वाक्य (गणितीय तर्क)

यह लेख विधेय तर्क के क्षेत्र में एक तकनीकी गणितीय लेख है। सामान्य अंग्रेजी भाषा के अर्थ के लिए वाक्य (भाषाविज्ञान) देखें, कम तकनीकी परिचयात्मक लेख के लिए वक्तव्य (तर्क) देखें।

गणितीय तर्क में, एक 'वाक्य' (या 'बंद सूत्र') प्रथम-क्रम तर्क का एक बूलियन बीजगणित-मूल्यवान अच्छी तरह से गठित सूत्र है जिसमें कोई मुक्त चर और बाध्य चर नहीं है। एक वाक्य को एक प्रस्ताव (गणित) व्यक्त करने के रूप में देखा जा सकता है, जो कुछ सही या गलत होना चाहिए। यह सुनिश्चित करने के लिए कोई मुक्त चर नहीं होने का प्रतिबंध आवश्यक है कि वाक्यों में ठोस, निश्चित सत्य मान हो सकते हैं: जैसा कि एक (सामान्य) सूत्र के मुक्त चर कई मानों में हो सकते हैं, ऐसे सूत्र का सत्य मान भिन्न हो सकता है।

जिन वाक्यों में कोई तार्किक संयोजक या परिमाणक (तर्क)तर्क) नहीं होता है, उन्हें परमाणु वाक्य के रूप में जाना जाता है; परमाणु सूत्र के अनुरूप। इसके बाद संयोजकों और परिमाणकों का प्रयोग करके परमाणु सूत्रों से वाक्यों का निर्माण किया जाता है।

वाक्यों के समूह को थ्योरी (गणितीय तर्क) कहा जाता है; इस प्रकार, अलग-अलग वाक्यों को प्रमेय कहा जा सकता है। किसी वाक्य की सत्यता (या असत्यता) का ठीक से मूल्यांकन करने के लिए, किसी को सिद्धांत की व्याख्या (तर्क) का संदर्भ देना चाहिए। प्रथम-क्रम सिद्धांतों के लिए, व्याख्याओं को सामान्यतः संरचना (गणितीय तर्क) कहा जाता है। एक संरचना या व्याख्या को देखते हुए, एक वाक्य का एक निश्चित सत्य मान होगा। एक सिद्धांत संतुष्टि है जब एक व्याख्या प्रस्तुत करना संभव है जिसमें इसके सभी वाक्य सत्य हैं। एल्गोरिदम का अध्ययन स्वचालित रूप से उन सिद्धांतों की व्याख्याओं की खोज करता है जो सभी वाक्यों को सत्य के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जिसे संतुष्टि मॉडुलो सिद्धांतों की समस्या के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

पहले क्रम के तर्क में निम्न उदाहरण

$\forall y\exists x(x^{2}=y)$

is एक वाक्य। यह वाक्य धनात्मक वास्तविक संख्या ℝ में सत्य है⁺, वास्तविक संख्या में असत्य ℝ, और सम्मिश्र संख्या ℂ में सत्य। (सादे अंग्रेजी में, इस वाक्य की व्याख्या इस अर्थ में की जाती है कि संबंधित संरचना का प्रत्येक सदस्य उस विशेष संरचना के सदस्य का वर्ग (बीजगणित) है।) दूसरी ओर, सूत्र

$\exists x(x^{2}=y)$

है not मुक्त चर y की उपस्थिति के कारण एक वाक्य। वास्तविक संख्याओं की संरचना में, यह सूत्र सत्य है यदि हम (मनमाने ढंग से) y = 2 प्रतिस्थापित करते हैं, लेकिन गलत है यदि y = -2।

यह एक मुक्त चर की उपस्थिति है, न कि अस्थिर सत्य मान, जो महत्वपूर्ण है; उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्याओं की संरचना में भी, जहाँ कथन हमेशा सत्य होता है, फिर भी इसे वाक्य नहीं माना जाता है। इसके बजाय ऐसे सूत्र को विधेय (तर्क) कहा जा सकता है।

यह भी देखें

• जमीनी अभिव्यक्ति
• खुला सूत्र
• कथन (तर्क)
• प्रस्ताव

संदर्भ

• Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
• Rautenberg, Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd ed.), New York: Springer Science+Business Media, doi:10.1007/978-1-4419-1221-3, ISBN 978-1-4419-1220-6.