अभिन्नों की सूची

This article is about mostly indefinite integrals in calculus. For a list of definite integrals, see List of definite integrals.

This is a dynamic list and may never be able to satisfy particular standards for completeness. You can help by adding missing items with reliable sources.

समाकलन गणित में इंटीग्रल बुनियादी ऑपरेशन है। जबकि व्युत्पन्न में सीधे विभेदन नियम होते हैं जिनके द्वारा एक जटिल फ़ंक्शन (गणित) का व्युत्पन्न इसके सरल घटक कार्यों को अलग करके पाया जा सकता है, एकीकरण नहीं होता है, इसलिए ज्ञात अभिन्न की तालिकाएं अक्सर उपयोगी होती हैं। यह पृष्ठ कुछ सबसे आम [[ antiderivative ]]्स को सूचीबद्ध करता है।

अभिन्नों का ऐतिहासिक विकास

जर्मन गणितज्ञ द्वारा इंटीग्रल्स (इंटीग्रल्टाफेलन) और इंटीग्रल कैलकुलस की तकनीकों की एक सूची का संकलन प्रकाशित किया गया था Meier Hirsch (उर्फ Meyer Hirsch) 1810 में। इन तालिकाओं को 1823 में यूनाइटेड किंगडम में पुनः प्रकाशित किया गया था। अधिक व्यापक तालिकाओं को 1858 में डच गणितज्ञ डेविड बीरेन्स डी हान द्वारा उनके टेबल्स डी'इंटेग्रेल्स डेफिनिस के लिए संकलित किया गया था, जिसे पूरक ऑक्स टेबल्स डी'इंटेग्रेल्स डेफिनिस इन सीए द्वारा पूरक किया गया था। . 1864. 1867 में नोवेल्स टेबल्स डी इंटेग्रेल्स डेफिनीज़ शीर्षक के तहत एक नया संस्करण प्रकाशित किया गया था। ये तालिकाएँ, जिनमें मुख्य रूप से प्राथमिक कार्यों के अभिन्न अंग शामिल हैं, 20वीं सदी के मध्य तक उपयोग में रहीं। फिर उन्हें ग्रैडस्टीन और रयज़िक की अधिक व्यापक तालिकाओं से बदल दिया गया। ग्रैडस्टीन और रयज़िक में, बायरेन्स डी हान की पुस्तक से उत्पन्न अभिन्नों को बीआई द्वारा दर्शाया गया है।

सभी बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्तियों में बंद-फ़ॉर्म एंटीडेरिवेटिव नहीं होते हैं; यह अध्ययन विभेदक गैलोज़ सिद्धांत का विषय बनता है, जिसे शुरू में 1830 और 1840 के दशक में जोसेफ लिउविले द्वारा विकसित किया गया था, जिससे लिउविले का प्रमेय (विभेदक बीजगणित) सामने आया। लिउविले का प्रमेय जो वर्गीकृत करता है कि कौन से भावों में बंद-रूप वाले एंटीडेरिवेटिव हैं। बंद-फ़ॉर्म एंटीडेरिवेटिव के बिना फ़ंक्शन का एक सरल उदाहरण है e^−x2, जिसका प्रतिअवकलन (स्थिरांक तक) त्रुटि फलन है।

1968 से अनिश्चितकालीन इंटीग्रल निर्धारित करने के लिए जोखिम एल्गोरिथ्म मौजूद है जिसे प्राथमिक कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, आमतौर पर कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली का उपयोग करके। जिन इंटीग्रल्स को प्राथमिक फ़ंक्शंस का उपयोग करके व्यक्त नहीं किया जा सकता है, उन्हें मीजर जी-फ़ंक्शन जैसे सामान्य फ़ंक्शंस का उपयोग करके प्रतीकात्मक रूप से हेरफेर किया जा सकता है।

अभिन्नों की सूचियाँ

इंटीग्रल की सूचियों के लिए अधिक विवरण निम्नलिखित पृष्ठों पर पाया जा सकता है:

• तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची
• अपरिमेय कार्यों के अभिन्नों की सूची
• त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलनों की सूची
• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलनों की सूची
• अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के अभिन्नों की सूची
• व्युत्क्रम अतिपरवलयिक फलनों के समाकलनों की सूची
• घातांकीय फलनों के अभिन्नों की सूची
• लघुगणकीय कार्यों के अभिन्नों की सूची
• गाऊसी कार्यों के अभिन्नों की सूची

इज़राइल सोलोमोनोविच ग्रैडस्टीन, इओसिफ़ मोइसेविच रयज़िक, यूरी वेनियामिनोविच गेरोनिमस, मिखाइल यूलिविच ज़िटलिन, जेफरी, ज़विलिंगर, और विक्टर ह्यूगो मोल (जीआर) की इंटीग्रल, श्रृंखला और उत्पादों की तालिका में परिणामों का एक बड़ा संग्रह शामिल है। इससे भी बड़ी, मल्टीवॉल्यूम तालिका अनातोली प्रुडनिकोव, यूरी अलेक्जेंड्रोविच ब्रुचकोव और ओलेग इगोरविच मिचेव द्वारा इंटीग्रल्स और सीरीज़ है (खंड 1-3 में प्राथमिक कार्यों और विशेष कार्यों की इंटीग्रल और श्रृंखला सूचीबद्ध है, खंड 4-5 लाप्लास परिवर्तनों की तालिकाएँ हैं) . उदाहरण के लिए अधिक संक्षिप्त संग्रह पाए जा सकते हैं। ब्रिचकोव, मारीचेव, प्रुडनिकोव की अनिश्चितकालीन इंटीग्रल्स की तालिकाएं, या ज़्विलिंगर की सीआरसी मानक गणितीय तालिकाओं और सूत्रों में अध्याय के रूप में या ब्रोंस्टीन और सेमेन्डयेव की गणित के लिए एक गाइड बुक, गणित की हैंडबुक या गणित के लिए ऑक्सफोर्ड उपयोगकर्ता गाइड | गणित के लिए उपयोगकर्ता गाइड, और अन्य गणितीय हस्तपुस्तिकाएँ.

अन्य उपयोगी संसाधनों में अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन और बेटमैन पांडुलिपि परियोजना शामिल हैं। दोनों कार्यों में विशिष्ट अभिन्नताओं से संबंधित कई पहचान शामिल हैं, जिन्हें एक अलग तालिका में एकत्रित करने के बजाय सबसे प्रासंगिक विषय के साथ व्यवस्थित किया गया है। बेटमैन पांडुलिपि के दो खंड अभिन्न परिवर्तनों के लिए विशिष्ट हैं।

ऐसी कई वेबसाइटें हैं जिनमें मांग पर इंटीग्रल और इंटीग्रल की तालिकाएं उपलब्ध हैं। वोल्फरम अल्फा परिणाम दिखा सकता है, और कुछ सरल अभिव्यक्तियों के लिए, एकीकरण के मध्यवर्ती चरण भी दिखा सकता है। वोल्फ्राम अनुसंधान एक अन्य ऑनलाइन सेवा, मैथमेटिका ऑनलाइन इंटीग्रेटर भी संचालित करता है।

सरल कार्यों के समाकलन

C का उपयोग एकीकरण के एक मनमाने स्थिरांक के लिए किया जाता है जिसे केवल तभी निर्धारित किया जा सकता है जब किसी बिंदु पर अभिन्न के मूल्य के बारे में कुछ ज्ञात हो। इस प्रकार, प्रत्येक फ़ंक्शन में अनंत संख्या में एंटीडेरिवेटिव होते हैं।

ये सूत्र केवल डेरिवेटिव की तालिका में दावे को दूसरे रूप में बताते हैं।

एकवचनता के साथ समाकलन

जब एकीकृत किए जा रहे फ़ंक्शन में एक विलक्षणता (गणित) होती है, जिससे कि प्रतिअवकलन अपरिभाषित हो जाता है या किसी बिंदु पर (एकवचनता) हो जाती है, तो C को विलक्षणता के दोनों तरफ समान होने की आवश्यकता नहीं होती है। नीचे दिए गए फॉर्म आम तौर पर C के मान में एक विलक्षणता के आसपास कॉची प्रमुख मूल्य मानते हैं लेकिन यह सामान्य रूप से आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए में

$$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$$

0 पर एक विलक्षणता होती है और वहां प्रतिअवकलन अनंत हो जाता है। यदि उपरोक्त इंटीग्रल का उपयोग -1 और 1 के बीच एक निश्चित इंटीग्रल की गणना करने के लिए किया जाता है, तो किसी को गलत उत्तर 0 मिलेगा। हालांकि, यह एकवचन के आसपास इंटीग्रल का कॉची प्रिंसिपल मान है। यदि एकीकरण जटिल तल में किया जाता है तो परिणाम मूल के चारों ओर के पथ पर निर्भर करता है, इस मामले में विलक्षणता योगदान देती है -iπ मूल और i के ऊपर पथ का उपयोग करते समयπ मूल बिंदु के नीचे पथ के लिए। वास्तविक रेखा पर एक फ़ंक्शन मूल के दोनों ओर C के पूरी तरह से भिन्न मान का उपयोग कर सकता है:

$$\int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

तर्कसंगत कार्य

See also: List of integrals of rational functions

• $\int a\,dx=ax+C$

निम्नलिखित फ़ंक्शन में 0 पर एक गैर-अभिन्न एकवचनता है n ≤ −1:

• $\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$ (कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र)
• $\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$
• $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$
  • आम तौर पर अधिक,
    $$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$$
• $\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

घातांकीय फलन

See also: List of integrals of exponential functions

• $\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C$
• $\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$
• $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$
• $\int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\,dx}=e^{x}f\left(x\right)+C$
• $\int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$
  (अगर $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है)
• $\int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C$
  (अगर $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है)

लघुगणक

See also: List of integrals of logarithmic functions

• $\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$
• $\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x\ln x-x}{\ln a}}+C$

त्रिकोणमितीय फलन

See also: List of integrals of trigonometric functions

• $\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$
• $\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$
• $\int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$
• $\int \cot {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}\right|}+C=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$
• $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$
  • (सेकेंट फ़ंक्शन का इंटीग्रल देखें। यह परिणाम 17वीं शताब्दी में एक प्रसिद्ध अनुमान था।)
• $\int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C$
• $\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
• $\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
• $\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$
• $\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$
• $\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$
• $\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$
• $\int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C$
• $\int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C$
• $\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C$
  • (सेकेंट क्यूब का अभिन्न अंग देखें।)
• $\int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C$
• $\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$
• $\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

See also: List of integrals of inverse trigonometric functions

• $\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
• $\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
• $\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
• $\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
• $\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$
• $\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य

See also: List of integrals of hyperbolic functions

• $\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$
• $\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$
• $\int \tanh x\,dx=\ln \,(\cosh x)+C$
• $\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
• $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C$
• $\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln |\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x|+C=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
• $\int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\tanh x+C$
• $\int \operatorname {csch} ^{2}x\,dx=-\operatorname {coth} x+C$
• $\int \operatorname {sech} {x}\,\operatorname {tanh} {x}\,dx=-\operatorname {sech} {x}+C$
• $\int \operatorname {csch} {x}\,\operatorname {coth} {x}\,dx=-\operatorname {csch} {x}+C$

प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन

See also: List of integrals of inverse hyperbolic functions

• $\int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x$
• $\int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1$
• $\int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1$
• $\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1$
• $\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1$
• $\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\vert \operatorname {arcsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0$

फ़ंक्शंस के उत्पाद उनके दूसरे डेरिवेटिव के समानुपाती होते हैं

• $\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$
• $\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$
• $\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$
• $\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

पूर्ण-मूल्य फ़ंक्शन

होने देना f एक सतत फलन हो, जिसमें फलन का अधिकतम एक शून्य हो। अगर f में शून्य है, मान लीजिए g का अद्वितीय प्रतिअवकलन हो f अर्थात् मूल में शून्य है f; अन्यथा, चलो g का कोई भी प्रतिव्युत्पन्न हो f. तब

$$\int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,$$

कहाँ sgn(x) साइन फ़ंक्शन है, जो मान -1, 0, 1 लेता है x क्रमशः ऋणात्मक, शून्य या धनात्मक है।

इसे सूत्र के दाईं ओर के व्युत्पन्न की गणना करके, इस स्थिति को ध्यान में रखते हुए सिद्ध किया जा सकता है g अभिन्न की निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए यहां है।

यह निम्नलिखित सूत्र देता है (जहाँ a ≠ 0), जो किसी भी अंतराल पर मान्य हैं f सतत है (बड़े अंतरालों पर, स्थिरांक C को टुकड़े-टुकड़े स्थिर फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए):

• $\int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C$
  कब n अजीब है, और $n\neq -1$.
• $\int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C$
  कब ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ कुछ पूर्णांक के लिए n.
• $\int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C$
  कब $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ कुछ पूर्णांक के लिए n.
• $\int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C$
  कब ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ कुछ पूर्णांक के लिए n.
• $\int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C$
  कब $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ कुछ पूर्णांक के लिए n.

यदि फ़ंक्शन f में कोई सतत प्रतिअवकलन नहीं है जो शून्य पर मान शून्य लेता है f (यह ज्या और कोज्या कार्यों के लिए मामला है), तो sgn(f(x)) ∫ f(x) dx का प्रतिव्युत्पन्न है f प्रत्येक अंतराल पर (गणित) जिस पर f शून्य नहीं है, लेकिन उन बिंदुओं पर असंतत हो सकता है f(x) = 0. एक सतत प्रतिअवकलन के लिए, किसी को एक अच्छी तरह से चयनित चरण फ़ंक्शन जोड़ना होगा। यदि हम इस तथ्य का भी उपयोग करें कि साइन और कोसाइन के पूर्ण मान आवर्त के साथ आवर्ती होते हैं π, तो हमें मिलता है:

• $\int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C$
• $\int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C$

विशेष कार्य

Ci, Si: त्रिकोणमितीय अभिन्न, Ei: घातीय अभिन्न, li: लघुगणकीय अभिन्न कार्य, erf: त्रुटि फ़ंक्शन

• $\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x$
• $\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x$
• $\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}$
• $\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)$
• $\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x$
• $\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)$

निश्चित समाकलन में बंद-रूप प्रतिअवकलजों का अभाव

कुछ ऐसे फ़ंक्शन हैं जिनके एंटीडेरिवेटिव को बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्ति में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, कुछ सामान्य अंतरालों पर इनमें से कुछ कार्यों के निश्चित अभिन्नों के मूल्यों की गणना की जा सकती है। कुछ उपयोगी इंटीग्रल नीचे दिये गये हैं।

• $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (गामा फ़ंक्शन भी देखें)
• $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ के लिए a > 0 (गाऊसी अभिन्न)
• $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ के लिए a > 0
• $\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}$
  के लिए a > 0, n एक धनात्मक पूर्णांक है और !! दोहरा भाज्य है।
• $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ कब a > 0
• $\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}$
  के लिए a > 0, n = 0, 1, 2, ....
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (बर्नौली संख्या भी देखें)
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40$
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}$
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ (सिन फ़ंक्शन और डिरिचलेट इंटीग्रल देखें)
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$
• $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$
  (अगर n एक धनात्मक पूर्णांक है और!! डबल फैक्टोरियल है)।
• $\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
  (के लिए α, β, m, n पूर्णांकों के साथ β ≠ 0 और m, n ≥ 0, द्विपद गुणांक भी देखें)
• $\int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0$
  (के लिए α, β असली, n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक, और m एक विषम, धनात्मक पूर्णांक; चूंकि इंटीग्रैंड विषम फ़ंक्शन है)
• $\int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
  (के लिए α, β, m, n पूर्णांकों के साथ β ≠ 0 और m, n ≥ 0, द्विपद गुणांक भी देखें)
• $\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
  (के लिए α, β, m, n पूर्णांकों के साथ β ≠ 0 और m, n ≥ 0, द्विपद गुणांक भी देखें)
• $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
  (कहाँ exp[u] घातांकीय फलन है e^u, और a > 0.)
• $\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$
  (कहाँ $\Gamma (z)$ गामा फ़ंक्शन है)
• $\int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)$
• $\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$
  (के लिए Re(α) > 0 और Re(β) > 0, बीटा फ़ंक्शन देखें)
• $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (कहाँ I₀(x) पहली तरह का संशोधित बेसेल फ़ंक्शन है)
• $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}$
  (के लिए ν > 0 , यह छात्र के टी-वितरण की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन से संबंधित है | छात्र का टी-वितरण)

यदि फ़ंक्शन f अंतराल पर सीमित भिन्नता है [a,b], तो थकावट की विधि अभिन्न के लिए एक सूत्र प्रदान करती है:

$$\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).$$

द्वितीय वर्ष के छात्र का सपना :

$${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}$$

जोहान बर्नौली को जिम्मेदार ठहराया गया।

यह भी देखें

• Differentiation rules
• Incomplete gamma function
• Indefinite sum
• Integration using Euler's formula
• Liouville's theorem (differential algebra)
• List of limits
• List of mathematical identities
• List of mathematical series
• Nonelementary integral
• Symbolic integration

अग्रिम पठन

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik (in German). Vol. 1. Translated by Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). ISBN 3-87144-492-8.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276. (Several previous editions as well.)
• Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович); Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981−1986 (Russian)]. Integrals and Series. Vol. 1–5. Translated by Queen, N. M. (1 ed.). (Nauka) Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press. ISBN 2-88124-097-6.. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564.
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)
• Meyer Hirsch, Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
• Meyer Hirsch, Integral Tables Or A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)

बाहरी संबंध

अभिन्नों की सारणी

• पॉल के ऑनलाइन गणित नोट्स
• ए. डाइकमैन, इंटीग्रल्स की तालिका (अण्डाकार कार्य, वर्गमूल, व्युत्क्रम स्पर्शरेखा और अधिक विदेशी कार्य): अनिश्चितकालीन इंटीग्रल [ http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/IntegralsDefinite/DefInt.html निश्चित इंटीग्रल्स]
• गणित प्रमुख: इंटीग्रल्स की एक तालिका
• O'Brien, Francis J. Jr. "प्राथमिक और विशेष कार्यों के 500 अभिन्न अंग".घातांकीय, लघुगणकीय कार्यों और विशेष कार्यों के व्युत्पन्न अभिन्न अंग।
• नियम-आधारित एकीकरण इंटीग्रैंड्स की एक विस्तृत श्रेणी को कवर करने वाले सटीक रूप से परिभाषित अनिश्चितकालीन एकीकरण नियम
• Mathar, Richard J. (2012). "अभिन्नों की एक और तालिका". arXiv:1207.5845 [math.CA].

व्युत्पत्तियाँ

• विक्टर ह्यूगो मोल, द इंटीग्रल्स इन ग्रैडस्टीन और रयज़िक

ऑनलाइन सेवा

• वोल्फ्राम अल्फा के लिए एकीकरण उदाहरण

ओपन सोर्स प्रोग्राम

• [कई गणितीय समस्याओं के प्रतीकात्मक और संख्यात्मक समाधान के लिए http://wxmaxima.sourceforge.net/ wxmaxima gui]

वीडियो

• अस्तित्व में सबसे शक्तिशाली एकीकरण तकनीक। समरूपता पर ज्वलनशील गणित द्वारा YouTube वीडियो

श्रेणी:अभिन्नों की सूचियाँ श्रेणी:गणित की सूचियाँ श्रेणी:गणितीय पहचान