गुणन नियम

This article is about the derivative of a product. For the relation between derivatives of 3 dependent variables, see Triple product rule. For a counting principle in combinatorics, see Rule of product. For conditional probabilities, see Chain rule (probability).

उत्पाद नियम के प्रमाण का ज्यामितीय चित्रण

कलन में, गुणन नियम (या लीबनिज नियम या लीबनिज उत्पाद नियम) एक सूत्र है जिसका उपयोग दो या दो से अधिक कार्यों (गणित) के उत्पादों के यौगिक को खोजने के लिए किया जाता है। दो कार्यों के लिए, इसे अवकलन के लिए संकेतन में कहा जा सकता है# लैग्रेंज का संकेतन | लैग्रेंज का संकेतन

$$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$$

या लीबनिज के अंकन के रूप में

$${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.$$

किसी उत्पाद के उच्च-क्रम डेरिवेटिव के नियम के लिए, और अन्य संदर्भों के लिए नियम को तीन या अधिक कार्यों के उत्पादों के लिए विस्तारित या सामान्यीकृत किया जा सकता है।

डिस्कवरी

इस नियम की खोज का श्रेय Gottfried Leibniz को दिया जाता है, जिन्होंने इसे अवकलन (कैलकुलस) का उपयोग करके प्रदर्शित किया। (हालांकि, जे. एम. चाइल्ड, लीबनिज के पत्रों के अनुवादक, का तर्क है कि यह इसहाक बैरो के कारण है।) यहां लाइबनिज का तर्क है: यू (एक्स) और वी (एक्स) को एक्स के दो अलग-अलग कार्य होने दें। फिर यूवी का अंतर है

${\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}$

चूँकि du·dv शब्द नगण्य है (du और dv की तुलना में), लीबनिज ने निष्कर्ष निकाला कि

$d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv$

और यह वास्तव में उत्पाद नियम का विभेदक रूप है। यदि हम अंतर dx से विभाजित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं

${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}$

जिसे Derivative#Lagrange.27s संकेतन|Lagrange के अंकन के रूप में भी लिखा जा सकता है

$(u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.$

उदाहरण

• मान लीजिए कि हम f(x) = x में अंतर करना चाहते हैं² पाप(x). उत्पाद नियम का उपयोग करके, व्युत्पन्न प्राप्त किया जा सकता हैf′(x) = 2x sin(x) + x² cos(x) (x के व्युत्पन्न के बाद से² 2x है और उन लोगों के फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कोसाइन फ़ंक्शन है)।
• गुणन नियम का एक विशेष मामला स्थिर बहु ​​नियम है, जो बताता है: यदि c एक संख्या है और f(x) एक अवकलनीय फलन है, तो cf(x) भी अवकलनीय है, और इसका व्युत्पन्न है (cf)′(एक्स) = सी f′(एक्स)। यह उत्पाद नियम से अनुसरण करता है क्योंकि किसी भी स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है। यह, डेरिवेटिव के योग नियम के साथ मिलकर दर्शाता है कि विभेदीकरण रैखिक परिवर्तन है।
• भागों द्वारा एकीकरण का नियम उत्पाद नियम से लिया गया है, जैसा कि भागफल नियम (एक कमजोर संस्करण) है। (यह एक कमजोर संस्करण है जिसमें यह साबित नहीं होता है कि भागफल अलग-अलग है, लेकिन केवल यह कहता है कि इसका व्युत्पन्न क्या है if यह अवकलनीय है।)

प्रमाण

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा

होने देना h(x) = f(x)g(x) और मान लीजिए f और g प्रत्येक पर अवकलनीय हैं x. हम यह साबित करना चाहते हैं h पर अवकलनीय है x और इसका व्युत्पन्न, h′(x), द्वारा दिया गया है f′(x)g(x) + f(x)g′(x). यह करने के लिए, $f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)$ (जो शून्य है, और इस प्रकार मूल्य नहीं बदलता है) अंश में इसके फैक्टरिंग की अनुमति देने के लिए जोड़ा जाता है, और फिर सीमाओं के गुणों का उपयोग किया जाता है।

${\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{See the note below.}}+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}$

यह तथ्य कि $\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)$ इस तथ्य से अनुसरण करता है कि अवकलनीय फलन संतत होते हैं।

रैखिक सन्निकटन

परिभाषा के अनुसार, यदि $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ पर अवकलनीय हैं $x$, तो हम रैखिक सन्निकटन लिख सकते हैं:

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)$$

और

$$g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),$$

जहाँ h के संबंध में त्रुटि शर्तें छोटी हैं: अर्थात, ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}$ बिग ओ नोटेशन # लिटिल-ओ नोटेशन $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)$. तब:

$${\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}$$

त्रुटि शर्तों में आइटम शामिल हैं जैसे $f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}$ और $hf'(x)\varepsilon _{1}(h)$ जिनका परिमाण आसानी से देखा जा सकता है $o(h).$ द्वारा विभाजित करना $h$ और सीमा ले रहा है $h\to 0$ परिणाम देता है।

चौथाई वर्ग

यह प्रमाण श्रृंखला नियम और गुणन एल्गोरिथम#क्वार्टर वर्ग गुणन का उपयोग करता है $q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}$ व्युत्पन्न के साथ $q'(x)={\tfrac {1}{2}}x$. अपने पास:

$uv=q(u+v)-q(u-v),$

और दोनों पक्षों को अलग करने से मिलता है:

${\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}$

बहुभिन्नरूपी श्रृंखला नियम

उत्पाद नियम को गुणन समारोह पर लागू कई चर के लिए श्रृंखला नियम का एक विशेष मामला माना जा सकता है $m(u,v)=uv$:

${d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.$

अमानक विश्लेषण

यू और वी को एक्स में निरंतर कार्य करने दें, और डीएक्स, डु और डीवी को गैर-मानक विश्लेषण के ढांचे के भीतर, विशेष रूप से अति वास्तविक संख्या के रूप में अनंत होने दें। विक्षनरी से जुड़े मानक भाग फ़ंक्शन को निरूपित करने के लिए सेंट का उपयोग करना: परिमित संख्या हाइपररियल संख्या वास्तविक असीम रूप से इसके करीब है, यह देता है

${\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}$

यह अनिवार्य रूप से एकरूपता के अनुवांशिक कानून (उपर्युक्त मानक भाग के स्थान पर) का शोषण करने वाला लाइबनिट्स का सबूत था।

चिकना अतिसूक्ष्म विश्लेषण

लॉवरे के इनफिनिटिमल्स के दृष्टिकोण के संदर्भ में, आइए $dx$ एक निलस्क्वेयर इनफिनिटिमल बनें। तब $du=u'\ dx$ और $dv=v'\ dx$, ताकि

${\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\,\!\end{aligned}}$

तब से $du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.$ द्वारा विभाजित करना $dx$ फिर देता है ${\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}$ या $(uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'$.

लघुगणक विभेद

होने देना $h(x)=f(x)g(x)$. प्रत्येक फलन का निरपेक्ष मान और समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेते हुए,

$\ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|$

निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को लागू करना,

$\ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|$ दोनों पक्षों का लघुगणक व्युत्पन्न लेना और फिर के लिए हल करना $h'(x)$:

${\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}$

के लिए हल करना $h'(x)$ और वापस प्रतिस्थापित करना $f(x)g(x)$ के लिए $h(x)$ देता है:

${\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}$

नोट: कार्यों के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है ताकि कार्यों के लॉगरिदमिक भेदभाव को नकारात्मक मान हो सकें, क्योंकि लॉगरिदम केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि ${\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}$, जो लॉगरिदमिक भेदभाव के लिए कार्यों का पूर्ण मूल्य लेने का औचित्य साबित करता है।

सामान्यीकरण

दो से अधिक कारकों का उत्पाद

उत्पाद नियम को दो से अधिक कारकों के उत्पादों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कारकों के लिए हमारे पास है

${\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.$

कार्यों के संग्रह के लिए $f_{1},\dots ,f_{k}$, अपने पास

${\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).$

लॉगरिदमिक डेरिवेटिव अंतिम रूप की एक सरल अभिव्यक्ति प्रदान करता है, साथ ही एक प्रत्यक्ष प्रमाण जिसमें कोई पुनरावर्तन शामिल नहीं है। किसी फ़ंक्शन का लघुगणक व्युत्पन्न f, यहाँ दर्शाया गया है Logder(f), फलन के लघुगणक का अवकलज है। यह इस प्रकार है कि

$\operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.$

इसका उपयोग करते हुए कि किसी उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक का योग है, डेरिवेटिव के लिए विभेदन में योग नियम तुरंत देता है

$\operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).$

किसी उत्पाद के व्युत्पन्न की अंतिम उपरोक्त अभिव्यक्ति इस समीकरण के दोनों सदस्यों को उत्पाद के द्वारा गुणा करके प्राप्त की जाती है $f_{i}.$

उच्च डेरिवेटिव

Main article: General Leibniz rule

द्विपद प्रमेय के अनुसार प्रतीकात्मक रूप से विस्तार करके, इसे दो कारकों के उत्पाद के एनवें व्युत्पन्न के लिए सामान्य लीबनिज़ नियम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

$d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).$

एक विशिष्ट बिंदु x पर लागू, उपरोक्त सूत्र देता है:

$(uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).$

इसके अलावा, कारकों की मनमानी संख्या के n वें व्युत्पन्न के लिए, बहुपद प्रमेय के साथ एक समान सूत्र है:

$\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.$

उच्च आंशिक डेरिवेटिव

आंशिक डेरिवेटिव के लिए, हमारे पास है

${\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}$

जहां सूचकांक S सभी के माध्यम से चलता है 2ⁿ के सबसेट {1, ..., n}, और |S| की प्रमुखता है S. उदाहरण के लिए, कब n = 3,

${\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[6pt]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[6pt]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}$

बनच स्थान

मान लीजिए X, Y, और Z Banach रिक्त स्थान हैं (जिसमें यूक्लिडियन अंतरिक्ष शामिल है) और B: X × Y → Z एक सतत कार्य (टोपोलॉजी) बिलिनियर ऑपरेटर है। फिर बी अलग-अलग है, और एक्स × वाई में बिंदु (एक्स, वाई) पर इसका व्युत्पन्न रैखिक मानचित्र डी है_(x,y)बी : एक्स × वाई → जेड द्वारा दिया गया

$(D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.$

यह परिणाम बढ़ाया जा सकता है अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के लिए।

सदिश कलन में

Main article: Vector calculus identities § First derivative identities

उत्पाद नियम वेक्टर कार्यों के विभिन्न उत्पाद संचालन पर लागू होता है $\mathbb {R} ^{n}$:

• अदिश गुणन के लिए:
  $$(f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '$$
• डॉट उत्पाद के लिए:
  $$(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '$$
• वेक्टर कार्यों के क्रॉस उत्पाद के लिए $\mathbb {R} ^{3}$:
  $$(\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '$$

डेरिवेटिव के अन्य एनालॉग्स के लिए भी एनालॉग्स हैं: यदि एफ और जी स्केलर फील्ड हैं तो ग्रेडियेंट के साथ एक उत्पाद नियम है:

$$\nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g$$

ऐसा नियम किसी भी सतत द्विरेखीय मानचित्र उत्पाद संचालन के लिए मान्य होगा। मान लीजिए B : X × Y → Z सदिश समष्टियों के बीच एक सतत द्विरेखीय मानचित्र है, और मान लीजिए कि f और g क्रमश: X और Y में अवकलनीय फलन हैं। व्युत्पन्न की #Limit परिभाषा का उपयोग करते हुए प्रमाण में प्रयुक्त गुणन का एकमात्र गुण यह है कि गुणन निरंतर और द्विरेखीय है। तो किसी भी सतत द्विरेखीय संक्रिया के लिए,

$$H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').$$

यह #बनच स्पेस में बिलिनियर मैप्स के लिए उत्पाद नियम का एक विशेष मामला भी है।

सार बीजगणित और अंतर ज्यामिति में व्युत्पत्ति

सार बीजगणित में, उत्पाद नियम एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) की परिभाषित संपत्ति है। इस शब्दावली में, उत्पाद नियम बताता है कि डेरिवेटिव ऑपरेटर कार्यों पर एक व्युत्पत्ति है।

डिफरेंशियल ज्योमेट्री में, एक बिंदु p पर कई गुना M के लिए एक स्पर्शरेखा सदिश को वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर एक ऑपरेटर के रूप में अमूर्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है, जो p पर एक दिशात्मक व्युत्पन्न की तरह व्यवहार करता है: अर्थात, एक रैखिक रूप v जो एक व्युत्पत्ति है,

$v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).$</ब्लॉककोट> एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड एम के लिए वेक्टर कैलकुलस के फॉर्मूले का सामान्यीकरण (और दोहरीकरण), एक डिग्री k और l का विभेदक रूप ले सकता है, जिसे निरूपित किया गया है $\alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)$, कील या बाहरी बीजगणित ऑपरेशन के साथ $\alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)$, साथ ही बाहरी व्युत्पन्न $d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)$. उसके बाद विभेदक वर्गीकृत बीजगणित होता है:

$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .$</ब्लॉककोट>

अनुप्रयोग

उत्पाद नियम के अनुप्रयोगों में एक प्रमाण है कि

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}$

जब n एक धनात्मक पूर्णांक होता है (यह नियम सत्य है भले ही n धनात्मक न हो या पूर्णांक न हो, लेकिन इसका प्रमाण अन्य विधियों पर निर्भर होना चाहिए)। सबूत गणितीय प्रेरण द्वारा एक्सपोनेंट एन पर है। अगर n = 0 तो xⁿ स्थिर है और nx^n − 1 = 0. उस स्थिति में नियम लागू होता है क्योंकि एक स्थिर फलन का व्युत्पन्न 0 है। यदि नियम किसी विशेष घातांक n के लिए है, तो अगले मान के लिए, n + 1, हमारे पास है

${\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt]&{}=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(the product rule is used here)}}\\[12pt]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(the induction hypothesis is used here)}}\\[12pt]&{}=(n+1)x^{n}.\end{aligned}}$

इसलिए, यदि प्रस्ताव n के लिए सत्य है, तो यह n + 1 के लिए भी सत्य है, और इसलिए सभी प्राकृतिक n के लिए भी सत्य है।

यह भी देखें

• Differentiation of integrals
• Differentiation of trigonometric functions
• Differentiation rules
• Distribution (mathematics)
• General Leibniz rule
• Integration by parts
• Inverse functions and differentiation
• Linearity of differentiation
• Power rule
• Quotient rule
• Table of derivatives
• Vector calculus identities

संदर्भ