जनरल लीबनिज नियम

For other uses, see Leibniz's rule (disambiguation).

कलन में, सामान्य लाइबनिज नियम, Gottfried Wilhelm Leibniz के नाम पर रखा गया, उत्पाद नियम को सामान्यीकृत करता है (जिसे Leibniz's नियम के रूप में भी जाना जाता है)। इसमें कहा गया है कि अगर $f$ और $g$ हैं $n$-समय अलग-अलग कार्यों, फिर उत्पाद $fg$ ई आल्सो $n$-समय अलग करने योग्य और उसके $n$वें व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},$

कहाँ ${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$ द्विपद गुणांक है और $f^{(j)}$ f के j वें व्युत्पन्न को दर्शाता है (और विशेष रूप से $f^{(0)}=f$).

उत्पाद नियम और गणितीय आगमन का उपयोग करके नियम को सिद्ध किया जा सकता है।

दूसरा व्युत्पन्न

यदि, उदाहरण के लिए, n = 2, नियम दो कार्यों के उत्पाद के दूसरे व्युत्पन्न के लिए एक अभिव्यक्ति देता है:

$(fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).$

दो से अधिक कारक

सूत्र को m अवकलनीय फलन f के गुणनफल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है₁,...,एफ_m.

$\left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,$

जहां योग सभी m-tuples (k₁,...,क_m) गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के साथ $\sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,$ और

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}$

बहुपद गुणांक हैं। यह बीजगणित के बहुपद सूत्र के समान है।

प्रमाण

सामान्य लाइबनिज नियम की उपपत्ति प्रेरण द्वारा आगे बढ़ती है। होने देना $f$ और $g$ होना $n$-समय अलग-अलग कार्यों। आधार मामला जब $n=1$ दावा करता है:

$(fg)'=f'g+fg',$

जो सामान्य उत्पाद नियम है और सत्य के रूप में जाना जाता है। इसके बाद, मान लें कि कथन निश्चित है $n\geq 1,$ वह है वह

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.$

तब,

${\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}fg^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}fg^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}fg^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}$

और इसलिए कथन के लिए है $n+1,$ और सबूत पूरा हो गया है।

बहुभिन्नरूपी कलन

कई चर के कार्यों के आंशिक डेरिवेटिव के लिए बहु सूचकांक नोटेशन के साथ, लीबनिज़ नियम अधिक सामान्य रूप से बताता है:

$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).$

इस सूत्र का उपयोग एक ऐसे सूत्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जो अवकल संकारकों की संरचना के अवकल संकारक के प्रतीक की गणना करता है। वास्तव में, P और Q को अंतर संकारक होने दें (गुणांकों के साथ जो कई बार पर्याप्त रूप से भिन्न होते हैं) और $R=P\circ Q.$ चूँकि R भी एक अवकल संकारक है, R का प्रतीक इस प्रकार दिया जाता है:

$R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).$

एक प्रत्यक्ष संगणना अब देती है:

$R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).$

इस सूत्र को आमतौर पर लाइबनिज सूत्र के रूप में जाना जाता है। इसका उपयोग प्रतीकों के स्थान में रचना को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जिससे रिंग संरचना को प्रेरित किया जाता है।

यह भी देखें

• Binomial theorem
• Derivation (differential algebra)
• Derivative
• Differential algebra
• Pascal's triangle
• Product rule
• Quotient rule