अभिन्न रेखा

गणित में, एक लाइन इंटीग्रल एक अभिन्न है जहां एकीकृत होने वाले फ़ंक्शन (गणित) का मूल्यांकन एक वक्र के साथ किया जाता है। शब्द पथ अभिन्न, समोच्च अभिन्न और वक्रिनियर इंटीग्रल का भी उपयोग किया जाता है;समोच्च इंटीग्रल का उपयोग भी किया जाता है, हालांकि यह आमतौर पर #Complex_line_integral के लिए आरक्षित होता है।

एकीकृत होने वाला फ़ंक्शन एक स्केलर क्षेत्र या वेक्टर क्षेत्र हो सकता है।लाइन इंटीग्रल का मान वक्र पर सभी बिंदुओं पर फ़ील्ड के मानों का योग है, वक्र पर कुछ स्केलर फ़ंक्शन द्वारा भारित (आमतौर पर आर्क लंबाई या, वेक्टर फ़ील्ड के लिए, एक अंतर के साथ वेक्टर फ़ील्ड का डॉट उत्पाद (infinitesimal) वक्र में वेक्टर)।यह वेटिंग अंतराल (गणित) पर परिभाषित सरल अभिन्न अंग से अभिन्न रेखा को अलग करता है।भौतिकी में कई सरल सूत्र, जैसे कि कार्य की परिभाषा (भौतिकी) $W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$, इस मामले में लाइन इंटीग्रल के संदर्भ में प्राकृतिक निरंतर एनालॉग्स हैं $\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s}$, जो एक पथ के साथ एक विद्युत या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एफ के माध्यम से आगे बढ़ने वाली वस्तु पर किए गए यांत्रिक कार्य की गणना करता है $L$।

वेक्टर कैलकुलस

गुणात्मक शब्दों में, वेक्टर कैलकुलस में एक लाइन अभिन्न अंग को दिए गए वक्र के साथ किसी दिए गए टेंसर क्षेत्र के कुल प्रभाव के माप के रूप में सोचा जा सकता है।उदाहरण के लिए, एक स्केलर फ़ील्ड (रैंक 0 टेंसर) पर अभिन्न रेखा की व्याख्या एक विशेष वक्र द्वारा नक्काशीदार क्षेत्र के तहत क्षेत्र के रूप में की जा सकती है।यह Z = F (x, y) द्वारा बनाई गई सतह और XY विमान में एक वक्र C द्वारा बनाई जा सकती है।एफ की लाइन इंटीग्रल पर्दे का क्षेत्र होगा - जब सतह के बिंदु जो सीधे सी पर होते हैं, उन्हें नक्काशी की जाती है।

लाइन एक स्केलर फ़ील्ड का अभिन्न अंग

एक स्केलर फ़ील्ड F पर अभिन्न रेखा को एक सतह z = f (x, y) के साथ वक्र C के नीचे के क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है, जो कि क्षेत्र द्वारा वर्णित है।

परिभाषा

कुछ स्केलर क्षेत्र के लिए $f\colon U\to \mathbb {R}$ कहां $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, एक टुकड़ा चिकनी वक्र के साथ लाइन अभिन्न अंग ${\mathcal {C}}\subset U$ की तरह परिभाषित किया गया है

$\int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt.$

कहां $\mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}$ वक्र का एक मनमाना पाठ्यक्रम पैरामीट्रिक समीकरण है ${\mathcal {C}}$ ऐसा है कि r(a) और r(b) के समापन बिंदु दें ${\mathcal {C}}$ और a < b।यहाँ, और लेख के बाकी हिस्सों में, निरपेक्ष मान बार Euclidean दूरी को दर्शाता है। एक वेक्टर के मानक (यूक्लिडियन) मानदंड।

कार्यक्रम f इंटीग्रैंड, वक्र कहा जाता है ${\mathcal {C}}$ एकीकरण का डोमेन है, और प्रतीक है ds वक्र की प्राथमिक चाप लंबाई के रूप में सहज रूप से व्याख्या की जा सकती है ${\mathcal {C}}$ (यानी, की एक अंतर लंबाई ${\mathcal {C}}$)।एक वक्र पर स्केलर फ़ील्ड का लाइन इंटीग्रल ${\mathcal {C}}$ चुने हुए पैरामीराइजेशन पर निर्भर न हों r का ${\mathcal {C}}$. ज्यामितीय रूप से, जब स्केलर क्षेत्र f एक विमान के ऊपर परिभाषित किया गया है (n = 2), इसका ग्राफ एक सतह है z = f(x, y) अंतरिक्ष में, और लाइन इंटीग्रल (हस्ताक्षरित) क्रॉस-सेक्शन (ज्यामिति) देता है। वक्र द्वारा बंधे क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र ${\mathcal {C}}$ और का ग्राफ f।दाईं ओर एनीमेशन देखें।

व्युत्पत्ति

एक स्केलर फ़ील्ड पर एक लाइन इंटीग्रल के लिए, इंटीग्रल का निर्माण उपरोक्त परिभाषाओं का उपयोग करके एक रीमैन योग से किया जा सकता है f, C और एक पैरामीट्राइजेशन r का C।यह अंतराल (गणित) को विभाजित करके किया जा सकता है [a, b] में n उप अंतराल [t_i−1, t_i] लंबाई का Δt = (b − a)/n, तब r(t_i) कुछ बिंदु को दर्शाता है, इसे वक्र पर एक नमूना बिंदु कहें C।हम नमूना बिंदुओं के सेट (गणित) का उपयोग कर सकते हैं {r(t_i): 1 ≤ i ≤ n} वक्र को अनुमानित करने के लिए C प्रत्येक नमूना बिंदुओं के बीच सीधी रेखा के टुकड़े को पेश करके एक बहुभुज पथ के रूप में r(t_i−1) और r(t_i)।(बहुभुज पथ के लिए एक वक्र के सन्निकटन को वक्र का सुधार कहा जाता है, अधिक विवरण के लिए आर्क लंबाई देखें।) हम तब वक्र पर आसन्न नमूना बिंदुओं के बीच लाइन खंड की दूरी को लेबल करते हैं। Δs_i।का उत्पाद f(r(t_i)) और Δs_i ऊंचाई और चौड़ाई के साथ एक आयत के हस्ताक्षरित क्षेत्र से जुड़ा हो सकता है f(r(t_i)) और Δs_i, क्रमश।विभाजन की लंबाई शून्य के रूप में शब्दों के योग के अनुक्रम की सीमा लेते हुए हमें देता है

$I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.$

औसत मूल्य प्रमेय द्वारा, वक्र पर बाद के बिंदुओं के बीच की दूरी, है

$\Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx {d}\left|\mathbf {r} (t_{i})\right|$

उपरोक्त रीमैन राशि की पैदावार में इसे प्रतिस्थापित करना

$I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t$

इंटीग्रल के लिए राइमैन राशि जो है

$I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.$

लाइन एक वेक्टर फ़ील्ड का अभिन्न अंग

परिभाषा

एक वेक्टर फ़ील्ड f के लिए: u 'rⁿ → 'r'ⁿ , एक टुकड़े -टुकड़े चिकनी वक्र c ⊂ u के साथ अभिन्न रेखा, 'r' की दिशा में, के रूप में परिभाषित किया गया है

$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt$

जहां · डॉट उत्पाद है, और r: [ ',' 'B' '] →' 'C' 'वक्र का एक द्विध्रुवीय पैरामीट्रिक समीकरण है' 'C' 'जैसे कि R (' 'A' 'A' 'A) और आर (' 'बी' ')' 'सी' 'के समापन बिंदु दें।

एक स्केलर फ़ील्ड का एक लाइन इंटीग्रल इस प्रकार एक वेक्टर फ़ील्ड का एक लाइन अभिन्न है, जहां वैक्टर हमेशा एकीकरण की रेखा के लिए स्पर्शरेखा होते हैं।

वेक्टर फ़ील्ड के लाइन इंटीग्रल निरपेक्ष मान में पैरामीराइजेशन आर से स्वतंत्र हैं, लेकिन वे इसके वक्र अभिविन्यास पर निर्भर करते हैं।विशेष रूप से, पैरामीराइजेशन के उन्मुखीकरण में एक उलट लाइन इंटीग्रल के संकेत को बदलता है।

विभेदक ज्यामिति के दृष्टिकोण से, एक वक्र के साथ एक वेक्टर क्षेत्र की रेखा अभिन्न है, जो संगीत समरूपता के तहत संबंधित 1-रूप का अभिन्न अंग है (जो कि वेक्टर क्षेत्र को इसी कोवेटर क्षेत्र में ले जाता है), एक विसर्जन के रूप में माना जाता है(गणित) 1-manifold।

व्युत्पत्ति

एक वेक्टर क्षेत्र के अंदर एक वक्र के साथ एक कण (लाल रंग में) का प्रक्षेपवक्र।ए से शुरू होकर, कण वेक्टर फील्ड एफ के साथ पथ C का पता लगाता है। इसके स्पर्शरेखा वेक्टर (लाल तीर) के डॉट उत्पाद (ग्रीन लाइन) और फील्ड वेक्टर (ब्लू एरो) एक वक्र के तहत एक क्षेत्र को परिभाषित करता है, जो कि बराबर हैपथ की रेखा अभिन्न।(विस्तृत विवरण के लिए छवि पर क्लिक करें।)

एक वेक्टर फ़ील्ड की लाइन इंटीग्रल को स्केलर फ़ील्ड के मामले के समान तरीके से प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन इस बार एक डॉट उत्पाद को शामिल करने के साथ।की उपरोक्त परिभाषाओं का फिर से उपयोग करना F, C और इसके पैरामीराइजेशन r(t), हम एक रीमैन योग से अभिन्न का निर्माण करते हैं।हम अंतराल (गणित) को विभाजित करते हैं [a, b] (जो पैरामीटर के मूल्यों की सीमा है t) में n लंबाई के अंतराल Δt = (b − a)/n।दे t_i बनो iवें बिंदु पर [a, b], तब r(t_i) हमें स्थिति देता है iवक्र पर वें बिंदु।हालांकि, बाद के बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के बजाय, हमें उनके विस्थापन (वेक्टर) वैक्टर की गणना करने की आवश्यकता है, Δr_i।पहले की तरह, मूल्यांकन F वक्र पर सभी बिंदुओं पर और प्रत्येक विस्थापन वेक्टर के साथ डॉट उत्पाद लेने से हमें प्रत्येक विभाजन का अनंत योगदान मिलता है F पर C।विभाजन के आकार को शून्य पर जाने देना हमें एक राशि देता है

$I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}$

औसत मूल्य प्रमेय द्वारा, हम देखते हैं कि वक्र पर आसन्न बिंदुओं के बीच विस्थापन वेक्टर है

$\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.$

उपरोक्त रीमैन राशि की पैदावार में इसे प्रतिस्थापित करना

$I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,$

जो ऊपर परिभाषित अभिन्न के लिए Riemann राशि है।

पथ स्वतंत्रता

Main article: Gradient theorem

यदि एक वेक्टर फ़ील्ड f एक स्केलर फ़ील्ड g का ढाल है (यानी यदि F रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र है), यानी, अर्थात्,

$\mathbf {F} =\nabla G,$

इसके बाद चेन रूल#मल्टीवेरेबल केस द्वारा जी और 'आर' (टी) की फ़ंक्शन रचना का व्युत्पन्न है

${\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

जो R ( T ) पर F की लाइन इंटीग्रल के लिए इंटीग्रैंड होता है।यह निम्नानुसार है, एक रास्ता C , कि

$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).$

दूसरे शब्दों में, c पर f का अभिन्न अंग पूरी तरह से g के मूल्यों पर निर्भर करता है r ( b ) और r ( a ), और इस प्रकार स्वतंत्र हैउनके बीच का रास्ता।इस कारण से, एक रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र के अभिन्न रेखा को पथ स्वतंत्र कहा जाता है।

अनुप्रयोग

लाइन इंटीग्रल में भौतिकी में कई उपयोग हैं।उदाहरण के लिए, एक कण पर यात्रा करने वाले एक कण पर किए गए कण पर किया गया काम (भौतिकी) एक बल क्षेत्र के अंदर एक वेक्टर फ़ील्ड 'f' के रूप में दर्शाया गया है।

एक वक्र में प्रवाह

एक वेक्टर क्षेत्र के लिए $\mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$, F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)), एक वक्र C 'U' 'के पार अभिन्न रेखा, जिसे फ्लक्स भी कहा जाता है। r: [a,b] → C, r(t) = (x(t), y(t)), जैसा:

$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}-Q~dx+P~dy.$

यहाँ ⋅ डॉट उत्पाद है, और $\mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))$ वेग वेक्टर का दक्षिणावर्त लंबवत है $\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))$।

प्रवाह की गणना एक उन्मुख अर्थ में की जाती है: वक्र C से एक निर्दिष्ट आगे की दिशा है r(a) को r(b), और प्रवाह को सकारात्मक के रूप में गिना जाता है F(r(t)) आगे के वेग वेक्टर के दक्षिणावर्त साइड पर है r'(t)।

जटिल रेखा अभिन्न

जटिल विश्लेषण में, लाइन इंटीग्रल को जटिल संख्या#गुणा और जटिल संख्या#जोड़ और जटिल संख्याओं के घटाव के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।मान लीजिए कि यू जटिल विमान 'सी' का एक खुला सबसेट है, f : U → C एक फ़ंक्शन है, और $L\subset U$ परिमित लंबाई का एक वक्र है, द्वारा पैरामीट्राइज्ड γ: [a,b] → L, कहां γ(t) = x(t) + iy(t)।लाइन इंटीग्रल

$\int _{L}f(z)\,dz$

अंतराल (गणित) [ए, बी] को उप -विभाजित करके परिभाषित किया जा सकता है a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b और अभिव्यक्ति पर विचार कर रहा है

$\sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.$

इंटीग्रल तब इस रीमैन योग की सीमा है क्योंकि उपखंड अंतराल की लंबाई शून्य है।

यदि पैरामीराइजेशन γ अलग -अलग फ़ंक्शन#भिन्नता वर्ग है, लाइन इंटीग्रल का मूल्यांकन एक वास्तविक चर के फ़ंक्शन के अभिन्न के रूप में किया जा सकता है:

$\int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.$

कब L एक बंद वक्र (प्रारंभिक और अंतिम अंक संयोग) है, लाइन इंटीग्रल को अक्सर निरूपित किया जाता है ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$ कभी -कभी इंजीनियरिंग में एक चक्रीय अभिन्न के रूप में संदर्भित किया जाता है।

संयुग्म जटिल अंतर के संबंध में लाइन अभिन्न अंग ${\overline {dz}}$ परिभाषित किया गया होने के लिए

$\int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.$

कई तकनीकों का उपयोग करके जटिल कार्यों की लाइन इंटीग्रल का मूल्यांकन किया जा सकता है।सबसे प्रत्यक्ष वास्तविक और काल्पनिक भागों में विभाजित करना है, जिससे दो वास्तविक-मूल्यवान लाइन इंटीग्रल का मूल्यांकन करने के लिए समस्या को कम करना है।Cauchy इंटीग्रल प्रमेय का उपयोग अधिक सुविधाजनक वक्र पर एक ही अभिन्न अंग के लिए एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन की रेखा के अभिन्न अंग को समान करने के लिए किया जा सकता है।इसका तात्पर्य यह भी है कि एक बंद वक्र पर जहां एक क्षेत्र संलग्न है f(z) गणितीय विलक्षणता के बिना विश्लेषणात्मक है, अभिन्न का मूल्य बस शून्य है, या यदि क्षेत्र में विलक्षणताएं शामिल हैं, तो अवशेष प्रमेय विलक्षणताओं के संदर्भ में अभिन्न गणना करते हैं।यह विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए जटिल रेखा के अभिन्न अंग की पथ स्वतंत्रता का भी अर्थ है।

उदाहरण

फ़ंक्शन f (z) = 1/z पर विचार करें, और समोच्च l को 0 के बारे में वामावर्त एकक व्रत होने दें, z (t) = E द्वारा Parametrized^{Euler के सूत्र का उपयोग करके [0, 2π] में t के साथ यह} ।प्रतिस्थापन, हम पाते हैं:

${\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}$

यह कॉची के अभिन्न सूत्र और अवशेष प्रमेय का एक विशिष्ट परिणाम है।

जटिल रेखा का संबंध अभिन्न और वेक्टर फ़ील्ड की रेखा अभिन्न

जटिल संख्याओं को 2-आयामी यूक्लिडियन वेक्टर के रूप में देखना, एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन की लाइन अभिन्न अंग $f(z)$ लाइन इंटीग्रल के बराबर वास्तविक और जटिल भाग हैं और जटिल संयुग्म फ़ंक्शन के अनुरूप वेक्टर फ़ील्ड का प्रवाह अभिन्न है ${\overline {f(z)}}.$ विशेष रूप से, अगर $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ Parametrizes l, और $f(z)=u(z)+iv(z)$ वेक्टर क्षेत्र से मेल खाती है $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ तब:

${\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}$

Cauchy के अभिन्न प्रमेय द्वारा | Cauchy का प्रमेय, बाएं हाथ का अभिन्न समय शून्य है $f(z)$ किसी भी चिकनी बंद वक्र एल के लिए विश्लेषणात्मक (Cauchy-riemann समीकरणों को संतुष्ट करना) है। $\mathbf {F} ={\overline {f(z)}}$ रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र (कर्ल (गणित) -फ्री) और अयोग्य प्रवाह (विचलन -मुक्त) है।वास्तव में, कॉची-रीमैन के लिए समीकरण $f(z)$ एफ के लिए कर्ल और विचलन के गायब होने के समान हैं।

ग्रीन के प्रमेय द्वारा, एक चिकनी, बंद, सकारात्मक रूप से उन्मुख वक्र द्वारा संलग्न एक क्षेत्र का क्षेत्र $L$ अभिन्न द्वारा दिया जाता है $\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.$ इस तथ्य का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, क्षेत्र प्रमेय (अनुरूप मानचित्रण) के प्रमाण में।

क्वांटम यांत्रिकी

क्वांटम यांत्रिकी का पथ अभिन्न सूत्र वास्तव में इस अर्थ में अभिन्न पथ को नहीं बल्कि कार्यात्मक एकीकरण के लिए संदर्भित करता है, अर्थात, पथ के एक स्थान पर अभिन्न अंग, एक संभावित पथ के एक समारोह के।हालांकि, इस लेख के अर्थ में पथ इंटीग्रल क्वांटम यांत्रिकी में महत्वपूर्ण हैं;उदाहरण के लिए, जटिल समोच्च एकीकरण का उपयोग अक्सर क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत में संभाव्यता आयाम का मूल्यांकन करने में किया जाता है।

यह भी देखें

• विचलन प्रमेय
• ढाल प्रमेय
• समोच्च एकीकरण के तरीके
• नचबिन का प्रमेय
• सतह अभिन्न
• मात्रा तत्व
• आयत अभिन्न अंग

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

• समारोह (गणित)
• अंक शास्त्र
• काम (भौतिकी)
• वक्राकार लंबाई
• विभेदक
• टुकड़ा चिकना
• द्विभाजित
• यूक्लिडियन दूरी
• रिमैन सम
• एक अनुक्रम की सीमा
• मतलब मूल्य प्रमेय
• स्पज्या का
• निरपेक्ष मूल्य
• संगीतमय आइसोमोर्फिज्म
• विसर्जन (गणित)
• बहुत छोता
• रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र
• समारोह रचना
• यौगिक
• विश्लेषणात्मक कार्य
• कूची अभिन्न प्रमेय
• जटिल सन्युग्म
• असंगत प्रवाह
• पथ अभिन्न निर्माण
• बिखरने
• सतह का अभिन्न अंग
• ग्रेडिएंट प्रमेय
• खंड तत्व

बाहरी कड़ियाँ

• "Integral over trajectories", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Khan Academy modules:
  • "Introduction to the Line Integral"
  • "Line Integral Example 1"
  • "Line Integral Example 2 (part 1)"
  • "Line Integral Example 2 (part 2)"
• Path integral at PlanetMath.
• Line integral of a vector field – Interactive