अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण

हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) पर लागू अभिन्न परीक्षण। चूंकि वक्र के नीचे का क्षेत्र y = 1/x के लिए x ∈ [1, ∞) अनंत है, आयतों का कुल क्षेत्रफल भी अनंत होना चाहिए।

गणित में, अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण एक अभिसरण परीक्षण है जो अभिसरण श्रृंखला के लिए मोनोटोनिक फ़ंक्शन शर्तों की अनंत श्रृंखला (गणित) का परीक्षण करता है। यह कॉलिन मैकलॉरिन और ऑगस्टिन-लुई कॉची द्वारा विकसित किया गया था और इसे कभी-कभी मैकलॉरिन-कॉची परीक्षण के रूप में जाना जाता है।

परीक्षण का विवरण

एक पूर्णांक पर विचार करें N और एक समारोह f असीम अंतराल पर परिभाषित (गणित) [N, ∞), जिस पर यह एकरसता घट रही है। फिर अनंत श्रृंखला

$\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$

एक वास्तविक संख्या में अभिसरण करता है अगर और केवल अगर अनुचित अभिन्न

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

परिमित है। विशेष रूप से, यदि समाकल विचलन करता है, तो अपसारी श्रृंखला भी।

टिप्पणी

यदि अनुचित समाकल परिमित है, तो उपपत्ति ऊपरी और निचली सीमा भी देती है

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

(1)

अनंत श्रृंखला के लिए।

ध्यान दें कि यदि फ़ंक्शन $f(x)$ बढ़ रहा है, तो समारोह $-f(x)$ घट रहा है और उपरोक्त प्रमेय लागू होता है।

प्रमाण

प्रमाण मूल रूप से शब्द की तुलना करते हुए प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण का उपयोग करता है f(n) के अभिन्न अंग के साथ f अंतराल पर [n − 1, n) और [n, n + 1), क्रमश।

नीरस समारोह $f$ लगभग हर जगह सतत कार्य है। इसे दिखाने के लिए, चलो $D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}$. हरएक के लिए $x\in D$, वहाँ के घने सेट से मौजूद है $\mathbb {Q}$ a $c(x)\in \mathbb {Q}$ ताकि $c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]$. ध्यान दें कि इस सेट में एक खुला सेट नॉन-रिक्त अंतराल होता है यदि ठीक है $f$ पर असंतत है $x$. हम विशिष्ट रूप से पहचान सकते हैं $c(x)$ परिमेय संख्या के रूप में जिसकी किसी गणना में सबसे कम अनुक्रमणिका है $\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ और उपरोक्त संपत्ति को संतुष्ट करता है। तब से $f$ मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, यह एक इंजेक्शन समारोह फ़ंक्शन (गणित) को परिभाषित करता है $c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)$ और इस तरह $D$ गणनीय समुच्चय है। यह इस प्रकार है कि $f$ लगभग हर जगह सतत कार्य है। रीमैन इंटीग्रेबिलिटी के लिए यह आवश्यकता और पर्याप्तता है। तब से f एक मोनोटोन घटता हुआ कार्य है, हम जानते हैं कि

$f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )$

और

$f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].$

इसलिए, प्रत्येक पूर्णांक के लिए n ≥ N,

$\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)$

(2)

और, प्रत्येक पूर्णांक के लिए n ≥ N + 1,

$f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.$

(3)

सभी के योग से n से N कुछ बड़े पूर्णांक के लिए M, हम से प्राप्त करते हैं (2)

$\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)$

और से (3)

$\sum _{n=N}^{M}f(n)=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.$

इन दोनों अनुमानों को मिलाने से पैदावार होती है

$\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.$

दे M अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं, सीमा में (1) और परिणाम अनुसरण करते हैं।

अनुप्रयोग

हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

विचलन करता है, क्योंकि प्राकृतिक लघुगणक, इसके प्रतिपक्षी और पथरी के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .$

दूसरी ओर, श्रृंखला

$\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}$

(cf. रीमैन जीटा फ़ंक्शन) प्रत्येक के लिए अभिसरण करता है ε > 0, क्योंकि शक्ति नियम द्वारा

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.$

से (1) हमें ऊपरी अनुमान मिलता है

$\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},$

जिसकी तुलना रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के कुछ विशेष मानों से की जा सकती है।

विचलन और अभिसरण के बीच की सीमा रेखा

हार्मोनिक श्रृंखला से जुड़े उपरोक्त उदाहरण सवाल उठाते हैं कि क्या मोनोटोन अनुक्रम ऐसे हैं f(n) की तुलना में 0 तेजी से घटता है 1/n लेकिन उससे धीमी 1/n^1+ε इस अर्थ में कि

$\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty$

हरएक के लिए ε > 0, और क्या की इसी श्रृंखला f(n) अभी भी विचलन करता है। एक बार ऐसा क्रम मिल जाने के बाद, इसी तरह का प्रश्न पूछा जा सकता है f(n) की भूमिका निभा रहा है 1/n, और इसी तरह। इस तरह अपसरण और अनंत श्रृंखला के अभिसरण के बीच की सीमा रेखा की जांच करना संभव है।

अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण का उपयोग करके, कोई दिखा सकता है (नीचे देखें) कि, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए k, श्रृंखला

$\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}$

(4)

अभी भी विचलन करता है (cf. सबूत है कि अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग विचलन करता है k = 1) लेकिन

$\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}$

(5)

प्रत्येक के लिए अभिसरण करता है ε > 0. यहाँ ln_k दर्शाता है k-गुना फ़ंक्शन रचना द्वारा प्राकृतिक लघुगणक परिभाषित पुनरावर्तन

$\ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}$

आगे, N_k सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या को दर्शाता है जैसे कि k-गुना रचना अच्छी तरह से परिभाषित है और ln_k(N_k) ≥ 1, अर्थात।

$N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k$

टेट्रेशन या नुथ के अप-एरो नोटेशन का उपयोग करना।

श्रृंखला के विचलन को देखने के लिए (4) इंटीग्रल टेस्ट का उपयोग करते हुए, ध्यान दें कि चेन नियम के बार-बार आवेदन से

${\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},$

इस तरह

$\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .$

श्रृंखला के अभिसरण को देखने के लिए (5), ध्यान दें कि शक्ति नियम, श्रृंखला नियम और उपरोक्त परिणाम द्वारा

$-{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},$

इस तरह

$\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty$

और (1) में अनंत श्रृंखला के लिए सीमा देता है (5).

यह भी देखें

• अभिसरण परीक्षण
• अभिसरण (गणित)
• प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण
• प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय
• यूलर-मैकलॉरिन सूत्र
• सीमा तुलना परीक्षण
• मोनोटोन अभिसरण प्रमेय

संदर्भ

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover Publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3
• Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3