जबरदस्ती (गणित)

For the use of forcing in recursion theory, see Forcing (recursion theory).

समुच्चय सिद्धान्त के गणितीय अनुशासन में, मजबूती एक स्थिरता और स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) परिणाम साबित करने के लिए एक तकनीक है। सहजता से, बल को सेट सैद्धांतिक ब्रह्मांड (गणित) के विस्तार के लिए एक तकनीक के रूप में सोचा जा सकता है। $V$ एक बड़े ब्रह्मांड के लिए $V[G]$ एक नई सामान्य वस्तु की शुरुआत करके $G$.

1963 में पहली बार पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा फोर्सिंग का इस्तेमाल किया गया था, पसंद के स्वयंसिद्ध की स्वतंत्रता और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से निरंतरता की परिकल्पना को साबित करने के लिए। बाद के वर्षों में इस पर काफी हद तक फिर से काम किया गया और इसे सरल बनाया गया, और तब से सेट थ्योरी और गणितीय तर्क जैसे रिकर्सन थ्योरी दोनों में एक शक्तिशाली तकनीक के रूप में काम किया है। वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत पुनरावर्तन सिद्धांत और समुच्चय सिद्धांत दोनों से बल प्रयोग की धारणाओं का उपयोग करता है। मॉडल सिद्धांत में भी फोर्सिंग का उपयोग किया गया है, लेकिन मॉडल थ्योरी में यह सामान्य है कि बिना फोर्सिंग का उल्लेख किए सीधे सामान्य फ़िल्टर को परिभाषित किया जाए।

अंतर्ज्ञान

बल प्रयोग आमतौर पर एक विस्तारित ब्रह्मांड का निर्माण करने के लिए किया जाता है जो कुछ वांछित संपत्ति को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, विस्तारित ब्रह्मांड में कई नई वास्तविक संख्याएँ हो सकती हैं (कम से कम $\aleph _{2}$ उनमें से), सेट के सबसेट के साथ पहचाने गए $\mathbb {N}$ प्राकृतिक संख्याएँ, जो पुराने ब्रह्मांड में नहीं थीं, और इस तरह सातत्य परिकल्पना का उल्लंघन करती हैं।

इस तरह के विस्तार को सहज रूप से सही ठहराने के लिए, पुराने ब्रह्मांड को एक संरचना (गणितीय तर्क) के रूप में सोचना सबसे अच्छा है। $M$ सेट सिद्धांत का, जो स्वयं वास्तविक ब्रह्मांड में एक सेट है $V$. लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय द्वारा, $M$ एक नंगे हड्डियों का मॉडल चुना जा सकता है जो स्कोलेम का विरोधाभास है, जो गारंटी देता है कि कई उपसमुच्चय होंगे (में $V$) का $\mathbb {N}$ वह अंदर नहीं है $M$. विशेष रूप से, एक क्रम संख्या है $\aleph _{2}^{M}$ जो बुनियादी संख्या की भूमिका निभाता है $\aleph _{2}$में $M$, लेकिन वास्तव में गणनीय है $V$. इसमें काम कर रहे हैं $V$, इसका एक अलग सबसेट खोजना आसान होना चाहिए $\mathbb {N}$ के प्रत्येक तत्व के अनुसार $\aleph _{2}^{M}$. (सादगी के लिए, उपसमुच्चय के इस परिवार को एक उपसमुच्चय के साथ चित्रित किया जा सकता है $X\subseteq \aleph _{2}^{M}\times \mathbb {N}$.)

हालाँकि, कुछ अर्थों में, विस्तारित मॉडल का निर्माण करना वांछनीय हो सकता है $M[X]$ अंदर $M$. यह सुनिश्चित करने में मदद मिलेगी $M[X]$ से मिलता है $M$ कुछ पहलुओं में, जैसे $\aleph _{2}^{M[X]}$ के समान होना $\aleph _{2}^{M}$ (अधिक आम तौर पर, वह कार्डिनल पतन नहीं होता है), और गुणों पर ठीक नियंत्रण की अनुमति देता है $M[X]$. अधिक सटीक, के प्रत्येक सदस्य $M[X]$ में (गैर-अद्वितीय) नाम दिया जाना चाहिए $M$. नाम के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति के रूप में सोचा जा सकता है $X$, बिल्कुल सरल क्षेत्र विस्तार की तरह $L=K(\theta )$ का हर तत्व $L$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $\theta$. जबरदस्ती का एक प्रमुख घटक उन नामों में हेरफेर कर रहा है $M$, इसलिए कभी-कभी सीधे तौर पर सोचने में मदद मिल सकती है $M$ ब्रह्मांड के रूप में, यह जानते हुए कि बल का सिद्धांत इसकी गारंटी देता है $M[X]$ एक वास्तविक मॉडल के अनुरूप होगा।

जबरदस्ती का एक सूक्ष्म बिंदु यह है कि, अगर $X$ में कुछ सेट के मनमाने ढंग से लापता उपसमुच्चय के रूप में लिया जाता है $M$, फिर $M[X]$ भीतर निर्मित $M$एक मॉडल भी नहीं हो सकता। यह है क्योंकि $X$ के बारे में विशेष जानकारी सांकेतिक शब्दों में बदलना कर सकते हैं $M$ जो भीतर अदृश्य है $M$ (उदाहरण के लिए की गिनती $M$), और इस प्रकार उन सेटों के अस्तित्व को साबित करें जो बहुत जटिल हैं $M$ वर्णन करना । जबरदस्ती नए शुरू किए गए सेट की आवश्यकता के कारण ऐसी समस्याओं से बचा जाता है $X$ के सापेक्ष एक सामान्य सेट होना $M$. कुछ बयानों को किसी भी सामान्य के लिए मजबूर किया जाता है $X$: उदाहरण के लिए, एक सामान्य $X$ अनंत होने के लिए विवश है। इसके अलावा, कोई भी संपत्ति (वर्णन योग्य $M$) एक सामान्य सेट को कुछ मजबूर स्थिति में रखने के लिए मजबूर किया जाता है। जबरदस्ती की अवधारणा को भीतर परिभाषित किया जा सकता है $M$, और देता है $M$ यह साबित करने के लिए पर्याप्त तर्क शक्ति $M[X]$ वास्तव में एक मॉडल है जो वांछित गुणों को संतुष्ट करता है।

कोहेन की मूल तकनीक, जिसे अब शाखा मजबूर कहा जाता है, यहां बताए गए असम्बद्ध फोर्सिंग से थोड़ा अलग है। फोर्सिंग भी बूलियन-मूल्यवान मॉडल की विधि के बराबर है, जो कुछ लोगों को वैचारिक रूप से अधिक प्राकृतिक और सहज लगता है, लेकिन आमतौर पर इसे लागू करना अधिक कठिन होता है।

मॉडल की भूमिका

उपरोक्त दृष्टिकोण को सुचारू रूप से काम करने के लिए, $M$ वास्तव में एक मानक मॉडल (सेट सिद्धांत) होना चाहिए $V$, ताकि सदस्यता और अन्य प्राथमिक धारणाओं को दोनों में सहज रूप से नियंत्रित किया जा सके $M$ और $V$. मोस्टोव्स्की पतन लेम्मा के माध्यम से किसी भी मानक मॉडल से एक मानक सकर्मक मॉडल प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन किसी भी मानक मॉडल का अस्तित्व ${\mathsf {ZFC}}$ (या उसका कोई संस्करण) की संगति की तुलना में अपने आप में एक मजबूत धारणा है ${\mathsf {ZFC}}$.

इस मुद्दे को हल करने के लिए, एक मानक तकनीक है $M$ के एक मनमाना परिमित उपसमुच्चय का एक मानक सकर्मक मॉडल हो ${\mathsf {ZFC}}$ (कोई भी स्वयंसिद्ध ${\mathsf {ZFC}}$ कम से कम एक स्वयंसिद्ध स्कीमा है, और इस प्रकार स्वयंसिद्धों की एक अनंत संख्या है), जिसके अस्तित्व की गारंटी परावर्तन सिद्धांत # ZFC में है। जैसा कि एक जबरदस्त तर्क का लक्ष्य स्थिरता परिणाम साबित करना है, यह पर्याप्त है क्योंकि किसी सिद्धांत में किसी भी असंगतता को एक सीमित लंबाई की व्युत्पत्ति के साथ प्रकट होना चाहिए, और इस प्रकार केवल स्वयंसिद्धों की एक सीमित संख्या शामिल होती है।

मजबूर करने की स्थिति और मजबूर पोसेट्स

प्रत्येक मजबूर स्थिति को वस्तु के संबंध में जानकारी का एक परिमित टुकड़ा माना जा सकता है $X$ मॉडल से जुड़ा हुआ है। किसी वस्तु के बारे में जानकारी प्रदान करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जो अलग-अलग बाध्यकारी धारणाओं को जन्म देते हैं। जबरदस्ती की धारणाओं को औपचारिक रूप देने के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण यह है कि एक पॉसेट संरचना के साथ अमूर्त वस्तुओं के रूप में मजबूर करने की स्थिति को माना जाए।

एक मजबूर poset एक आदेशित ट्रिपल है, $(\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )$, कहाँ $\leq$ पर एक अग्रिम आदेश है $\mathbb {P}$, और $\mathbf {1}$ सबसे बड़ा तत्व है। के सदस्यों $\mathbb {P}$ मजबूर करने की स्थिति (या सिर्फ शर्तें) हैं। आदेश संबंध $p\leq q$ साधन$p$ से ज्यादा मजबूत है $q$. (सहज रूप से, छोटी स्थिति छोटे अंतराल की तरह ही अधिक जानकारी प्रदान करती है $[3.1415926,3.1415927]$ Pi| संख्या के बारे में अधिक जानकारी प्रदान करता हैπ अंतराल की तुलना में $[3.1,3.2]$ करता है।) इसके अलावा, प्रीऑर्डर $\leq$ एटम (आदेश सिद्धांत) होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसे विभाजन की स्थिति को पूरा करना चाहिए:

• प्रत्येक के लिए $p\in \mathbb {P}$, वहाँ हैं $q,r\in \mathbb {P}$ ऐसा है कि $q,r\leq p$, कोई साथ $s\in \mathbb {P}$ ऐसा है कि $s\leq q,r$.

दूसरे शब्दों में, किसी भी बाध्यकारी स्थिति को मजबूत करना संभव होना चाहिए $p$ कम से कम दो असंगत दिशाओं में। सहज रूप से, ऐसा इसलिए है क्योंकि $p$ जानकारी का केवल एक सीमित टुकड़ा है, जबकि निर्धारित करने के लिए जानकारी का एक अनंत टुकड़ा आवश्यक है $X$.

उपयोग में विभिन्न सम्मेलन हैं। कुछ लेखकों की आवश्यकता होती है $\leq$ प्रतिसममित संबंध भी होना चाहिए, ताकि संबंध एक आंशिक क्रम हो। कुछ वैसे भी आंशिक आदेश शब्द का उपयोग करते हैं, जो मानक शब्दावली के साथ परस्पर विरोधी हैं, जबकि कुछ शब्द प्रीऑर्डर का उपयोग करते हैं। सबसे बड़े तत्व के साथ तिरस्कृत किया जा सकता है। रिवर्स ऑर्डरिंग का भी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से सहारों शेलाह और उनके सह-लेखकों द्वारा।

उदाहरण

होने देना $S$ कोई अनंत सेट हो (जैसे $\mathbb {N}$), और विचाराधीन सामान्य वस्तु को एक नया उपसमुच्चय होने दें $X\subseteq S$. कोहेन के फोर्सिंग के मूल सूत्रीकरण में, प्रत्येक फोर्सिंग कंडीशन वाक्यों का एक सीमित सेट है, चाहे वह किसी भी रूप में हो $a\in X$ या $a\notin X$, जो आत्मनिर्भर हैं (अर्थात $a\in X$ और $a\notin X$ के समान मूल्य के लिए $a$ एक ही स्थिति में प्रकट न हों)। इस जबरदस्ती की धारणा को आमतौर पर कोहेन फोर्सिंग कहा जाता है।

कोहेन फोर्सिंग के लिए फोर्सिंग पोसेट औपचारिक रूप से लिखा जा सकता है $(\operatorname {Fin} (S,2),\supseteq ,0)$, परिमित आंशिक कार्य से $S$ को $2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}$ रिवर्स समावेशन के तहत। कोहेन मजबूरन बंटवारे की स्थिति को संतुष्ट करता है क्योंकि कोई भी शर्त दी गई है $p$, कोई हमेशा एक तत्व पा सकता है $a\in S$ में उल्लेखित नहीं है $p$, और कोई भी वाक्य जोड़ें $a\in X$ या $a\notin X$ को $p$ एक दूसरे के साथ असंगत दो नई बाध्यकारी स्थितियां प्राप्त करने के लिए।

फोर्सिंग पोसेट का एक और शिक्षाप्रद उदाहरण है $(\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)$, कहाँ $I=[0,1]$ और $\operatorname {Bor} (I)$ के बोरेल उपसमूहों का संग्रह है $I$ गैर-शून्य Lebesgue माप होना। इस फोर्सिंग पोसेट से जुड़ी सामान्य वस्तु एक यादृच्छिक वास्तविक संख्या है $r\in [0,1]$. यह दिखाया जा सकता है $r$ के प्रत्येक बोरेल उपसमुच्चय में आता है $[0,1]$ माप 1 के साथ, बशर्ते कि बोरेल उपसमुच्चय को मूल अविस्तारित ब्रह्मांड में वर्णित किया गया हो (इसे बोरेल कोड की अवधारणा के साथ औपचारिक रूप दिया जा सकता है)। प्रत्येक मजबूर स्थिति को एक यादृच्छिक घटना के रूप में माना जा सकता है जिसमें इसकी माप के बराबर संभावना होती है। तैयार अंतर्ज्ञान के कारण यह उदाहरण प्रदान कर सकता है, संभाव्य भाषा का प्रयोग कभी-कभी अन्य अलग-अलग मजबूर पॉसेट्स के साथ किया जाता है।

सामान्य फ़िल्टर

भले ही प्रत्येक व्यक्ति मजबूर स्थिति $p$ सामान्य वस्तु को पूरी तरह से निर्धारित नहीं कर सकता $X$, सेट $G\subseteq \mathbb {P}$ सभी वास्तविक मजबूरन स्थितियां निर्धारित करती हैं $X$. वास्तव में, सामान्यता के नुकसान के बिना, $G$ आमतौर पर इससे सटे सामान्य वस्तु के रूप में माना जाता है $M$, इसलिए विस्तारित मॉडल कहा जाता है $M[G]$. मूल रूप से वांछित वस्तु को दिखाना आमतौर पर काफी आसान होता है $X$ वास्तव में मॉडल में है $M[G]$.

इस सम्मेलन के तहत, सामान्य वस्तु की अवधारणा को सामान्य तरीके से वर्णित किया जा सकता है। विशेष रूप से, सेट $G$ एक सामान्य फ़िल्टर चालू होना चाहिए $\mathbb {P}$ के सापेक्ष $M$. फ़िल्टर (गणित) स्थिति का अर्थ है कि यह समझ में आता है $G$ सभी वास्तविक मजबूर स्थितियों का एक सेट है:

• $G\subseteq \mathbb {P} ;$
• $\mathbf {1} \in G;$
• अगर $p\geq q\in G$, तब $p\in G;$
• अगर $p,q\in G$, तो वहाँ एक मौजूद है $r\in G$ ऐसा है कि $r\leq p,q.$

के लिए $G$ के सापेक्ष सामान्य होना $M$साधन:

• अगर $D\in M$ का सघन उपसमुच्चय है $\mathbb {P}$ (यानी, प्रत्येक के लिए $p\in \mathbb {P}$, वहाँ मौजूद है $q\in D$ ऐसा है कि $q\leq p$), तब $G\cap D\neq \varnothing$.

मान लें कि $M$ एक गणनीय मॉडल है, एक सामान्य फ़िल्टर का अस्तित्व $G$ रसिओवा-सिकोर्स्की लेम्मा से आता है। वास्तव में, थोड़ा और सत्य है: एक शर्त दी गई है $p\in \mathbb {P}$, कोई एक सामान्य फ़िल्टर पा सकता है $G$ ऐसा है कि $p\in G$. बंटवारे की स्थिति के कारण $\mathbb {P}$, अगर $G$ एक फिल्टर है, फिर $\mathbb {P} \setminus G$ घना है। अगर $G\in M$, तब $\mathbb {P} \setminus G\in M$ क्योंकि $M$ का एक मॉडल है ${\mathsf {ZFC}}$. इस कारण से, एक सामान्य फ़िल्टर कभी नहीं होता है $M$.

पी-नाम और व्याख्याएं

एक मजबूर पोसेट के साथ संबद्ध $\mathbb {P}$ वर्ग है (सेट सिद्धांत) $V^{(\mathbb {P} )}$ का $\mathbb {P}$-नाम। ए $\mathbb {P}$-नाम एक सेट है $A$ फार्म का

$A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.$

कोई फ़िल्टर दिया गया $G$ पर $\mathbb {P}$, व्याख्या या मूल्यांकन मानचित्र से $\mathbb {P}$-नाम द्वारा दिया गया है

$\operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.$

$\mathbb {P}$वें>-नाम, वास्तव में, वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का विस्तार हैं। दिया गया $x\in V$, एक परिभाषित करता है ${\check {x}}$ होना के लिए $\mathbb {P}$-नाम

${\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.$

तब से $\mathbf {1} \in G$, यह इस प्रकार है कि $\operatorname {val} ({\check {x}},G)=x$. एक अर्थ में, ${\check {x}}$ के लिए एक नाम है $x$की विशिष्ट पसंद पर निर्भर नहीं करता है $G$.

यह एक नाम को परिभाषित करने की भी अनुमति देता है $G$स्पष्ट रूप से उल्लेख किए बिना $G$:

${\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in \mathbb {P} \}$

ताकि $\operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G$.

कठोर परिभाषाएँ

की अवधारणाएँ $\mathbb {P}$-नाम, व्याख्याएं, और ${\check {x}}$ वास्तव में ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है। साथ $\varnothing$ खाली सेट, $\alpha +1$ क्रमिक से क्रमिक का उत्तराधिकारी $\alpha$, ${\mathcal {P}}$ सत्ता स्थापित | पावर-सेट ऑपरेटर, और $\lambda$ एक सीमा क्रमसूचक, निम्नलिखित पदानुक्रम को परिभाषित करें:

${\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}.\end{aligned}}$

फिर की कक्षा $\mathbb {P}$-नाम के रूप में परिभाषित किया गया है

$V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{is an ordinal}}\}.$

व्याख्या नक्शा और नक्शा $x\mapsto {\check {x}}$ इसी तरह एक पदानुक्रमित निर्माण के साथ परिभाषित किया जा सकता है।

जबरदस्ती

एक सामान्य फ़िल्टर दिया गया $G\subseteq \mathbb {P}$, एक निम्नानुसार आगे बढ़ता है। का उपवर्ग $\mathbb {P}$-नामों में $M$ निरूपित किया जाता है $M^{(\mathbb {P} )}$. होने देना

$M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.$

के सेट सिद्धांत के अध्ययन को कम करने के लिए $M[G]$ उसके वहां के लिए $M$, एक जबरदस्ती भाषा के साथ काम करता है, जो बाइनरी रिलेशन के रूप में सदस्यता के साथ सामान्य प्रथम-क्रम तर्क की तरह निर्मित होता है और सभी $\mathbb {P}$-नाम स्थिरांक के रूप में।

परिभाषित करना $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})$ (के रूप में पढ़ने के लिए$p$ ताकतों $\varphi$ मॉडल में $M$ पोसेट के साथ $\mathbb {P}$), कहाँ $p$ एक शर्त है, $\varphi$ जबरदस्ती भाषा में एक सूत्र है, और $u_{i}$के हैं $\mathbb {P}$-नाम, इसका मतलब है कि अगर $G$ एक सामान्य फ़िल्टर युक्त है $p$, तब $M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))$. विशेष मामला $\mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi$ अक्सर के रूप में लिखा जाता है$\mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi$या केवल$\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi$. में ऐसे कथन सत्य हैं $M[G]$, कोई बात नहीं क्या $G$ है।

महत्वपूर्ण बात यह है कि यह जबरदस्ती संबंध की बाहरी परिभाषा है $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi$ भीतर एक आंतरिक परिभाषा के बराबर है $M$, ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा परिभाषित (विशेष रूप से एप्सिलॉन-इंडक्शन |$\in$-इंडक्शन) के ऊपर $\mathbb {P}$-नाम के उदाहरणों पर $u\in v$ और $u=v$, और फिर सूत्रों की जटिलता पर साधारण प्रेरण द्वारा। इसका प्रभाव यह है कि के सभी गुण $M[G]$ के गुण हैं $M$, और का सत्यापन ${\mathsf {ZFC}}$ में $M[G]$ सीधा हो जाता है। इसे आमतौर पर निम्नलिखित तीन प्रमुख गुणों के रूप में संक्षेपित किया जाता है:

• सच: $M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))$ अगर और केवल अगर इसके द्वारा मजबूर किया जाता है $G$यानी कुछ शर्तों के लिए $p\in G$, अपने पास $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})$.
• निश्चितता: कथन$p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})$में निश्चित है $M$.
• सुसंगतता: $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})$.

आंतरिक परिभाषा

जबरदस्ती के संबंध को परिभाषित करने के कई अलग-अलग लेकिन समान तरीके हैं $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$ में $M$. परिभाषा को आसान बनाने का एक तरीका यह है कि पहले एक संशोधित फ़ोर्सिंग संबंध को परिभाषित किया जाए $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ इससे सख्त मजबूत है $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$. संशोधित संबंध $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ अभी भी जबरदस्ती के तीन प्रमुख गुणों को संतुष्ट करता है, लेकिन $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi$ और $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi '$ पहले क्रम के सूत्र होने पर भी आवश्यक रूप से समतुल्य नहीं हैं $\varphi$ और $\varphi '$ समकक्ष हैं। असंशोधित मजबूरन संबंध को तब परिभाषित किया जा सकता है

$$p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi \iff p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \neg \varphi .$$

वास्तव में, कोहेन की जबरदस्ती की मूल अवधारणा अनिवार्य रूप से है $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ इसके बजाय $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$.

संशोधित बल संबंध $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ निम्नानुसार पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है:

1. $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\in v$ साधन $(\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w=u).$
2. $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\neq v$ साधन $(\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin u)\vee (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin u).$
3. $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \varphi$ साधन $\neg (\exists q\leq p)(q\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi ).$
4. $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}(\varphi \vee \psi )$ साधन $(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi )\vee (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\psi ).$
5. $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\exists x\,\varphi (x)$ साधन $(\exists u\in M^{(\mathbb {P} )})(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi (u)).$

जबरदस्ती भाषा के अन्य प्रतीकों को इन प्रतीकों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, $u=v$ साधन $\neg (u\neq v)$, $\forall x\,\varphi (x)$ साधन $\neg \exists x\,\neg \varphi (x)$, आदि केस 1 और 2 एक दूसरे पर और केस 3 पर निर्भर करते हैं, लेकिन रिकर्सन हमेशा संदर्भित करता है $\mathbb {P}$-नाम कम रैंक (सेट सिद्धांत) के साथ, इसलिए ट्रांसफ़ाइन इंडक्शन परिभाषा को पूरा करने की अनुमति देता है।

निर्माण द्वारा, $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ (और इस तरह $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$) स्वचालित रूप से निश्चितता को संतुष्ट करता है। इसका प्रमाण $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ उपरोक्त पांच मामलों में से प्रत्येक का निरीक्षण करके सत्य और सुसंगतता को भी संतुष्ट करता है। मामले 4 और 5 तुच्छ हैं (की पसंद के लिए धन्यवाद $\vee$ और $\exists$ प्राथमिक प्रतीकों के रूप में), केस 1 और 2 केवल इस धारणा पर निर्भर करता है कि $G$ एक फिल्टर है, और केवल केस 3 की आवश्यकता है $G$ एक सामान्य फ़िल्टर होना।

औपचारिक रूप से, बाध्यकारी संबंध की एक आंतरिक परिभाषा (जैसे कि ऊपर प्रस्तुत की गई है) वास्तव में एक स्वैच्छिक सूत्र का रूपांतरण है $\varphi (x_{1},\dots ,x_{n})$ दूसरे सूत्र के लिए $p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})$ कहाँ $p$ और $\mathbb {P}$ अतिरिक्त चर हैं। आदर्श $M$ परिवर्तन में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है (ध्यान दें कि भीतर $M$, $u\in M^{(\mathbb {P} )}$ बस का मतलब है$u$ एक है $\mathbb {P}$-नाम), और वास्तव में कोई भी इस परिवर्तन को ब्रह्मांड में जबरदस्ती संबंध की वाक्यात्मक परिभाषा के रूप में ले सकता है $V$ किसी भी गणनीय सकर्मक मॉडल की परवाह किए बिना सभी सेटों की। हालाँकि, अगर कोई कुछ गणनीय सकर्मक मॉडल पर बल देना चाहता है $M$, तो बाद वाले सूत्र के तहत व्याख्या की जानी चाहिए $M$ (अर्थात सभी क्वांटिफायर केवल ऊपर लेकर $M$), जिस स्थिति में यह की बाहरी सिमेंटिक परिभाषा के समतुल्य है $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$ इस खंड के शीर्ष पर वर्णित:

किसी भी सूत्र के लिए $\varphi (x_{1},\dots ,x_{n})$ एक प्रमेय है $T$ सिद्धांत का ${\mathsf {ZFC}}$ (उदाहरण के लिए स्वयंसिद्धों की परिमित संख्या का संयोजन) जैसे कि किसी भी गणनीय सकर्मक मॉडल के लिए $M$ ऐसा है कि $M\models T$ और कोई परमाणु रहित आंशिक क्रम $\mathbb {P} \in M$ और कोई भी $\mathbb {P}$-सामान्य फिल्टर $G$ ऊपर $M$

$$(\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})).$$

यह वह अर्थ है जिसके तहत जबरदस्ती संबंध वास्तव में निश्चित है $M$.

संगति

ऊपर की चर्चा को मौलिक स्थिरता परिणाम द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है, जो कि एक जबरदस्त पोसेट दिया गया है $\mathbb {P}$, हम एक सामान्य फ़िल्टर के अस्तित्व को मान सकते हैं $G$, ब्रह्मांड से संबंधित नहीं $V$, ऐसा है कि $V[G]$ फिर से एक सेट-सैद्धांतिक ब्रह्मांड है जो मॉडल करता है ${\mathsf {ZFC}}$. इसके अलावा, सभी सत्य $V[G]$ में सत्य को कम किया जा सकता है $V$ जबरदस्ती संबंध शामिल है।

दोनों शैलियों, आसन्न $G$ या तो एक गणनीय सकर्मक मॉडल के लिए $M$ या पूरा ब्रह्मांड $V$, आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। फोर्सिंग की आंतरिक परिभाषा का उपयोग करने वाला दृष्टिकोण आमतौर पर कम देखा जाता है, जिसमें सेट या क्लास मॉडल का कोई उल्लेख नहीं किया जाता है। यह कोहेन की मूल पद्धति थी, और एक विस्तार में, यह बूलियन-मूल्यवान विश्लेषण की पद्धति बन जाती है।

कोहेन मजबूर

सबसे सरल गैर-तुच्छ फोर्सिंग पोसेट है $(\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)$, परिमित आंशिक कार्य से $\omega$ को $2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}$ रिवर्स समावेशन के तहत। यानी एक शर्त $p$ अनिवार्य रूप से दो असंयुक्त परिमित उपसमुच्चय हैं ${p^{-1}}[1]$ और ${p^{-1}}[0]$ का $\omega$, हां और नहीं के हिस्से के रूप में सोचा जाना चाहिए $p$, के डोमेन के बाहर मूल्यों पर कोई जानकारी नहीं दी गई है $p$.$q$ से ज्यादा मजबूत है $p$मतलब कि $q\supseteq p$, दूसरे शब्दों में, हां और ना के हिस्से $q$ हां और नहीं के हिस्से के सुपरसेट हैं $p$, और उस अर्थ में, अधिक जानकारी प्रदान करें।

होने देना $G$ इस पॉसेट के लिए एक सामान्य फ़िल्टर बनें। अगर $p$ और $q$ दोनों में हैं $G$, तब $p\cup q$ एक शर्त है क्योंकि $G$ एक फिल्टर है। इस का मतलब है कि $g=\bigcup G$ से एक अच्छी तरह से परिभाषित आंशिक कार्य है $\omega$ को $2$ क्योंकि किन्हीं दो स्थितियों में $G$ उनके सामान्य डोमेन पर सहमत हैं।

वास्तव में, $g$ कुल कार्य है। दिया गया $n\in \omega$, होने देना $D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}$. तब $D_{n}$ घना है। (कोई दिया गया $p$, अगर $n$ इसमें नहीं है $p$का डोमेन, के लिए एक मान संलग्न करें $n$-परिणाम आ गया है $D_{n}$।) एक शर्त $p\in G\cap D_{n}$ है $n$ इसके डोमेन में, और उसके बाद से $p\subseteq g$, हम पाते हैं $g(n)$ परिभाषित किया गया।

होने देना $X={g^{-1}}[1]$, सामान्य स्थितियों के सभी हाँ सदस्यों का सेट। के लिए एक नाम देना संभव है $X$ सीधे। होने देना

${\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.$

तब $\operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.$ अब मान लीजिए $A\subseteq \omega$ में $V$. हम यह दावा करते हैं $X\neq A$. होने देना

$D_{A}=\{p\mid (\exists n)(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.$

तब $D_{A}$ घना है। (कोई दिया गया $p$, पाना $n$ जो इसके डोमेन में नहीं है, और इसके लिए एक मान संलग्न करें $n$ की स्थिति के विपरीत$n\in A$।) फिर कोई $p\in G\cap D_{A}$ गवाहों $X\neq A$. संक्षेप में, $X$ का नया उपसमुच्चय है $\omega$, अनिवार्य रूप से अनंत।

की जगह $\omega$ साथ $\omega \times \omega _{2}$, अर्थात्, परिमित आंशिक कार्यों पर विचार करें जिनके इनपुट फॉर्म के हैं $(n,\alpha )$, साथ $n<\omega$ और $\alpha <\omega _{2}$, और जिनके आउटपुट हैं $0$ या $1$, एक मिलता है $\omega _{2}$ के नए उपसमुच्चय $\omega$. घनत्व तर्क द्वारा वे सभी अलग हैं: दिया गया $\alpha <\beta <\omega _{2}$, होने देना

$D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},$ फिर प्रत्येक $D_{\alpha ,\beta }$ सघन है, और इसमें एक सामान्य स्थिति यह साबित करती है कि αth नया सेट कहीं से असहमत है $\beta$वें नया सेट।

यह अभी तक सातत्य परिकल्पना का मिथ्याकरण नहीं है। किसी को यह साबित करना होगा कि कौन सा नक्शा कोई नया नक्शा पेश नहीं किया गया है $\omega$ पर $\omega _{1}$, या $\omega _{1}$ पर $\omega _{2}$. उदाहरण के लिए, यदि कोई इसके बजाय विचार करता है $\operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})$, परिमित आंशिक कार्य $\omega$ को $\omega _{1}$, पहला बेशुमार क्रमसूचक, एक अंदर आता है $V[G]$ से एक आपत्ति $\omega$ को $\omega _{1}$. दूसरे शब्दों में, $\omega _{1}$ ढह गया है, और जबरदस्ती विस्तार में, एक गणनीय क्रमसूचक है।

सातत्य परिकल्पना की स्वतंत्रता दिखाने में अंतिम चरण, तब, यह दिखाना है कि कोहेन फोर्सिंग कार्डिनल्स को नहीं गिराती है। इसके लिए, एक पर्याप्त दहनशील संपत्ति यह है कि फोर्सिंग पोसेट के सभी antichain ्स गणनीय हैं।

गणनीय श्रृंखला की स्थिति

Main article: Countable chain condition

एक मजबूत एंटीचैन | (मजबूत) एंटीचैन $A$ का $\mathbb {P}$ एक उपसमुच्चय है जैसे कि अगर $p,q\in A$, तब $p$ और $q$ असंगत हैं (लिखित $p\perp q$), मतलब नहीं है $r$ में $\mathbb {P}$ ऐसा है कि $r\leq p$ और $r\leq q$. बोरेल सेट के उदाहरण में, असंगति का अर्थ है कि $p\cap q$ शून्य माप है। परिमित आंशिक कार्यों के उदाहरण में, असंगति का अर्थ है कि $p\cup q$ एक कार्य नहीं है, दूसरे शब्दों में, $p$ और $q$ कुछ डोमेन इनपुट के लिए अलग-अलग मान असाइन करें।

$\mathbb {P}$ गणनीय श्रृंखला की स्थिति (c.c.c.) को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर हर एंटीचैन में $\mathbb {P}$ गणनीय है। (नाम, जो स्पष्ट रूप से अनुपयुक्त है, पुरानी शब्दावली से लिया गया है। कुछ गणितज्ञ c.a.c. गणनीय एंटीचेन स्थिति के लिए लिखते हैं।)

इसे देखना आसान है $\operatorname {Bor} (I)$ c.c.c को संतुष्ट करता है क्योंकि उपायों का योग अधिकतम होता है $1$. भी, $\operatorname {Fin} (E,2)$ c.c.c. को संतुष्ट करता है, लेकिन प्रमाण अधिक कठिन है।

एक बेशुमार उपपरिवार दिया $W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)$, सिकुड़ना $W$ एक बेशुमार उपपरिवार के लिए $W_{0}$ आकार के सेट के $n$, कुछ के लिए $n<\omega$. अगर $p(e_{1})=b_{1}$ अनगिनत के लिए $p\in W_{0}$, इसे एक बेशुमार उपपरिवार में सिकोड़ें $W_{1}$ और दोहराएँ, परिमित समुच्चय प्राप्त करें $\{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}$ और एक बेशुमार परिवार $W_{k}$ आकार की असंगत स्थितियों का $n-k$ ऐसा है कि हर $e$ में है $\operatorname {Dom} (p)$ अधिक से अधिक गणनीय कई के लिए $p\in W_{k}$. अब, एक मनमाना चुनें $p\in W_{k}$, और से चुनें $W_{k}$ कोई $q$ यह उन गिने-चुने सदस्यों में से एक नहीं है जिनके साथ एक डोमेन सदस्य उभयनिष्ठ है $p$. तब $p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}$ और $q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}$ संगत हैं, इसलिए $W$ एक एंटीचैन नहीं है। दूसरे शब्दों में, $\operatorname {Fin} (E,2)$-एंटीचेन्स गणनीय हैं।

फोर्सिंग में एंटीचेन्स का महत्व यह है कि अधिकांश उद्देश्यों के लिए, घने सेट और अधिकतम एंटीचेन्स समकक्ष हैं। एक अधिकतम एंटीचैन $A$ एक ऐसा है जिसे एक बड़े एंटीचैन तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। इसका मतलब है कि हर तत्व $p\in \mathbb {P}$ के कुछ सदस्यों के साथ संगत है $A$. अधिकतम एंटीचेन का अस्तित्व ज़ोर्न के लेम्मा से आता है | ज़ोर्न की लेम्मा। एक अधिकतम एंटीचैन दिया गया $A$, होने देना

$D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.$

तब $D$ घना है, और $G\cap D\neq \varnothing$ अगर और केवल अगर $G\cap A\neq \varnothing$. इसके विपरीत, एक घना सेट दिया $D$, ज़ोर्न का लेम्मा दर्शाता है कि एक अधिकतम एंटीचेन मौजूद है $A\subseteq D$, और तब $G\cap D\neq \varnothing$ अगर और केवल अगर $G\cap A\neq \varnothing$.

ये मान लीजिए $\mathbb {P}$ c.c.c को संतुष्ट करता है दिया गया $x,y\in V$, साथ $f:x\to y$ में एक समारोह $V[G]$, अनुमान लगाया जा सकता है $f$ अंदर $V$ निम्नलिखित नुसार। होने देना $u$ के लिए एक नाम हो $f$ (की परिभाषा के अनुसार $V[G]$) और जाने $p$ ऐसी स्थिति हो जो मजबूर करे $u$ से एक समारोह होना $x$ को $y$. एक समारोह परिभाषित करें $F$, जिसका डोमेन है $x$, द्वारा

$F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.$ जबरदस्ती की निश्चितता से, यह परिभाषा समझ में आती है $V$. जबरदस्ती के सामंजस्य से, एक अलग $b$ एक असंगत से आते हैं $p$. सी.सी.सी. द्वारा, $F(a)$ गणनीय है।

सारांश, $f$ में अज्ञात है $V$ जैसा कि यह निर्भर करता है $G$, लेकिन यह एक सी.सी.सी.-फोर्सिंग के लिए बेतहाशा अज्ञात नहीं है। के मूल्य के लिए अनुमानों के एक गणनीय सेट की पहचान कर सकते हैं $f$ से स्वतंत्र किसी भी इनपुट पर है $G$.

इसके निम्नलिखित बहुत महत्वपूर्ण परिणाम हैं। मैं फ़िन $V[G]$, $f:\alpha \to \beta$ एक अनंत क्रमवाचक से दूसरे पर एक अनुमान है, तो एक अनुमान है $g:\omega \times \alpha \to \beta$ में $V$, और फलस्वरूप, एक अनुमान $h:\alpha \to \beta$ में $V$. विशेष रूप से, कार्डिनल्स पतन नहीं कर सकते। निष्कर्ष यह है $2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}$ में $V[G]$.

ईस्टन फोर्सिंग

उपरोक्त कोहेन मॉडल में सातत्य का सटीक मूल्य, और जैसे वेरिएंट $\operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)$ कार्डिनल्स के लिए $\kappa$ सामान्य तौर पर, रॉबर्ट एम. सोलोवे द्वारा काम किया गया था, जिन्होंने यह भी पता लगाया था कि उल्लंघन कैसे किया जाए ${\mathsf {GCH}}$ (सातत्य परिकल्पना#सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना), केवल नियमित कार्डिनल्स के लिए, सीमित संख्या में बार। उदाहरण के लिए, उपरोक्त कोहेन मॉडल में, यदि ${\mathsf {CH}}$ में रखता है $V$, तब $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$ में रखता है $V[G]$.

विलियम बिगेलो ईस्टन|विलियम बी. ईस्टन ने उल्लंघन करने के लिए उचित वर्ग संस्करण तैयार किया ${\mathsf {GCH}}$ नियमित कार्डिनल्स के लिए, मूल रूप से दिखा रहा है कि ज्ञात प्रतिबंध, (एकरसता, कैंटर का प्रमेय | कैंटर का प्रमेय | कैंटर का प्रमेय और कोनिग का प्रमेय (सेट सिद्धांत) | कोनिग का प्रमेय), केवल ${\mathsf {ZFC}}$-साध्य प्रतिबंध (देखें ईस्टन का प्रमेय | ईस्टन का प्रमेय)।

ईस्टन का काम इस मायने में उल्लेखनीय था कि इसमें परिस्थितियों के एक उचित वर्ग के साथ जबरदस्ती करना शामिल था। सामान्य तौर पर, परिस्थितियों के एक उचित वर्ग के साथ बल देने की विधि का एक मॉडल देने में विफल रहती है ${\mathsf {ZFC}}$. उदाहरण के लिए, जबरदस्ती करना $\operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)$, कहाँ $\mathbf {On}$ सभी अध्यादेशों का उचित वर्ग है, सातत्य को एक उचित वर्ग बनाता है। दूसरी ओर, साथ जबरदस्ती $\operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )$ अध्यादेशों की एक गणनीय गणना प्रस्तुत करता है। दोनों ही मामलों में, परिणामी $V[G]$ का आदर्श नहीं है ${\mathsf {ZFC}}$.

एक समय में, यह सोचा गया था कि अधिक परिष्कृत बल भी नियमित कार्डिनल्स की शक्तियों में मनमाने ढंग से बदलाव की अनुमति देगा। हालाँकि, यह एक कठिन, सूक्ष्म और यहाँ तक कि आश्चर्यजनक समस्या बन गई है, जिसमें कई और PCF सिद्धांत शामिल हैं ${\mathsf {ZFC}}$ और विभिन्न बड़े कार्डिनल | बड़े-कार्डिनल गुणों की स्थिरता के आधार पर मजबूर मॉडल के साथ। कई खुली समस्याएं बनी हुई हैं।

रैंडम रीलों

Main article: Random algebra

रैंडम फोर्सिंग को सेट पर फोर्सिंग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $P$ के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $[0,1]$ संबंध द्वारा आदेशित सकारात्मक उपाय $\subseteq$ (शामिल करने के संदर्भ में छोटा सेट क्रम में छोटा सेट है और अधिक जानकारी के साथ स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है)। दो प्रकार के महत्वपूर्ण सघन सेट हैं:

1. किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ सेट
   $$D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}$$
   घना है, कहाँ है $\operatorname {diam} (p)$ सेट का व्यास है $p$.
2. किसी भी बोरेल सबसेट के लिए $B\subseteq [0,1]$ माप 1 का, सेट
   $$D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}$$
   घना है।

किसी भी फिल्टर के लिए $G$ और किसी भी निश्चित रूप से कई तत्वों के लिए $p_{1},\ldots ,p_{n}\in G$ वहाँ है $q\in G$ ऐसा जो धारण करता है $q\leq p_{1},\ldots ,p_{n}$. इस आदेश के मामले में, इसका मतलब है कि कोई भी फ़िल्टर परिमित चौराहे की संपत्ति के साथ कॉम्पैक्ट सेट का सेट है। इस कारण से, किसी भी फ़िल्टर के सभी तत्वों का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है। अगर $G$ सघन समुच्चय को प्रतिच्छेद करने वाला एक फिल्टर है $D_{n}$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, फिर फ़िल्टर करें $G$ मनमाने ढंग से छोटे सकारात्मक व्यास की शर्तें शामिल हैं। इसलिए, से सभी स्थितियों का प्रतिच्छेदन $G$ व्यास 0 है। लेकिन व्यास 0 के केवल गैर-रिक्त सेट सिंगलटन हैं। अतः ठीक एक वास्तविक संख्या है $r_{G}$ ऐसा है कि $r_{G}\in \bigcap G$.

होने देना $B\subseteq [0,1]$ माप का कोई भी बोरेल सेट हो 1. यदि $G$ काटती है $D_{B}$, तब $r_{G}\in B$.

हालाँकि, एक गणनीय सकर्मक मॉडल पर एक सामान्य फ़िल्टर $V$ इसमें नहीं है $V$. असली $r_{G}$ द्वारा परिभाषित $G$ का अंग नहीं है $V$. समस्या यह है कि अगर $p\in P$, तब $V\models$ $p$ कॉम्पैक्ट है, लेकिन कुछ बड़े ब्रह्मांड के दृष्टिकोण से $U\supset V$, $p$ गैर-कॉम्पैक्ट हो सकता है और सामान्य फ़िल्टर से सभी स्थितियों का प्रतिच्छेदन हो सकता है $G$ वास्तव में खाली है। इस कारण से, हम सेट पर विचार करते हैं $C=\{{\bar {p}}:p\in G\}$ जी से शर्तों के सांस्थितिक बंद होने की। की वजह से ${\bar {p}}\supseteq p$ और परिमित चौराहे की संपत्ति $G$, सेट $C$ परिमित चौराहा संपत्ति भी है। सेट के तत्व $C$ बाउंडेड क्लोज सेट हैं बाउंडेड सेट का क्लोजर है। इसलिए, $C$ कॉम्पैक्ट सेट का एक सेट है परिमित चौराहे की संपत्ति के साथ और इस प्रकार गैर-खाली चौराहा है। तब से $\operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)$ और ग्राउंड मॉडल $V$ ब्रह्मांड से एक मीट्रिक प्राप्त करता है $U$, सेट $C$ मनमाने ढंग से छोटे व्यास के तत्व हैं। अंत में, वास्तव में एक वास्तविक है जो सेट के सभी सदस्यों से संबंधित है $C$. सामान्य फ़िल्टर $G$ से पुनर्निर्माण किया जा सकता है $r_{G}$ जैसा $G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}$.

अगर $a$ का नाम है $r_{G}$, और के लिए $B\in V$ रखती है $V\models$ $B$ माप 1 का बोरेल सेट है, फिर होल्ड करता है

$V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)$ कुछ के लिए $p\in G$. नाम है $a$ ऐसा कि किसी भी सामान्य फ़िल्टर के लिए $G$ रखती है

$\operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}.$ तब

$V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)$ किसी भी शर्त के लिए रखता है $p$.

हर बोरेल सेट, गैर-विशिष्ट रूप से, बनाया जा सकता है, तर्कसंगत समापन बिंदुओं के साथ अंतराल से शुरू होता है और पूरक और गणनीय यूनियनों के संचालन को लागू करता है, कई बार। ऐसे निर्माण के रिकॉर्ड को बोरेल कोड कहा जाता है। बोरेल सेट दिया $B$ में $V$, एक बोरेल कोड पुनर्प्राप्त करता है, और फिर उसी निर्माण अनुक्रम को लागू करता है $V[G]$, बोरेल सेट प्राप्त करना $B^{*}$. यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक ही सेट के निर्माण से स्वतंत्र हो जाता है $B$, और वह मूल गुण संरक्षित हैं। उदाहरण के लिए, अगर $B\subseteq C$, तब $B^{*}\subseteq C^{*}$. अगर $B$ माप शून्य है, फिर $B^{*}$ माप शून्य है। यह मैपिंग $B\mapsto B^{*}$ इंजेक्शन है।

किसी भी सेट के लिए $B\subseteq [0,1]$ ऐसा है कि $B\in V$ और $V\models$ $B$ माप 1 का बोरेल सेट है $r\in B^{*}$.

इस का मतलब है कि $r$ के दृष्टिकोण से 0s और 1s का अनंत यादृच्छिक क्रम है $V$, जिसका अर्थ है कि यह जमीनी मॉडल से सभी सांख्यिकीय परीक्षणों को पूरा करता है $V$.

तो दिया $r$, एक यादृच्छिक वास्तविक, कोई यह दिखा सकता है

$G=\left\{B~({\text{in }}V)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}V[G])\right\}.$

के बीच पारस्परिक अंतर-निश्चितता के कारण $r$ और $G$, एक आम तौर पर लिखता है $V[r]$ के लिए $V[G]$.

में वास्तविक की एक अलग व्याख्या $V[G]$ दाना स्कॉट द्वारा प्रदान किया गया था। में तर्कसंगत संख्या $V[G]$ ऐसे नाम हैं जो गिनती के अनुरूप हैं - कई अलग-अलग तर्कसंगत मूल्यों को बोरेल सेट के एक अधिकतम एंटीचैन को सौंपा गया है - दूसरे शब्दों में, एक निश्चित तर्कसंगत-मूल्यवान कार्य $I=[0,1]$. में वास्तविक संख्याएँ $V[G]$ फिर ऐसे कार्यों के डेडेकाइंड कट ौती के अनुरूप है, जो औसत दर्जे का कार्य है।

बूलियन-मूल्यवान मॉडल

Main article: Boolean-valued model

शायद अधिक स्पष्ट रूप से, विधि को बूलियन-मूल्यवान मॉडल के संदर्भ में समझाया जा सकता है। इनमें, किसी भी कथन को केवल एक सत्य/असत्य मान के बजाय कुछ पूर्ण परमाणु रहित बूलियन बीजगणित (संरचना) से एक सत्य मान निर्दिष्ट किया जाता है। फिर इस बूलियन बीजगणित में एक ultrafilter चुना जाता है, जो हमारे सिद्धांत के कथनों को सही/गलत मान प्रदान करता है। मुद्दा यह है कि परिणामी सिद्धांत में एक मॉडल होता है जिसमें यह अल्ट्राफिल्टर होता है, जिसे इस अल्ट्राफिल्टर के साथ पुराने को विस्तारित करके प्राप्त एक नए मॉडल के रूप में समझा जा सकता है। बूलियन-मूल्यवान मॉडल को उचित तरीके से चुनकर, हम वांछित संपत्ति वाला मॉडल प्राप्त कर सकते हैं। इसमें, केवल कथन जो सत्य होना चाहिए (सत्य होने के लिए मजबूर किया जाता है) एक अर्थ में सत्य होगा (क्योंकि इसमें यह विस्तार/न्यूनतम संपत्ति है)।

मेटा-गणितीय स्पष्टीकरण

मजबूर करने में, हम आमतौर पर यह दिखाना चाहते हैं कि कुछ वाक्य (गणितीय तर्क) के साथ संगति प्रमाण है ${\mathsf {ZFC}}$ (या वैकल्पिक रूप से कुछ विस्तार ${\mathsf {ZFC}}$). तर्क की व्याख्या करने का एक तरीका यह मान लेना है ${\mathsf {ZFC}}$ सुसंगत है और फिर उसे सिद्ध कीजिए ${\mathsf {ZFC}}$ नए वाक्य के साथ संयुक्त (गणितीय तर्क) भी सुसंगत है।

प्रत्येक स्थिति सूचना का एक परिमित टुकड़ा है - विचार यह है कि केवल परिमित टुकड़े ही संगति के लिए प्रासंगिक हैं, क्योंकि, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय द्वारा, एक सिद्धांत संतोषजनक है अगर और केवल अगर इसके स्वयंसिद्धों का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय संतोषजनक है। तब हम अपने मॉडल का विस्तार करने के लिए निरंतर स्थितियों का एक अनंत सेट चुन सकते हैं। इसलिए, की निरंतरता मानते हुए ${\mathsf {ZFC}}$, हम की निरंतरता साबित करते हैं ${\mathsf {ZFC}}$ इस अनंत सेट द्वारा विस्तारित।

तार्किक व्याख्या

गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय द्वारा, कोई भी पर्याप्त रूप से मजबूत औपचारिक सिद्धांत की निरंतरता को सिद्ध नहीं कर सकता है, जैसे कि ${\mathsf {ZFC}}$, सिद्धांत के केवल स्वयंसिद्धों का उपयोग करते हुए, जब तक कि सिद्धांत असंगत न हो। नतीजतन, गणितज्ञ निरंतरता को साबित करने का प्रयास नहीं करते हैं ${\mathsf {ZFC}}$ के केवल अभिगृहीतों का उपयोग करना ${\mathsf {ZFC}}$, या यह साबित करने के लिए ${\mathsf {ZFC}}+H$ किसी भी परिकल्पना के अनुरूप है $H$ केवल उपयोग करना ${\mathsf {ZFC}}+H$. इस कारण से, एक संगति प्रमाण का उद्देश्य की संगति को सिद्ध करना है ${\mathsf {ZFC}}+H$ की संगति के सापेक्ष ${\mathsf {ZFC}}$. ऐसी समस्याओं को सापेक्ष संगति की समस्याओं के रूप में जाना जाता है, जिनमें से एक सिद्ध होती है

$${\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\rightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H).$$

(⁎)

सापेक्ष संगति प्रमाणों की सामान्य स्कीमा इस प्रकार है। जैसा कि कोई भी प्रमाण परिमित है, यह केवल स्वयंसिद्धों की एक सीमित संख्या का उपयोग करता है:

${\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land (T\vdash \lnot H)).$

किसी दिए गए प्रमाण के लिए, ${\mathsf {ZFC}}$ इस प्रमाण की वैधता को सत्यापित कर सकते हैं। यह प्रमाण की लंबाई पर प्रेरण द्वारा सिद्ध होता है।

${\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)((T\vdash \lnot H)\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).$

फिर संकल्प करें

${\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).$

निम्नलिखित को सिद्ध करके

$${\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),$$

(⁎⁎)

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है

${\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),$

जो बराबर है

${\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash \lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}),$

जो देता है (*)। सापेक्ष संगति प्रमाण का मूल प्रमाण (**) है। ए ${\mathsf {ZFC}}$ का सबूत $\operatorname {Con} (T+H)$ किसी भी परिमित उपसमुच्चय के लिए बनाया जा सकता है $T$ की ${\mathsf {ZFC}}$ सिद्धांत (द्वारा ${\mathsf {ZFC}}$ बेशक उपकरण)। (इसका कोई सार्वभौमिक प्रमाण नहीं है $\operatorname {Con} (T+H)$ बिल्कुल।)

में ${\mathsf {ZFC}}$, यह सिद्ध है कि किसी भी स्थिति के लिए $p$, सूत्रों का सेट (नामों द्वारा मूल्यांकन) द्वारा मजबूर किया गया $p$ कटौती से बंद है। इसके अलावा, किसी के लिए ${\mathsf {ZFC}}$ स्वयंसिद्ध, ${\mathsf {ZFC}}$ साबित करता है कि इस स्वयंसिद्ध द्वारा मजबूर किया गया है $\mathbf {1}$. फिर यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि कम से कम एक शर्त है जो बल देती है $H$.

बूलियन-वैल्यू फोर्सिंग के मामले में, प्रक्रिया समान है: यह साबित करना कि बूलियन मान $H$ क्या नहीं है $\mathbf {0}$.

एक अन्य दृष्टिकोण परावर्तन प्रमेय का उपयोग करता है। के किसी भी परिमित सेट के लिए ${\mathsf {ZFC}}$ स्वयंसिद्ध, एक है ${\mathsf {ZFC}}$ सबूत है कि स्वयंसिद्धों के इस सेट में एक गणनीय सकर्मक मॉडल है। किसी दिए गए परिमित समुच्चय के लिए $T$ का ${\mathsf {ZFC}}$ अभिगृहीत, एक परिमित समुच्चय है $T'$ का ${\mathsf {ZFC}}$ सिद्धांत ऐसे हैं ${\mathsf {ZFC}}$ साबित करता है कि अगर एक गणनीय सकर्मक मॉडल $M$ संतुष्ट $T'$, तब $M[G]$ संतुष्ट $T$. सिद्ध करके कि परिमित समुच्चय है $T''$ का ${\mathsf {ZFC}}$ स्वयंसिद्ध ऐसे हैं कि यदि एक गणनीय सकर्मक मॉडल $M$ संतुष्ट $T''$, तब $M[G]$ परिकल्पना को संतुष्ट करता है $H$. फिर, किसी दिए गए परिमित समुच्चय के लिए $T$ का ${\mathsf {ZFC}}$ स्वयंसिद्ध, ${\mathsf {ZFC}}$ को सिद्ध करता $\operatorname {Con} (T+H)$.

कभी-कभी (**) में, एक मजबूत सिद्धांत $S$ बजाय ${\mathsf {ZFC}}$ सिद्ध करने के लिए प्रयोग किया जाता है $\operatorname {Con} (T+H)$. तब हमारे पास निरंतरता का प्रमाण है ${\mathsf {ZFC}}+H$ की संगति के सापेक्ष $S$. ध्यान दें कि ${\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\leftrightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFL}})$, कहाँ ${\mathsf {ZFL}}$ है ${\mathsf {ZF}}+V=L$ (रचनात्मकता का स्वयंसिद्ध)।

यह भी देखें

• जबरन धारणाओं की सूची
• अच्छा नाम

संदर्भ

• Bell, J. L. (1985). Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory, Oxford. ISBN 0-19-853241-5
• Cohen, P. J. (1966). Set theory and the continuum hypothesis. Addison–Wesley. ISBN 978-0-8053-2327-6.
• Grishin, V. N. (2001) [1994], "Forcing Method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Kunen, K. (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. ISBN 978-0-444-85401-8.
• Jech, Thomas (2002). Set Theory: The Third Millennium Edition. Spring-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
• Shoenfield, J. R. (1971). "Unramified forcing". Axiomatic Set Theory. Proc. Sympos. Pure Math. Vol. XIII, Part I. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc. pp. 357–381. MR 0280359.

बाहरी संबंध

• Gunther, E.; Pagano, M.; Sánchez Terraf, P. Formalization of Forcing in Isabelle/ZF (Formal Proof Development, Archive of Formal Proofs)
• Nik Weaver's book Forcing for Mathematicians was written for mathematicians who want to learn the basic machinery of forcing. No background in logic is assumed, beyond the facility with formal syntax which should be second nature to any well-trained mathematician.
• Timothy Chow's article A Beginner's Guide to Forcing is a good introduction to the concepts of forcing that avoids a lot of technical detail. This paper grew out of Chow's newsgroup article Forcing for dummies Archived 2009-05-06 at archive.today. In addition to improved exposition, the Beginner's Guide includes a section on Boolean-valued models.
• See also Kenny Easwaran's article A Cheerful Introduction to Forcing and the Continuum Hypothesis, which is also aimed at the beginner but includes more technical details than Chow's article.
• Cohen, P. J. The Independence of the Continuum Hypothesis, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, No. 6. (Dec. 15, 1963), pp. 1143–1148.
• Cohen, P. J. The Independence of the Continuum Hypothesis, II, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, No. 1. (Jan. 15, 1964), pp. 105–110.
• Paul Cohen gave a historical lecture The Discovery of Forcing (Rocky Mountain J. Math. Volume 32, Number 4 (2002), 1071–1100) about how he developed his independence proof. The linked page has a download link for an open access PDF but your browser must send a referer header from the linked page to retrieve it.
• Akihiro Kanamori: Set theory from Cantor to Cohen
• Weisstein, Eric W. "Forcing". MathWorld.