छेदक समारोह का अभिन्न अंग

छेदक समारोह (लाल) और इसके प्रतिपक्षी (नीला) का एक ग्राफ

गणना में, छेदक फलन के समाकलन का विभिन्न तरीकों से मूल्यांकन किया जा सकता है और प्रतिअवकलज को व्यक्त करने के कई तरीके हैं, जिनमें से सभी को त्रिकोणमितीय पहचान के माध्यम से समतुल्य दिखाया जा सकता है,

$\int \sec \theta \,d\theta ={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}+C\\[15mu]\ln {{\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}}+C\\[15mu]\ln {\left|\,{\tan }{\biggl (}{\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|}+C\end{cases}}$

यह सूत्र विभिन्न त्रिकोणमितीय समाकलों के मूल्यांकन के लिए उपयोगी है। विशेष रूप से, इसका उपयोग सिकेंट क्यूब के इंटीग्रल का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है, जो हालांकि विशेष रूप से विशेष रूप से अनुप्रयोगों में अक्सर आता है।

से शुरू होने वाले सिकेंट फ़ंक्शन का निश्चित अभिन्न $0$ व्युत्क्रम गुडरमैनियन समारोह है, ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}.}$ संख्यात्मक अनुप्रयोगों के लिए, उपरोक्त सभी अभिव्यक्तियाँ कुछ तर्कों के लिए महत्व की हानि का कारण बनती हैं। व्युत्क्रम अतिपरवलयिक ज्या के संदर्भ में एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति arsinh वास्तविक तर्कों के लिए संख्यात्मक रूप से अच्छा व्यवहार करता है ${\textstyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi }$:

$\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\sec \theta \,d\theta =\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).$

इंटीग्रल कैलकुस के अधिकांश विकास से पहले, सेकेंट फ़ंक्शन का अभिन्न अंग ऐतिहासिक रूप से अपने प्रकार के पहले इंटीग्रल में से एक था। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह मर्केटर प्रोजेक्शन का लंबवत समन्वय है, जिसका उपयोग रूम्ब लाइन के लिए किया जाता है।

सबूत है कि अलग-अलग प्रतिपक्षी बराबर हैं

त्रिकोणमितीय रूप

छेदक के समाकलन के लिए तीन सामान्य व्यंजक,

${\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &={\dfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}+C\\[5mu]&=\ln {{\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}}+C\\[5mu]&=\ln {\left|\,{\tan }{\biggl (}{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|}+C,\end{aligned}}$

समतुल्य हैं क्योंकि

${\sqrt {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}}={\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}=\left|\,{\tan }{\biggl (}{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|.$

प्रमाण: हम स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन को अलग से लागू कर सकते हैं $t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta$ तीनों रूपों में से प्रत्येक के लिए, और उन्हें समान अभिव्यक्ति के संदर्भ में दिखाएं $t.$ इस प्रतिस्थापन के तहत $\cos \theta =(1-t^{2}){\big /}(1+t^{2})$ और $\sin \theta =2t{\big /}(1+t^{2}).$ पहला,

${\begin{aligned}{\sqrt {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}}&={\sqrt {\frac {1+{\dfrac {2t}{1+t^{2}}}}{1-{\dfrac {2t}{1+t^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {1+t^{2}+2t}{1+t^{2}-2t}}}={\sqrt {\frac {(1+t)^{2}}{(1-t)^{2}}}}\\[5mu]&=\left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|.\end{aligned}}$

दूसरा,

${\begin{aligned}{\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}&=\left|{\frac {1}{\cos \theta }}+{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\right|=\left|{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+{\frac {2t}{1-t^{2}}}\right|=\left|{\frac {(1+t)^{2}}{(1+t)(1-t)}}\right|\\[5mu]&=\left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|.\end{aligned}}$

तीसरा, स्पर्शरेखा जोड़ तत्समक का उपयोग करना $\tan(\phi +\psi )=(\tan \phi +\tan \psi ){\big /}(1-\tan \phi \,\tan \psi ),$

${\begin{aligned}\left|\,{\tan }{\biggl (}{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|&=\left|{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\theta +\tan {\tfrac {1}{4}}\pi }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta \,\tan {\tfrac {1}{4}}\pi }}\right|=\left|{\frac {t+1}{1-t\cdot 1}}\right|\\[5mu]&=\left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|.\end{aligned}}$

अतः तीनों भाव एक ही मात्रा का वर्णन करते हैं।

मर्केटर प्रोजेक्शन ऑर्डिनेट के लिए पारंपरिक समाधान अक्षांश के बाद से पूर्ण मान चिह्नों के बिना लिखा जा सकता है $\varphi$ बीच मे स्थित ${\textstyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$ और ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$,

$y=\ln \,{\tan }{\biggl (}{\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}.$

अतिशयोक्तिपूर्ण रूप

होने देना

${\begin{aligned}\psi &=\ln(\sec \theta +\tan \theta ),\\[4pt]e^{\psi }&=\sec \theta +\tan \theta ,\\[4pt]\sinh \psi &={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{2}}=\tan \theta ,\\[4pt]\cosh \psi &={\sqrt {1+\sinh ^{2}\psi }}=|\sec \theta \,|,\\[4pt]\tanh \psi &=\sin \theta .\end{aligned}}$

इसलिए,

${\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\operatorname {artanh} \left(\sin \theta \right)+C\\[-2mu]&=\operatorname {sgn}(\cos \theta )\operatorname {arsinh} \left(\tan \theta \right)+C\\[7mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta )\operatorname {arcosh} {\left|\sec \theta \right|}+C.\end{aligned}}$

इतिहास

For broader coverage of this topic, see Mercator projection § History.

छेदक समारोह का अभिन्न सत्रहवीं शताब्दी के मध्य की बकाया खुली समस्याओं में से एक था, जिसे 1668 में जेम्स ग्रेगोरी (गणितज्ञ) द्वारा हल किया गया था।उन्होंने अपने परिणाम को नॉटिकल टेबल से संबंधित समस्या पर लागू किया।1599 में, एडवर्ड राइट (गणितज्ञ) ने संख्यात्मक विधियों द्वारा समाकलन का मूल्यांकन किया - जिसे आज हम रीमैन योग कहते हैं।वह नक्शानवीसी के प्रयोजनों के लिए समाधान चाहता था - विशेष रूप से एक सटीक मर्केटर प्रक्षेपण के निर्माण के लिए।1640 के दशक में, नेविगेशन, सर्वेक्षण और अन्य गणितीय विषयों के एक शिक्षक हेनरी बॉण्ड ने राइट की संख्यात्मक रूप से संगणित सारणी की तुलना छेदक के समाकलन के मानों की स्पर्शरेखा फलन के लघुगणकों की तालिका से की, और परिणामतः यह अनुमान लगाया कि

$\int _{0}^{\varphi }\sec \theta \,d\theta =\ln \tan \left({\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).$

यह अनुमान व्यापक रूप से ज्ञात हो गया, और 1665 में आइजैक न्यूटन को इसके बारे में पता चला।

मूल्यांकन

एक मानक प्रतिस्थापन द्वारा (ग्रेगरी का दृष्टिकोण)

विभिन्न संदर्भों में प्रस्तुत छेदक समाकल के मूल्यांकन की एक मानक विधि में अंश और हर को गुणा करना शामिल है sec θ + tan θ और फिर प्रतिस्थापन का उपयोग करना u = sec θ + tan θ. यह प्रतिस्थापन एक साथ जोड़े गए छेदक और स्पर्शरेखा के यौगिक से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें एक आम कारक के रूप में छेदक होता है।

प्रारंभ स्थल

${\frac {d}{d\theta }}\sec \theta =\sec \theta \tan \theta \quad {\text{and}}\quad {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta ,$

उन्हें जोड़ने देता है

${\begin{aligned}{\frac {d}{d\theta }}(\sec \theta +\tan \theta )&=\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta \\&=\sec \theta (\tan \theta +\sec \theta ).\end{aligned}}$

योग का व्युत्पन्न इस प्रकार से गुणा किए गए योग के बराबर है sec θ. यह गुणा करने में सक्षम बनाता है sec θ द्वारा sec θ + tan θ अंश और भाजक में और निम्नलिखित प्रतिस्थापन कर रहे हैं:

${\begin{aligned}u&=\sec \theta +\tan \theta \\du&=\left(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta \right)\,d\theta .\end{aligned}}$

अभिन्न का मूल्यांकन इस प्रकार किया जाता है:

${\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {\sec \theta (\sec \theta +\tan \theta )}{\sec \theta +\tan \theta }}\,d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {\sec ^{2}\theta +\sec \theta \tan \theta }{\sec \theta +\tan \theta }}\,d\theta &u&=\sec \theta +\tan \theta \\[6pt]&=\int {\frac {1}{u}}\,du&du&=\left(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta \right)\,d\theta \\[6pt]&=\ln |u|+C\\[4pt]&=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}$

जैसा कि दावा किया गया है। यह जेम्स ग्रेगोरी द्वारा खोजा गया सूत्र था।

आंशिक अंशों और एक प्रतिस्थापन द्वारा (बैरो का दृष्टिकोण)

यद्यपि ग्रेगरी गणितीय प्रमाण 1668 में उनके व्यायाम ज्यामितीय में अनुमान लगाते हैं,प्रमाण को ऐसे रूप में प्रस्तुत किया गया था जो आधुनिक पाठकों के लिए इसे समझना लगभग असंभव बना देता है; इसहाक बैरो, 1670 के अपने लेक्शंस जियोमेट्रिक में,पहला बोधगम्य प्रमाण दिया, हालाँकि वह भी उस समय के ज्यामितीय मुहावरे में निहित था।परिणाम का बैरो का प्रमाण एकीकरण में आंशिक अंशों का सबसे पहला उपयोग था। आधुनिक संकेतन के अनुकूल, बैरो का प्रमाण इस प्रकार शुरू हुआ:

$\int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {1}{\cos \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{\cos ^{2}\theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{1-\sin ^{2}\theta }}\,d\theta$

स्थानापन्न u = sin θ, du = cos θ dθ, के अभिन्न अंग को कम करता है

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{1-u^{2}}}\,du&=\int {\frac {1}{(1+u)(1-u)}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {1}{2}}\!\left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}\right)du&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}{\bigl (}\ln \left|1+u\right|-\ln \left|1-u\right|{\bigr )}+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+u}{1-u}}\right|+C\end{aligned}}$

इसलिए,

$\int \sec \theta \,d\theta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}+C,$

आशा के अनुसार। पूर्ण मान लेना आवश्यक नहीं है क्योंकि $1+\sin \theta$ और $1-\sin \theta$ के वास्तविक मानों के लिए हमेशा गैर-नकारात्मक होते हैं $\theta .$

स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन द्वारा

मानक

स्पर्शरेखा के तहत आधा कोण प्रतिस्थापन ${\textstyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$

${\begin{aligned}&\sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,\\[10mu]&\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {2t}{1-t^{2}}},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[10mu]&\sec \theta +\tan \theta ={\frac {1+2t+t^{2}}{1-t^{2}}}={\frac {1+t}{1-t}}.\end{aligned}}$

इसलिए secant फलन का समाकल है

${\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int \left({\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\right)\!\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2}{(1-t)(1+t)}}\,dt\\[6pt]&=\int \left({\frac {1}{1+t}}+{\frac {1}{1-t}}\right)dt&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[6pt]&=\ln |1+t|-\ln |1-t|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C\\[6pt]&=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}$

पहले जैसा।

अमानक

स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन के कुछ गैर-मानक संस्करण का उपयोग करके अभिन्न भी प्राप्त किया जा सकता है, जो कि 2013 में प्रकाशित इस विशेष अभिन्न के मामले में सरल है,इस प्रकार है:

${\begin{aligned}x&=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\\[10pt]{\frac {2x}{1+x^{2}}}&={\frac {2\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}{\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}}=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\\[6pt]&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta &&{\text{by the double-angle formula}}\\[10pt]dx&={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {1}{2}}\left(1+x^{2}\right)d\theta \\[10pt]d\theta &={\frac {2}{1+x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}$

प्रतिस्थापन:

${\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {1}{\cos \theta }}\,d\theta &=\int {\frac {1+x^{2}}{2x}}\cdot {\frac {2}{1+x^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {1}{x}}\,dx\\[6pt]&=\ln |x|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\right|+C.\end{aligned}}$

लगातार दो प्रतिस्थापन द्वारा

समाकलन को समाकलन में हेर-फेर करके और दो बार प्रतिस्थापित करके समाकलन को भी हल किया जा सकता है। परिभाषा का प्रयोग करना sec θ = 1/cos θ और पहचान cos² θ + sin² θ = 1, अभिन्न को फिर से लिखा जा सकता है

$\int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {1}{\cos \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{\cos ^{2}\theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{1-\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .$

स्थानापन्न u = sin θ, du = cos θ dθ अभिन्न को कम कर देता है

$\int {\frac {1}{1-u^{2}}}\,du.$

घटाए गए अभिन्न का मूल्यांकन प्रतिस्थापन द्वारा किया जा सकता है u = tanh t, du = sech² t dt, और फिर पहचान का उपयोग करना 1 − tanh² t = sech² t.

$\int {\frac {\operatorname {sech} ^{2}t}{1-\tanh ^{2}t}}\,dt=\int {\frac {\operatorname {sech} ^{2}t}{\operatorname {sech} ^{2}t}}\,dt=\int dt.$

इंटीग्रल अब एक साधारण इंटीग्रल में बदल गया है, और बैक-प्रतिस्थापन देता है

${\begin{aligned}\int dt&=t+C\\&=\operatorname {artanh} u+C\\[4pt]&=\operatorname {artanh} (\sin \theta )+C,\end{aligned}}$

जो अभिन्न के अतिशयोक्तिपूर्ण रूपों में से एक है।

इसी तरह की रणनीति का उपयोग व्युत्क्रमज्या, अतिपरवलयिक छेदक और अतिपरवलयिक व्युत्क्रमज्या फलन को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

अन्य अतिशयोक्तिपूर्ण रूप

अन्य दो अतिशयोक्तिपूर्ण रूपों को सीधे एक सुविधाजनक शब्द से गुणा और विभाजित करके भी संभव है:

$\int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {\sec ^{2}\theta }{\sec \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\sec ^{2}\theta }{\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\,d\theta ,$

कहाँ $\pm$ के लिए खड़ा है $\operatorname {sgn}(\cos \theta )$ क्योंकि ${\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}=|\sec \theta \,|.$ स्थानापन्न u = tan θ, du = sec² θ dθ, एक मानक अभिन्न में घट जाती है:

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1+u^{2}}}}}\,du&=\pm \operatorname {arsinh} u+C\\&=\operatorname {sgn}(\cos \theta )\operatorname {arsinh} \left(\tan \theta \right)+C,\end{aligned}}$

कहाँ sgn साइन समारोह है।

वैसे ही:

$\int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {\sec \theta \tan \theta }{\tan \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\sec \theta \tan \theta }{\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}\,d\theta .$

स्थानापन्न u = |sec θ|, du = |sec θ| tan θ dθ, एक मानक अभिन्न में घट जाती है:

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {u^{2}-1}}}}\,du&=\pm \operatorname {arcosh} u+C\\&=\operatorname {sgn}(\sin \theta )\operatorname {arcosh} \left|\sec \theta \right|+C.\end{aligned}}$

जटिल घातीय रूप का उपयोग करना

प्रतिस्थापन के तहत $z=e^{i\theta },$

${\begin{aligned}&\theta =-i\ln z,\quad d\theta ={\frac {-i}{z}}dz,\quad \cos \theta ={\frac {z+z^{-1}}{2}},\quad \sin \theta ={\frac {z-z^{-1}}{2i}},\quad \\[5mu]&\sec \theta ={\frac {2}{z+z^{-1}}},\quad \tan \theta =-i{\frac {z-z^{-1}}{z+z^{-1}}},\quad \\[5mu]&\sec \theta +\tan \theta =-i{\frac {2i+z-z^{-1}}{z+z^{-1}}}=-i{\frac {(z+i)(1+iz^{-1})}{(z-i)(1+iz^{-1})}}=-i{\frac {z+i}{z-i}}\end{aligned}}$

तो अभिन्न को हल किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {2}{z+z^{-1}}}\,{\frac {-i}{z}}dz&&z=e^{i\theta }\\[5mu]&=\int {\frac {-2i}{z^{2}+1}}dz\\&=\int {\frac {1}{z+i}}-{\frac {1}{z-i}}\,dz&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[5mu]&=\ln(z+i)-\ln(z-i)+C\\[5mu]&=\ln {\frac {z+i}{z-i}}+C\\[5mu]&=\ln {\bigl (}i(\sec \theta +\tan \theta ){\bigr )}+C\\[5mu]&=\ln(\sec \theta +\tan \theta )+\ln i+C\end{aligned}}$

क्योंकि समाकलन का स्थिरांक कुछ भी हो सकता है, अतरिक्त स्थिरांक को इसमें समाहित किया जा सकता है। अंत में, यदि थीटा वास्तविक संख्या-मूल्यवान है, तो हम समीकरण को उसके सबसे परिचित रूप में प्राप्त करने के लिए इसे निरपेक्ष मान कोष्ठक के साथ इंगित कर सकते हैं:

$\int \sec \theta \,d\theta =\ln \left|\tan \theta +\sec \theta \right|+C$

गुडरमेनियन और लैम्बर्टियन

गुडरमानियन फ़ंक्शन एक सामान्य त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से एक अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्र के लिए एक परिपत्र क्षेत्र के क्षेत्र से संबंधित है। यदि नीले अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल का दुगुना है ψ, तो लाल वृत्ताकार त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल का दुगुना है ϕ = gd ψ. बैंगनी त्रिभुज के क्षेत्रफल का दुगुना त्रिविम प्रक्षेपण है s = tan 1/2ϕ = tanh 1/2ψ. नीले बिंदु के निर्देशांक हैं (cosh ψ, sinh ψ). लाल बिंदु के निर्देशांक हैं (cos ϕ, sin ϕ). बैंगनी बिंदु के निर्देशांक हैं (0, s).

अतिपरवलयिक छेदक फलन का समाकल गुडरमानियन फलन को परिभाषित करता है:

$\int _{0}^{\psi }\operatorname {sech} u\,du=\operatorname {gd} \psi .$

सिकेंट फ़ंक्शन का अभिन्न अंग लैम्बर्टियन फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, जो कि गुडरमेनियन फ़ंक्शन का व्युत्क्रम कार्य है:

$\int _{0}^{\varphi }\sec t\,dt=\operatorname {lam} \varphi =\operatorname {gd} ^{-1}\varphi .$

मानचित्र प्रक्षेपण के सिद्धांत में इन कार्यों का सामना किया जाता है: देशांतर के साथ गोले पर एक बिंदु का मर्केटर प्रक्षेपण λ और अक्षांश ϕ लिखा जा सकता हैजैसा:

$(x,y)={\bigl (}\lambda ,\operatorname {lam} \varphi {\bigr )}.$

यह भी देखें

• सेकेंट क्यूब का इंटीग्रल

संदर्भ

• Maseres, Francis, ed. (1791). Scriptores Logarithmici; Or, A Collection of Several Curious Tracts on the Nature and Construction of Logarithms. Vol. 2. J. Davis.