लीबनिज अभिन्न नियम

यह लेख समाकलन नियम के बारे में है। वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण परीक्षण के लिए, वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण देखें।

गणना में, समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लाइबनिज समाकल नियम कहता है कि समघात के समाकलन के लिए

$$\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$$

जहाँ $-\infty <a(x),b(x)<\infty$ और समाकल्य फलन $x$ (गणित) पर निर्भर हैं, इस समाकलन को अवकलज रूप में व्यक्त किया गया है

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)$$

=$f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt$
जहां आंशिक अवकलज ${\tfrac {\partial }{\partial x}}$ इंगित करता है कि समाकल के अंदर, x के साथ केवल $f(x,t)$ के परिवर्तन को अवकलज लेने में माना जाता है। इसका नाम गॉटफ्रीड लीबनिज के नाम पर रखा गया है।

विशेष स्थिति में जहां $a(x)$ और $b(x)$ फलन $a(x)=a$ और $b(x)=b$ स्थिरांक हैं, उन मानो के साथ जो $x$ पर निर्भर नहीं करते हैं, यह सरल करता है:

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$$

यदि $a(x)=a$ और $b(x)=x$ स्थिर है, जो एक अन्य सामान्य स्थिति है (उदाहरण के लिए, कॉची के बार-बार समाकलन सूत्र के प्रमाण में), लीबनिज समाकलन नियम बन जाता है:

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,$$

यह महत्वपूर्ण परिणाम, कुछ शर्तों के अंतर्गत, समाकलन और आंशिक अवकलन संक्रियक (गणित) को अन्तर्विनिमय करने के लिए उपयोग किया जा सकता है, और समाकलन परिवर्तन के अवकलन में विशेष रूप से उपयोगी है। इसका एक उदाहरण संभाव्यता सिद्धांत में आघूर्णजनक फलन है, लाप्लास रूपांतरण का एक रूपांतर, जिसे एक यादृच्छिक चर के आघूर्ण (गणित) उत्पन्न करने के लिए अवकल किया जा सकता है। लीबनिज का समाकलन नियम प्रयुक्त होता है या नहीं यह अनिवार्य रूप से लिमिट (गणित) के विनिमय के बारे में एक प्रश्न है।

सामान्य रूप: समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन

Theorem — Let $f(x,t)$ be a function such that both $f(x,t)$ and its partial derivative $f_{x}(x,t)$ are continuous in $t$ and $x$ in some region of the $xt$-plane, including $a(x)\leq t\leq b(x),$ $x_{0}\leq x\leq x_{1}.$ Also suppose that the functions $a(x)$ and $b(x)$ are both continuous and both have continuous derivatives for $x_{0}\leq x\leq x_{1}.$ Then, for $x_{0}\leq x\leq x_{1},$

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$$

लैग्रेंज के अंकन का उपयोग करके दाहिने ओर भी लिखा जा सकता है:${\textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}$

प्रमेय के प्रबल संस्करणों के लिए केवल यह आवश्यक है कि आंशिक अवकलज लगभग प्रत्येक समष्टि मे सम्मिलित हो, न कि यह निरंतर हो। यह सूत्र लीबनिज समाकलन नियम का सामान्य रूप है और गणना के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। गणना का (पहला) मौलिक प्रमेय केवल उपरोक्त सूत्र की विशेष स्थिति है जहाँ $a(x)=a\in \mathbb {R}$ और, $b(x)=x,$ स्थिर है, और $f(x,t)=f(t)$ पर $x$ निर्भर नहीं है। यदि ऊपरी और निचली दोनों सीमाओं को स्थिरांक के रूप में लिया जाता है, तो सूत्र एक संक्रियक (गणित) समीकरण का आकार ले लेता है:

$${\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}$$

जहाँ $\partial _{x}$ और $x$ के संबंध में आंशिक अवकलज है और ${\mathcal {I}}_{t}$ एक निश्चित अंतराल (गणित) पर $t$ के संबंध में समाकलन संक्रियक है। यही है कि यह दूसरे अवकलन की समरूपता से संबंधित है, लेकिन समाकलन के साथ-साथ अवकलन भी सम्मिलित है। इस स्थिति को लीबनिज समाकलन नियम के रूप में भी जाना जाता है।

सीमाओ के विनिमय पर निम्नलिखित तीन मौलिक प्रमेय अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं:

• अवकलज और एक समाकलन का विनिमय (समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन; अर्थात, लीबनिज समाकलन नियम);
• आंशिक अवकलन के क्रम में परिवर्तन;
• समाकलन के क्रम में परिवर्तन (समाकलन चिह्न के अंतर्गत समाकलन; अर्थात, फ़ुबिनी की प्रमेय)।

त्रि-आयामी, कालाश्रित स्थिति

See also: § उच्चतर आयाम

चित्र 1: एक सदिश क्षेत्र F(r, t) पूरे समष्टि में परिभाषित है, और एक सतह Σ वक्र ∂Σ से परिबद्ध है जो वेग v के साथ चल रहा है जिस पर क्षेत्र समाकल है।

तीन आयामी अंतरिक्ष में गतिमान उच्च आयामों के लिए लीबनिज समाकलन नियम है।

$${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,$$

जहाँ:

• F(r, t) स्थानिक स्थिति में एक सदिश क्षेत्र r समय पर t है,
• Σ एक संवृत वक्र से परिबद्ध सतह ∂Σ है,
• dA सतह का एक वेक्टर तत्व Σ है,
• ds वक्र का सदिश तत्व ∂Σ है,
• v क्षेत्र की गति का वेग Σ है,
• ∇⋅ सदिश विचलन है,
• × वेक्टर अन्योन्य गुणन है,
• डबल समाकलन सतह Σ पर सतह समाकलन हैं, और रैखिक समाकलन परिसीमन वक्र ∂Σ के ऊपर है।

उच्च आयाम

लीबनिज समाकलन नियम को बहुआयामी समाकलन तक बढ़ाया जा सकता है। दो और तीन आयामों में, यह नियम रेनॉल्ड्स अभिगमन प्रमेय के रूप में द्रव गतिकी के क्षेत्र से अधिकतम जाना जाता है:

$${\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,$$

जहाँ $F(\mathbf {x} ,t)$ अदिश फलन है, अतः D(t) और ∂D(t) क्रमशः R³ और इसकी लिमिट के समय-भिन्न जुड़े क्षेत्र को दर्शाते हैं, लिमिट का यूलेरियन वेग$\mathbf {v} _{b}$ है (लैग्रेंजियन और यूलेरियन निर्देशांक देखें) और dΣ = n dS सतह समाकलन आयतन अल्पांश की इकाई सामान्य घटक है।

लीबनिज समाकलन नियम के सामान्य कथन में अवकल ज्यामिति, विशेष रूप से अवकलज समघातों को, बाहरी अवकलज, वेज गुणन और आंतरिक गुणन से अवधारणाओं की आवश्यकता होती है। उन उपकरणों के साथ, n आयामों में लीबनिज समाकलन नियम है

$${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},$$

जहाँ Ω(t) समाकलन का एक समय-भिन्न प्रक्षेत्र ω है और p-समघात है, $\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}$ वेग का सदिश क्षेत्र है, $i_{\mathbf {v} }$ के साथ आंतरिक गुणन $\mathbf {v}$, d_xω केवल समष्टि चर के संबंध में ω का बाहरी अवकलज ${\dot {\omega }}$ है और ω का समय अवकलज है।

हालाँकि, इन सभी सर्वसमिकाएँ को लाई अवकलन के बारे में सबसे सामान्य कथन से प्राप्त किया जा सकता है:

$$\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\operatorname {im} _{\psi _{t}}(\Omega )}\omega =\int _{\Omega }{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,$$

यहाँ परिवेश बहुविध है जिस पर अवकलन समघात $\omega$ रहता है, जिसमे स्थान और समय दोनों सम्मिलित हैं।

• $\Omega$ किसी दिए गए आघूर्ण में समाकलन का क्षेत्र (यह $t$ पर निर्भर नहीं करता है चूंकि उप प्रसमष्‍टि के रूप में इसका प्राचलीकरण समय में अपनी स्थिति को परिभाषित करता है) उप प्रसमष्‍टि है,
• ${\mathcal {L}}$ लाइ अवकलज है,
• $\Psi$ समय की दिशा में विशुद्ध रूप से स्थानिक सदिश क्षेत्र में एकात्मक वेक्टर क्षेत्र $\mathbf {v}$ को जोड़ने से प्राप्त दिक्काल वेक्टर क्षेत्र है और पूर्व सूत्रों से (अर्थात, $\Psi$ का दिक्-काल $\Omega$ वेग है) प्राप्त होता है,
• $\psi _{t}$ के प्रवाह (गणित) द्वारा $\Psi$ उत्पन्न एक-पैरामीटर समूह से एक अवकलनीय तद्वता है, और
• ${\text{im}}_{\psi _{t}}(\Omega )$ की छवि (गणित) है, और $\Omega$ इस तरह के अवकलनीय तद्वता के अंतर्गत है।

इस प्ररूप के बारे में कुछ उल्लेखनीय बात यह है कि यह उस स्थिति की गणना कर सकता है जब $\Omega$ समय के साथ इसके आकार और आकृति में परिवर्तन होता है, क्योंकि इस तरह की विकृतियाँ $\Psi$ पूरी तरह से निर्धारित होती हैं।

आकलन सिद्धांत कथन

मान लीजिए $X$ का एक विवृत उपसमुच्चय $\mathbf {R}$ हो, और $\Omega$ माप समष्टि बनें। मान लीजिए कि $f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R}$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1. प्रत्येक $f(x,\omega )$ के लिए $\omega$ का $x\in X$ लेबेस्ग समाकलनीय फलन है।
2. लगभग सभी $\omega \in \Omega$ के लिए, आंशिक अवकलज $f_{x}$ सभी $x\in X$ के लिए सम्मिलित है।
3. समाकलन फलन $\theta \colon \Omega \to \mathbf {R}$ है जैसे कि $|f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )$ सभी $x\in X$ और लगभग सभी $\omega \in \Omega$ के लिए

फिर, सभी $x\in X$ के लिए,

$${\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .$$

प्रमाण प्रबल अभिसरण प्रमेय और औसत मान प्रमेय (विवरण नीचे) पर निर्भर करता है।

प्रमाण

मूल रूप का प्रमाण

हम पहले समाकलन a और b की नियतांक लिमिट के स्थिति को सिद्ध करते हैं।

समाकलन के क्रम को बदलने के लिए हम फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करते हैं। प्रत्येक x और h के लिए, जैसे कि h > 0 और x और x +h दोनों [x₀,x₁] के अंदर है, हमारे पास:

$$\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$$

ध्यान दें कि पक्ष में समाकलन अच्छी तरह से परिभाषित हैं क्योंकि $f_{x}(x,t)$ संवृत आयत पर $[x_{0},x_{1}]\times [a,b]$ निरंतर है और इस प्रकार वहाँ भी समान रूप से निरंतर; इस प्रकार dt या dx द्वारा इसके समाकलन अन्य चर में सतत होते हैं और इसके द्वारा समाकलित भी होते हैं (मूल रूप से ऐसा इसलिए है क्योंकि समान रूप से सतत फलनों के लिए, एक समाकलन चिह्न के माध्यम से लिमिट स्वीकृत कर सकता है, जैसा कि नीचे विस्तृत किया गया है)।

इसलिए:

$${\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}$$

जहां हमने परिभाषित किया है:

$$F(u)\equiv \int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx$$

(हम x₀ को x₀ और x के बीच किसी अन्य बिंदु से बदल सकते हैं))

F अवकलज के ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$ साथ अवकलनीय है, तो हम जहाँ लिमिट ले सकते हैं जहां h शून्य तक पहुंचता है। बाईं ओर के लिए यह लिमिट है:

$${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$$

दाहिने ओर के लिए, हमें मिलता है:

$$F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$$

और हम इस प्रकार वांछित परिणाम सिद्ध करते हैं:

$${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$$

परिबद्ध अभिसरण प्रमेय का प्रयोग करते हुए एक अन्य प्रमाण

यदि पक्ष में समाकलन लेबेस्ग समाकलन हैं, तो हम परिबद्ध अभिसरण प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं (इन समाकलन के लिए मान्य है, लेकिन रीमैन समाकलन के लिए नहीं) यह दिखाने के लिए कि लिमिट को समाकलन चिन्ह के माध्यम से पारित किया जा सकता है।

ध्यान दें कि यह प्रमाण इस अर्थ में दुर्बल है कि यह केवल यह दर्शाता है कि f_x(x,t) लेबेस्ग समाकलन है, लेकिन ऐसा नहीं है कि यह रीमैन समाकलन है। पूर्व (प्रबल) प्रमाण में, यदि f(x,t) रीमैन समाकलन है, तो f_x(x,t) (और इस प्रकार स्पष्ट रूप से लेबेस्ग समाकलन भी है) भी है।

मान लीजिए

$$u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.$$

(1)

अवकलज की परिभाषा के अनुसार,

$$u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.$$

(2)

समीकरण (1) समीकरण (2) से प्रतिस्थापित करें। दो समाकलों का अवकल, अवकलन के समाकलन के बराबर है, और 1/h एक स्थिरांक है, इसलिए

$${\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}$$

अब हम दिखाते हैं कि लिमिट को समाकल चिन्ह से प्रस्तुत किया जा सकता है।

हम दावा करते हैं कि समाकलन चिह्न के अंतर्गत लिमिट का प्रस्तावित करना परिबद्ध अभिसरण प्रमेय (प्रबल अभिसरण प्रमेय का एक परिणाम) द्वारा मान्य है। प्रत्येक δ > 0 के लिए, अवकल भागफल पर विचार करें

$$f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.$$

नियतांक t के लिए, माध्य मान प्रमेय का अर्थ है कि अंतराल [x, x + δ] में z की स्थिति इस प्रकार है कि

$$f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).$$

f_x(x, t) की निरंतरता और प्रक्षेत्र की सुसंहतिएक साथ यह दर्शाती है कि f_x(x, t) परिबद्ध है। औसत मान प्रमेय का उपरोक्त अनुप्रयोग इसलिए $f_{\delta }(x,t)$ पर बाध्य एक समान (स्वतंत्र $t$) देता है। आंशिक अवकलज सम्मिलित होने की धारणा से अवकलन भागफल आंशिक अवकलज f_x के लिए बिंदुवार अभिसरण करता है।

उपरोक्त तर्क से पता चलता है कि प्रत्येक अनुक्रम {δ_n} → 0 के लिए, अनुक्रम $\{f_{\delta _{n}}(x,t)\}$ समान रूप से परिबद्ध है और बिंदुवार f_x में परिवर्तित होता है। परिबद्ध अभिसरण प्रमेय में कहा गया है कि यदि परिमित माप के एक समुच्चय पर फलनों का एक क्रम समान रूप से परिबद्ध है और बिंदुवार अभिसरण करता है, तो समाकलन अंग के अंतर्गत लिमिट का पारित होना मान्य है। विशेष रूप से, प्रत्येक अनुक्रम {δ _n} → 0 के लिए लिमिट और समाकलन का विनिमय किया जा सकता है। इसलिए, δ → 0 के रूप में लिमिट को समाकलन चिह्न के माध्यम से पारित किया जा सकता है।

परिवर्ती लिमिट समघात

सतत फलन के लिए एक वास्तविक चर के एक फलन का वास्तविक मान फलन g, और वास्तविक मान अवकल फलन $f_{1}$ और $f_{2}$ के लिए,

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.$$

यह श्रृंखला नियम और कलन पहली मौलिक प्रमेय से आता है। और परिभाषित करता है

$$G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,$$

और

$$\Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.$$

(निम्न लिमिट $g$ के प्रक्षेत्र में कुछ संख्या होनी चाहिए)

तब, $G(x)$ एक फलन रचना $G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है। श्रृंखला नियम का तात्पर्य है

$$G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).$$

कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा $\Gamma '(x)=g(x)$ है, इसलिए ऊपर इस परिणाम को प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित समीकरण प्राप्त करते हैं:

$$G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.$$

नोट: यह समघात विशेष रूप से उपयोगी हो सकती है यदि पद को अवकलित किया जाना है:

$$\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt$$

क्योंकि $h(x)$ समाकलन की लिमिट पर निर्भर नहीं करता है, इसे समाकलन चिह्न के अंतर्गत से बाहर ले जाया जा सकता है, और उपरोक्त समघात का उपयोग गुणन नियम के साथ किया जा सकता है, अर्थात,

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)$$

परिवर्ती लिमिट के साथ सामान्य रूप

निर्धारित करना

$$\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$$

जहां a और b, α के फलन हैं जो क्रमशः Δa और Δb में वृद्धि प्रदर्शित करते हैं, जब α को Δα से बढ़ाया जाता है। तब,

$${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}$$

औसत मान प्रमेय का एक समघात, ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$, जहां a < ξ < b, उपरोक्त Δφ के सूत्र के पहले और अंतिम समाकलन पर प्रयुक्त किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप

$$\Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$$

Δa से विभाजित करें और Δa → 0 दें। मूल्यांकन ξ₁ → a और ξ₂ → b है। हम समाकलन चिह्न के माध्यम से लिमिट प्रस्तुत कर सकते हैं:

$$\lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,$$

पुनः परिबद्ध अभिसरण प्रमेय द्वारा यह लीबनिज समाकलन नियम के सामान्य रूप को प्राप्त करता है,

$${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए चर सीमाओं के साथ सामान्य रूप का वैकल्पिक प्रमाण

परिवर्ती सीमाओं के साथ लीबनिज के समाकलन नियम का सामान्य रूप लाइबनिज के समाकलन नियम के मूल रूप के प्रमाण, श्रृंखला नियम उच्च आयाम, और कलन के मौलिक प्रमेय प्रथम भाग के परिणाम के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि $f$ में $x-t$ तल, एक आयत में $x\in [x_{1},x_{2}]$ और $t\in [t_{1},t_{2}]$ परिभाषित किया गया है। साथ ही, मान लीजिए $f$ और आंशिक अवकलज ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ इस आयत पर दोनों सतत फलन हैं। मान लीजिए कि $a,b$ अलग-अलग फलन हैं, एक परिवर्ती वास्तविक मान फलनों के वास्तविक फलनों $[x_{1},x_{2}]$, $[t_{1},t_{2}]$ मानो के साथ (अर्थात प्रत्येक के लिए $x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]$) के अवकलन पर परिभाषित किया गया है अब, स्थिति

$$F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]$$

और

$$G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]$$

फिर, निश्‍चित समाकल के गुणों के द्वारा, हम लिख सकते हैं

$${\begin{aligned}G(x)&=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt\\[4pt]&=F(x,b(x))-F(x,a(x))\end{aligned}}$$

चूंकि फलन $F,a,b$ सभी अवकलनीय हैं (प्रमाण के अंत में टिप्पणी देखें), बहुभिन्नरूपी श्रृंखला नियम यह अनुसरण करता है कि $G$ अवकलनीय है, और इसका अवकलज सूत्र द्वारा दिया गया है:

$$G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)$$

 

अब, ध्यान दें कि प्रत्येक $x\in [x_{1},x_{2}]$ के लिए, और प्रत्येक $y\in [t_{1},t_{2}]$ के लिए, हमारे पास ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ तब है, क्योंकि $x$ का $F$ के संबंध में आंशिक अवकलज लेते समय, हम $y$ को स्थिर रख रहे हैं पद मे ${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$ इस प्रकार समाकलन की सतत लिमिट के साथ लीबनिज के समाकलन नियम के मूल रूप का प्रमाण प्रयुक्त होता है। फिर, कैलकुलस के पहले मौलिक प्रमेय द्वारा ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ हमारे पास वह है, क्योंकि $y$ का $F$ के संबंध में आंशिक अवकलज लेते समय, पहला चर $x$ निश्चित है, इसलिए मौलिक प्रमेय वास्तव में प्रयुक्त किया जा सकता है।

उपरोक्त $G'(x)$ के समीकरण में इन परिणामों को प्रतिस्थापित करने पर:

$${\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}$$

के रूप में वांछित है।

उपरोक्त प्रमाण में एक तकनीकी बिंदु है जो ध्यान देने योग्य है: श्रृंखला नियम को $G$ पर प्रयुक्त करने के लिए आवश्यक है कि $F$ पहले से ही अवकलन हो यही पर हम $f$ के बारे मे अपनी धारणाओ का उपयोग करते है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, $F$ का आंशिक अवकलन ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ और ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ सूत्र द्वारा दिए गए हैं। चूंकि ${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$ सतत है, इसका समाकलन भी एक सतत फलन है, और तबसे $f$ भी सतत है, इन दो परिणामों से पता चलता है कि $F$ के दोनों आंशिक अवकलन सतत हैं। चूँकि आंशिक अवकलजों के सतत फलन की अवकलनीयता को दर्शाता है, और $F$ वास्तव में अवकलनीय है।

त्रि-आयामी, कालाश्रित रूप

See also: § उच्च आयाम

समय t पर सतह Σ त्रि-आयामी, कालाश्रित स्थिति में एक केन्द्रक के बारे में व्यवस्थित बिंदुओं $\mathbf {C} (t)$ का एक समुच्चय होता है। जिसे फलन $\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)$ रूप में लिखा जा सकता है

$$\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$$

$\mathbf {I}$ समय से स्वतंत्र चर को प्रगामी सतह से जुड़े संदर्भ के एक नई संरचना में स्थानांतरित कर दिया गया है, जिसमें मूल रूप $\mathbf {C} (t)$ है। कठोर रूप से रूपातंरण सतह के लिए, समाकलन की सीमाएं तब समय से स्वतंत्र होती हैं, इसलिए:

$${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$$

जहां समाकलन की सीमाएं क्षेत्र Σ के समाकलन अंग को सीमित करती हैं लेकिन समय पर निर्भर नहीं हैं, इसलिए अवकलन केवल समाकलन पर फलन करने के लिए समाकलन से आता है:

$${\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),$$

द्वारा परिभाषित सतह की गति के वेग के साथ

$$\mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).$$

यह समीकरण क्षेत्र के भौतिक अवकलज को व्यक्त करता है, अर्थात, गतिमान सतह से जुड़ी एक समन्वय प्रणाली के संबंध में अवकलज है। अवकलज पाए जाने के बाद, चर को संदर्भ के मूल संरचना में वापस स्विच किया जा सकता है। हम (देखें कर्ल (गणित) पर लेख देखें) देखते हैं कि

$$\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,$$

और वह स्टोक्स प्रमेय Σ पर कर्ल की सतह के समाकलन को ∂Σ से अधिक एक रेखा समाकल के साथ समतुल्य करता है:

$${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .$$

रेखा समाकल का चिन्ह रेखा तत्व d's' की दिशा के चयन के लिए दक्षिणावर्ती नियम पर आधारित है। उदाहरण के लिए, इस चिन्ह को स्थापित करने के लिए मान लीजिए कि क्षेत्र 'F' धनात्मक z-दिशा में इंगित करता है, और सतह Σ परिधि ∂Σ के साथ xy-समतल का एक भाग है। हम धनात्मक z-दिशा में होने के लिए Σ के सामान्य को स्वीकृत करते हैं। और ∂Σ का धनात्मक पथक्रमण तब वामावर्त (z-अक्ष के साथ व्यवहार के साथ दक्षिणावर्ती नियम) है। तब बाईं ओर का समाकल Σ के माध्यम से 'F' का धनात्मक प्रवाह निर्धारित करता है। मान लीजिए Σ धनात्मक x-दिशा में 'v' वेग से परिवर्तित होता है। Σ की लिमिट का एक अवयव, y-अक्ष के समानांतर, मान लीजिए d's', समय t में 'v't × d's' क्षेत्र को हटा देता है। यदि हम लिमिट ∂Σ के चारों ओर एक वामावर्त अर्थ में समाकलन करते हैं, तो 'v't × d's' ∂Σ के बाईं ओर ऋणात्मक z-दिशा में इंगित करता है (जहाँ d's' नीचे की ओर इंगित करता है), और धनात्मक z-दिशा में ∂Σ का दाहिना भाग (जहाँ d's' ऊपर की ओर इंगित करता है), जो समझ में आता है क्योंकि Σ दाईं ओर बढ़ रहा है, दाईं ओर क्षेत्र जोड़ रहा है और इसे बाईं ओर हटा रहा है। उस आधार पर 'F' का प्रवाह ∂Σ के दायीं ओर बढ़ रहा है और बायीं ओर घट रहा है। हालाँकि, बिंदु-गुणनफल v × F ⋅ ds = −F × v ⋅ ds = −F ⋅ v × ds होता है। परिणामस्वरूप, रेखा समाकलन का संकेत ऋणात्मक के रूप में लिया जाता है।

यदि v स्थिर है,

$${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,$$

जो उद्धृत परिणाम है। यह प्रमाण सतह के स्थान परिवर्तन पर विकृत होने की संभावना पर विचार नहीं करता है।

वैकल्पिक व्युत्पत्ति

लेम्मा- किसी के पास:

$${\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).$$

प्रमाण- गणना के मौलिक प्रमेय के प्रमाण से,

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[6pt]&=f(b),\end{aligned}}$$

और

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}$$

मान लीजिए कि a और b स्थिर हैं, और f (x) में एक पैरामीटर α सम्मिलित है जो समाकलन में स्थिर है लेकिन अलग-अलग समाकलन बनाने के लिए भिन्न हो सकता है। मान लें कि सुसंहत समुच्चय {(x, α) : α₀ ≤ α ≤ α₁ और a ≤ x ≤ b} का सतत फलन है, और वह आंशिक अवकलज f_α(x, α) सम्मिलित है और सतत है। यदि कोई परिभाषित करता है:

$$\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$$

तब $\varphi$ समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन करके α के संबंध में अवकलन किया जा सकता है, अर्थात,

$${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.$$

हेन-कैंटोर प्रमेय द्वारा यह उस समुच्चय में समान रूप से सतत है। दूसरे शब्दों में, किसी भी ε > 0 के लिए Δα की स्थिति है जैसे कि [a, b] में x के सभी मानों के लिए,

$$|f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .$$

वहीं दूसरी ओर,

$${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}$$

अतः φ(α) एक सतत फलन है।

इसी प्रकार यदि ${\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )$ सम्मिलित है और सतत है, तो सभी ε > 0 के लिए Δα सम्मिलित है जैसे कि:

$$\forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .$$

इसलिए,

$${\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,$$

जहाँ

$$|R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).$$

अब, ε → 0 के रूप में Δa → 0, इसलिए

$$\lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.$$

यह वह सूत्र है जिसे हमने सिद्ध करने के लिए निर्धारित किया है।

अब, मान लीजिए

$$\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),$$

जहां a और b, α के फलन हैं जो क्रमशः Δa और Δb में वृद्धि करते हैं, जब α को Δα से बढ़ाया जाता है। तब,

$${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}$$

औसत मान प्रमेय, ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$ का एक रूप जहाँ a < ξ < b, उपरोक्त Δφ के लिए सूत्र के पहले और अंतिम समाकलों पर प्रयुक्त किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप

$$\Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$$

Δα द्वारा विभाजित करना, और Δα → 0 देना, ξ1 → a और ξ2 → b को मूल्यांकन करना और इसके लिए उपरोक्त अवकलन का उपयोग करना

$${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx$$

मान लेना

$${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.$$

यह लीबनिज समाकलन नियम का सामान्य रूप है।

उदाहरण

उदाहरण 1: निश्चित लिमिट

फलन पर विचार करें

$$\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.$$

समाकलन चिह्न के अंतर्गत फलन बिंदु (x, α) = (0, 0) पर सतत नहीं है, और फलन φ(α) में α = 0 पर एक असांतत्य है क्योंकि φ(α) α → 0^{± के रूप में ± π/2 तक पहुंचता है।}

यदि हम φ(α) को समाकलन चिह्न के अंतर्गत α के संबंध में अवकलन करते हैं, तो हमें मिलता है

$${\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},$$

जो निश्चित रूप से α = 0 को छोड़कर α के सभी मानों के लिए सत्य है। इसे खोजने के लिए इसे समाकलित (α के संबंध में) किया जा सकता है

$$\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}$$

उदाहरण 2: परिवर्ती लिमिट

परिवर्ती लिमिट के साथ एक उदाहरण:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}$$

अनुप्रयोग

निश्चित समाकलन का मूल्यांकन

सूत्र

$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt$$

कुछ निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते समय उपयोग किया जा सकता है। जब इस संदर्भ में प्रयोग किया जाता है, समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकल करने के लिए लीबनिज समाकलन नियम को समाकलन के लिए फेनमैन की योजना के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण 3

विचार करे कि

$$\varphi (\alpha )=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\,dx,\qquad |\alpha |\neq 1.$$

अब,

$${\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}$$

जैसा $x$, $0$ से $\pi$ तक भिन्न समघात होती है, हमारे पास है

$${\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 0,&|\alpha |<1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

इस तरह,

$$\left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right|_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

इसलिए,

$${\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\{\frac {2\pi }{\alpha }},&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

के संबंध में दोनों पक्षों $\alpha$ से को समाकलन करने पर, हम पाते हैं:

$$\varphi (\alpha )={\begin{cases}C_{1},&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |+C_{2},&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

$C_{1}=0$ मूल्यांकन $\varphi (0)$ से अनुसरण करता है:

$$\varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln(1)\,dx=\int _{0}^{\pi }0\,dx=0.$$

इसी तरह से $C_{2}$ को उसी तरीके से निर्धारित करने के लिए हमे $\varphi (\alpha )$ में 1 से अधिक $\alpha$ के मान को प्रतिस्थापित करना होगा। यह कुछ असुविधाजनक है। इसके अतिरिक्त, हम ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{\beta }}}$, जहाँ $|\beta |<1$ को प्रतिस्थापित करते हैं। तब,

$${\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}$$

इसलिए, $C_{2}=0$

की परिभाषा $\varphi (\alpha )$ अब पूर्ण है:

$$\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |,&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

पूर्वगामी चर्चा, निश्चित रूप से, तब प्रयुक्त नहीं होती है जब $\alpha =\pm 1$ हो, क्योंकि अवकलनीयता की शर्तें पूरी नहीं होती हैं।

उदाहरण 4

$$\mathbf {I} =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.$$

पहले हम गणना करते हैं:

$${\begin{aligned}\mathbf {J} &=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right|_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}$$

समाकलन की लिमिट $a$ से स्वतंत्र होने के कारण, हमारे पास:

$${\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial a}}=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx$$

वहीं दूसरी ओर:

$${\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$$

इन दोनों संबंधों की तुलना करने पर प्राप्त होता है

$$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$$

इसी तरह ${\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial b}}$ का अनुसरण करने से परिणाम प्राप्त होते है

$$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.$$

दो परिणाम जोड़ने के बाद गुणन होता है

$$\mathbf {I} =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),$$

जो $\mathbf {I}$ अभीष्ट गणना करता है।

इस अवकलज को सामान्यीकृत किया जा सकता है। ध्यान दें कि यदि हम परिभाषित करते हैं

$$\mathbf {I} _{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,$$

यह आसानी से दिखाया जा सकता है

$$(1-n)\mathbf {I} _{n}={\frac {\partial \mathbf {I} _{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial \mathbf {I} _{n-1}}{\partial b}}$$

दिए गए $\mathbf {I} _{1}$,इस समाकलन अवनति सूत्र का उपयोग $n>1$ के लिए $\mathbf {I} _{n}$ के सभी मानों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। अतः $\mathbf {I}$ और $\mathbf {J}$ जैसे समाकलन को वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का उपयोग करके भी नियंत्रित किया जा सकता है।

उदाहरण 5

यहाँ हम समाकलन पर विचार करते हैं

$$\mathbf {I} (\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .$$

के संबंध में समाकलन $\alpha$ के अंतर्गत अवकल करना, हमारे पास

$${\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\mathbf {I} (\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}$$

इसलिए:

$$\mathbf {I} (\alpha )=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$$

लेकिन ${\textstyle \mathbf {I} \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}$ परिभाषा के अनुसार ${\textstyle C={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$ और

$$\mathbf {I} (\alpha )={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$$

उदाहरण 6

यहाँ हम समाकलन पर विचार करते हैं

$$\int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .$$

हम एक नया चर φ प्रस्तुत करते हैं और समाकलन को पुनः लिखते हैं

$$f(\varphi )=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\,d\theta .$$

जब φ = 1 यह मूल समाकल के बराबर होता है। हालाँकि, यह अधिक सामान्य समाकलन $\varphi$ के संबंध में अवकलित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\frac {df}{d\varphi }}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta .\end{aligned}}$$

अब, φ को सही करें, और $\mathbf {R} ^{2}$ पर $\mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{\varphi x}\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))$ द्वारा परिभाषित वेक्टर क्षेत्र पर विचार करे। इसके अतिरिक्त, इकाई वृत्त $S^{1}$ द्वारा दिए गए $\mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbf {R} ^{2}$, $\mathbf {r} (\theta ):=(\cos \theta ,\sin \theta )$, ताकि $\mathbf {r} '(t)=(-\sin \theta ,\cos \theta )$ धनात्मक अभिविन्यस्त प्राचलीकरण को चयन करे फिर ऊपर अंतिम समाकलन परिशुद्ध है

$${\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }(e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta ),e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta ))\cdot (-\sin \theta ,\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}$$

$S^{1}$पर $\mathbf {F}$ का रेखा समाकल ग्रीन की प्रमेय के अनुसार, यह दोहरा समाकलन के बराबर है

$$\iint _{D}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,dA,$$

जहाँ $D$ संवृत इकाई चक्र है। इसका समाकलन समान रूप से 0 है, इसलिए $df/d\varphi$ समान रूप से शून्य है। इसका तात्पर्य है कि f(φ) स्थिर है। मूल्यांकन द्वारा स्थिरांक $f$ पर $\varphi =0$ का निर्धारण किया जा सकता है:

$$f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .$$

इसलिए, मूल समाकल $2\pi$ भी बराबर होता है

हल करने के लिए अन्य समस्याएं

ऐसे असंख्य अन्य समाकल हैं जिन्हें समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन की तकनीक का उपयोग करके हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में, मूल समाकलन को नए पैरामीटर वाले समान समाकलन $\alpha$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}$$

पहला समाकलन, डिरिचलेट समाकलन धनात्मक α के लिए पूर्ण अभिसरण है, लेकिन केवल सशर्त रूप से अभिसरण जब $\alpha =0$ होता है। इसलिए, समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन उपयुक्त सिद्ध करना आसान है जब $\alpha >0$ है, लेकिन यह प्रमाणित करना कि परिणामी सूत्र वैध रहता है जब $\alpha =0$ कुछ सावधानीपूर्वक काम करने की आवश्यकता है।

अनंत श्रृंखला

समाकल चिह्न के अंतर्गत विभेदीकरण का माप-सैद्धांतिक संस्करण भी गणना माप के रूप में योग की व्याख्या करके योग (परिमित या अनंत) पर प्रयुक्त होता है। एक अनुप्रयोग का एक उदाहरण यह तथ्य है कि अभिसरण की त्रिज्या में घात श्रृंखला अलग-अलग होती है।

लोकप्रिय संस्कृति में

समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन का उल्लेख दिवंगत भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन के सबसे अधिक लोकप्रिय संस्मरण निश्चित रूप से आप मजाक कर रहे हैं, मिस्टर फेनमैन! अध्याय में ''उपकरणों का एक अलग बॉक्स'' में किया गया है। जबकि उच्च विद्यालय में, फ्रेडरिक एस वुड्स (जो मैसाचुसेट्स की तकनीकी संस्था में गणित के प्रोफेसर थे) द्वारा एक पुराने लेख, ''उन्नत गणना (1926)'' से सीखने का वर्णन करता है। इस तकनीक को प्रायः नहीं पढ़ाया जाता था जब फेनमैन ने बाद में कलन में अपनी औपचारिक शिक्षा प्राप्त की, लेकिन इस तकनीक का उपयोग करके, फेनमैन प्रिंसटन विश्वविद्यालय में स्नातक विद्यालय में आने पर अन्यथा कठिन समाकलन समस्याओं को हल करने में सक्षम थे:

एक फलन जो मैंने कभी नहीं सीखा वह समोच्च समाकलन के तरीके थे। मेरे उच्च विद्यालय के भौतिकी के शिक्षक श्रीमान बदर ने मुझे जो पुस्तक दी थी, उसमें दर्शाई गई विभिन्न विधियों से मैंने समाकलन करना सीखा था। एक दिन उसने मुझे कक्षा के बाद रुकने को कहा। ''फेनमैन'', उन्होंने कहा, ''तुम अधिक बात करते हो और तुम अधिक शोर करते हो। मुझे पता है क्यों। आप उदास हो गए हैं। तो मैं आपको एक किताब देने जा रहा हूँ। आप वहां पीछे, कोने में जाकर इस पुस्तक का अध्ययन करें, और जब आप इस पुस्तक में जो कुछ भी है, उसे जान लें, तो आप पुनः बात कर सकते हैं।'' इसलिए भौतिकी की प्रत्येक कक्षा में, मैंने इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि पास्कल के नियम के साथ क्या हो रहा था, या वे जो कुछ भी कर रहे थे। मैं वुड्स की इस पुस्तक एडवांस्ड कैलकुलस के साथ सबसे पीछे था। बदर को पता था कि मैंने कैलकुलस फॉर द प्रैक्टिकल मैन का आंशिक अध्ययन किया है, इसलिए उन्होंने मुझे वास्तविक काम दिया—यह विद्यालय में कनिष्ठ या वरिष्ठ अध्ययन के लिए था। इसमें फूरियर श्रृंखला, बेसल-फलन, निर्धारक, अर्धवृत्ताकार फलन-सभी प्रकार की अद्वितीय फलन थे जिनके बारे में मुझे कुछ नहीं पता था। उस पुस्तक ने यह भी दिखाया कि समाकलन चिह्न के अंतर्गत मापदंडों को कैसे अवकलन किया जाए - यह एक निश्चित संक्रियक है। यह पता चला है कि विश्वविद्यालयों में बहुत कुछ नहीं पढ़ाया जाता है; वे इस पर जोर नहीं देते। लेकिन मैंने उस विधि का उपयोग करने के तरीके को प्रग्रहण किया, और मैंने उस एक उपकरण का बार-बार उपयोग किया। इसलिए क्योंकि मैं उस पुस्तक का उपयोग करके स्व-सिखाया गया था, मेरे पास समाकलन करने के विशिष्ट तरीके थे। इसका परिणाम यह हुआ कि, जब मैसाचुसेट्स प्रौद्योगिकी संस्थान या प्रिंसटन यूनिवर्सिटी के छात्रों को एक निश्चित समाकलन करने में समस्या हुई, तो इसका कारण यह था कि वे इसे उन मानक तरीकों से नहीं कर सकते थे जो उन्होंने स्कूल में सीखे थे। यदि यह समोच्च समाकलन होता, तो वे इसे प्राप्त कर लेते; यदि यह एक साधारण श्रृंखला विस्तार होता, तो वे इसे प्राप्त कर लेते। फिर मैं साथ आता हूं और समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन करने का प्रयास करता हूं, और प्रायः यह फलन करता है। इसलिए मुझे समाकलन करने के लिए एक बड़ी प्रतिष्ठा मिली, सिर्फ इसलिए कि मेरे उपकरणों का बॉक्स प्रत्येक किसी से अलग था, और उन्होंने मुझे समस्या देने से पहले अपने सभी उपकरणों का परीक्षण किया था।

यह भी देखें

• श्रृंखला नियम
• समाकलन का अवकलन
• लीबनिज नियम (सामान्यीकृत गुणनफल नियम)
• रेनॉल्ड्स अभिगमन प्रमेय, लीबनिज नियम का एक सामान्यीकरण

अग्रिम पठन

• Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Single Integrals: Leibnitz's Rule; Numerical Integration". Advanced Calculus and its Applications to the Engineering and Physical Sciences. New York: Wiley. pp. 155–165. ISBN 0-471-04934-4.
• Kaplan, Wilfred (1973). "Integrals Depending on a Parameter—Leibnitz's Rule". Advanced Calculus (2nd ed.). Reading: Addison-Wesley. pp. 285–288.

बाहरी संबंध

• Harron, Rob. "The Leibniz Rule" (PDF). MAT-203.