि की पहचान की जाती है। यह दृष्टिकोण विभेदक ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में लोकप्रिय है, क्योंकि यह विभेदक मैनिफोल्ड्स के बीच मैपिंग को आसानी से सामान्यीकृत करता है।
• क्रमविनिमेय वलय के शून्यप्रभावी तत्वों के रूप में विभेदक। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है।
• सेट सिद्धांत के सुचारू मॉडल में अंतर। इस दृष्टिकोण को सिंथेटिक विभेदक ज्यामिति या स्मूथ इनफिनिटिमल विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, सिवाय इसके कि टोपोस सिद्धांत के विचारों का उपयोग उन तंत्रों को छिपाने के लिए किया जाता है जिनके द्वारा निलपोटेंट इनफिनिटिमल पेश किए जाते हैं।
• अतिवास्तविक संख्या प्रणालियों में अपरिमितिमल के रूप में विभेदक, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार हैं जिनमें व्युत्क्रमणीय अपरिमितिमल और अपरिमित रूप से बड़ी संख्याएँ होती हैं। यह अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा प्रवर्तित गैरमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।

उदाहरण और अनुप्रयोग

किसी गणना में प्रयोगात्मक त्रुटियों के प्रसार का अध्ययन करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण में विभेदकों का प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है, और इस प्रकार किसी समस्या की समग्र संख्यात्मक स्थिरता का अध्ययन किया जा सकता है। (Courant 1937a). मान लीजिए कि वेरिएबल x एक प्रयोग के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है और y x पर लागू संख्यात्मक गणना का परिणाम है। सवाल यह है कि माप में किस हद तक त्रुटियां होती हैं x y की गणना के परिणाम को प्रभावित करते हैं। यदि x को उसके वास्तविक मान के Δx के भीतर जाना जाता है, तो टेलर का प्रमेय y की गणना में त्रुटि Δy पर निम्नलिखित अनुमान देता है:

$$\Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )$$

कहाँ ξ = x + θΔx कुछ के लिए 0 < θ < 1. अगर Δx छोटा है, तो दूसरे क्रम का पद नगण्य है, ताकि Δy, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अच्छी तरह से अनुमानित हो dy = f'(x) Δx.

अंतर अक्सर किसी अंतर समीकरण को फिर से लिखने के लिए उपयोगी होता है

$${\frac {dy}{dx}}=g(x)$$

प्रपत्र में

$$dy=g(x)\,dx,$$

विशेष रूप से जब कोई चरों को अलग करना चाहता है।

यह भी देखें

• भेदभाव के लिए संकेतन

संदर्भ

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• Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal, archived from the original on 2007-07-08, retrieved 2009-08-19.
• Courant, Richard (1937a), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (published 1988), ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558.
• Courant, Richard (1937b), Differential and integral calculus. Vol. II, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (published 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, MR 1009559.
• Courant, Richard; John, Fritz (1999), Introduction to Calculus and Analysis Volume 1, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65058-X, MR 1746554
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बाहरी संबंध

• Differential Of A Function at Wolfram Demonstrations Project