लघुगणक व्युत्पन्न

गणित में, विशेष रूप से कलन और जटिल विश्लेषण में, एक फ़ंक्शन (गणित) f का लघुगणक व्युत्पन्न सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

$${\frac {f'}{f}}$$

कहाँ $f'$ f का व्युत्पन्न है। सहज रूप से, यह f में अत्यल्प सापेक्ष परिवर्तन है; वह है, f में अत्यल्प पूर्ण परिवर्तन, अर्थात् $f',$ f के वर्तमान मान द्वारा स्केल किया गया।

जब f एक वास्तविक चर x का फलन f(x) होता है, और वास्तविक संख्याएँ लेता है, सख्ती से धनात्मक संख्या मान लेता है, तो यह ln(f) के व्युत्पन्न या f के प्राकृतिक लघुगणक के बराबर होता है। यह सीधे श्रृंखला नियम से होता है:

$${\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}$$

मूल गुण

वास्तविक लघुगणक के कई गुण लघुगणक व्युत्पन्न पर भी लागू होते हैं, तब भी जब फलन धनात्मक वास्तविक में मान नहीं लेता है। उदाहरण के लिए, चूंकि किसी उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक का योग है, हमारे पास है

$$(\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.$$

तो सकारात्मक-वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए, किसी उत्पाद का लॉगरिदमिक व्युत्पन्न कारकों के लॉगरिदमिक डेरिवेटिव का योग है। लेकिन हम किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए जनरल लीबनिज नियम का भी उपयोग कर सकते हैं

$${\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.$$

इस प्रकार, यह किसी भी फ़ंक्शन के लिए सही है कि किसी उत्पाद का लॉगरिदमिक डेरिवेटिव कारकों के लॉगरिदमिक डेरिवेटिव का योग है (जब वे परिभाषित होते हैं)।

इसका एक परिणाम यह है कि किसी फलन के व्युत्क्रम का लघुगणकीय व्युत्पन्न फलन के लघुगणक व्युत्पन्न का निषेध है:

$${\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},$$

जिस प्रकार एक धनात्मक वास्तविक संख्या के व्युत्क्रम का लघुगणक संख्या के लघुगणक का निषेधन होता है।

अधिक आम तौर पर, भागफल का लॉगरिदमिक व्युत्पन्न लाभांश और भाजक के लॉगरिदमिक डेरिवेटिव का अंतर होता है:

$${\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},$$

जैसे भागफल का लघुगणक भाज्य और भाजक के लघुगणक का अंतर होता है।

एक अन्य दिशा में सामान्यीकरण, एक शक्ति का लघुगणकीय व्युत्पन्न (निरंतर वास्तविक घातांक के साथ) घातांक और आधार के लघुगणकीय व्युत्पन्न का उत्पाद है:

$${\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},$$

जिस प्रकार एक शक्ति का लघुगणक घातांक और आधार के लघुगणक का गुणनफल होता है।

संक्षेप में, व्युत्पन्न और लघुगणक दोनों में एक उत्पाद नियम, एक पारस्परिक नियम, एक भागफल नियम और एक शक्ति नियम होता है (लघुगणकीय सर्वसमिकाओं की सूची की तुलना करें); नियमों की प्रत्येक जोड़ी लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के माध्यम से संबंधित है।

लॉगरिदमिक डेरिवेटिव का उपयोग करके साधारण डेरिवेटिव की गणना

Main article: Logarithmic differentiation

लॉगरिदमिक डेरिवेटिव एक ही परिणाम का उत्पादन करते समय उत्पाद नियम की आवश्यकता वाले डेरिवेटिव की गणना को सरल बना सकते हैं। प्रक्रिया इस प्रकार है: मान लीजिए कि $f(x)=u(x)v(x)$ और हम गणना करना चाहते हैं $f'(x)$. इसे सीधे गणना करने के बजाय $f'=u'v+v'u$, हम इसके लघुगणक व्युत्पन्न की गणना करते हैं। अर्थात्, हम गणना करते हैं:

$${\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.$$

ƒ से गुणा करने पर गणना होती है f′:

$$f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).$$

यह तकनीक सबसे अधिक उपयोगी होती है जब ƒ बड़ी संख्या में कारकों का उत्पाद होता है। यह तकनीक गणना करना संभव बनाती है f′ प्रत्येक कारक के लघुगणक व्युत्पन्न की गणना करके, योग करके और गुणा करके f.

उदाहरण के लिए, हम के लघुगणक व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं $e^{x^{2}}(x-2)^{3}(x-3)(x-1)^{-1}$ होना $2x+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}$.

एकीकृत कारक

लघुगणकीय व्युत्पन्न विचार प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के लिए एकीकृत कारक विधि से निकटता से जुड़ा हुआ है। ऑपरेटर (गणित) शब्दों में, लिखें

$$D={\frac {d}{dx}}$$

और मान लीजिए M किसी दिए गए फलन G(x) द्वारा गुणा के संकारक को निरूपित करता है। तब

$$M^{-1}DM$$

(उत्पाद नियम द्वारा) के रूप में लिखा जा सकता है

$$D+M^{*}$$

कहाँ $M^{*}$ अब लघुगणकीय व्युत्पन्न द्वारा गुणन संकारक को दर्शाता है

$${\frac {G'}{G}}$$

व्यवहार में हमें एक ऑपरेटर दिया जाता है जैसे

$$D+F=L$$

और समीकरणों को हल करना चाहते हैं

$$L(h)=f$$

फ़ंक्शन एच के लिए, दिया गया एफ। यह फिर हल करने के लिए कम हो जाता है

$${\frac {G'}{G}}=F$$

जिसका समाधान के रूप में है

$$\exp \textstyle (\int F)$$

F के किसी भी अनिश्चित समाकल के साथ।

जटिल विश्लेषण

See also: Argument principle

दिए गए सूत्र को अधिक व्यापक रूप से लागू किया जा सकता है; उदाहरण के लिए यदि f(z) एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, तो यह z के सभी जटिल मूल्यों पर समझ में आता है, जहां f में न तो शून्य और न ही ध्रुव होते हैं। इसके अलावा, शून्य या ध्रुव पर लॉगरिदमिक डेरिवेटिव एक तरह से व्यवहार करता है जिसे विशेष मामले के संदर्भ में आसानी से विश्लेषण किया जाता है

जेड^एन

n एक पूर्णांक के साथ, n ≠ 0. लॉगरिदमिक व्युत्पन्न तब है

$$n/z$$

और कोई सामान्य निष्कर्ष निकाल सकता है कि f मेरोमॉर्फिक के लिए, f के लघुगणक व्युत्पन्न की विलक्षणताएं सभी सरल ध्रुव हैं, अवशेष (जटिल विश्लेषण) n के साथ क्रम n के शून्य से, अवशेष -n क्रम n के ध्रुव से। तर्क सिद्धांत देखें। समोच्च एकीकरण में इस जानकारी का अक्सर उपयोग किया जाता है।

Nevanlinna थ्योरी के क्षेत्र में, एक महत्वपूर्ण लेम्मा बताता है कि एक लघुगणकीय व्युत्पन्न का निकटता कार्य मूल कार्य के Nevanlinna विशेषता के संबंध में छोटा है, उदाहरण के लिए $m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))$.

गुणक समूह

लॉगरिदमिक डेरिवेटिव के उपयोग के पीछे जीएल के बारे में दो बुनियादी तथ्य हैं₁, अर्थात वास्तविक संख्याओं का गुणक समूह या अन्य क्षेत्र (गणित)। अंतर ऑपरेटर

$$X{\frac {d}{dX}}$$

तनुकरण के तहत अपरिवर्तनीय (गणित) है (एक स्थिर के लिए एक्स द्वारा एक्स की जगह)। और विभेदक रूप

$${\frac {dx}{X}}$$

इसी प्रकार अपरिवर्तनीय है। कार्यों के लिए जीएल में एफ₁, सूत्र

$${\frac {dF}{F}}$$

इसलिए अपरिवर्तनीय रूप का एक पुलबैक (अंतर ज्यामिति) है।

उदाहरण

• घातीय वृद्धि और घातीय क्षय निरंतर लॉगरिदमिक व्युत्पन्न वाली प्रक्रियाएं हैं।
• गणितीय वित्त में, ग्रीक (वित्त) λ अंतर्निहित मूल्य के संबंध में डेरिवेटिव मूल्य का लघुगणक व्युत्पन्न है।
• संख्यात्मक विश्लेषण में, स्थिति संख्या इनपुट में एक सापेक्ष परिवर्तन के लिए आउटपुट में अतिसूक्ष्म सापेक्ष परिवर्तन है, और इस प्रकार लॉगरिदमिक डेरिवेटिव्स का अनुपात है।

यह भी देखें

• Generalizations of the derivative
• Logarithmic differentiation
• एक समारोह की लोच