किसी फ़ंक्शन का डोमेन

एक समारोह f से X प्रति Y. लाल अंडाकार में बिंदुओं का समूह X का डोमेन है f.

वास्तविक-मूल्यवान वर्गमूल फलन का ग्राफ, f(x) = √x, जिसके डोमेन में सभी गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याएँ होती हैं

गणित में, किसी फलन (गणित) का क्षेत्र फलन द्वारा स्वीकार किए गए निवेशों का समुच्चय (गणित) होता है। इसे कभी-कभी द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {dom} (f)$ या $\operatorname {dom} f$, कहाँ पे f कार्य है।

अधिक सटीक, एक समारोह दिया $f\colon X\to Y$, का डोमेन f है X. ध्यान दें कि आधुनिक गणितीय भाषा में, डोमेन इसकी संपत्ति के बजाय फ़ंक्शन की परिभाषा का हिस्सा है।

विशेष मामले में कि X तथा Y के दोनों उपसमुच्चय हैं $\mathbb {R}$, कार्यक्रम f कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में रेखांकन किया जा सकता है। इस मामले में, डोमेन पर प्रतिनिधित्व किया जाता है xग्राफ के अक्ष, पर समारोह के ग्राफ के प्रक्षेपण के रूप में x-एक्सिस।

एक समारोह के लिए $f\colon X\to Y$, सेट Y कोडोमेन कहा जाता है, और फ़ंक्शन द्वारा प्राप्त मूल्यों का सेट (जो एक सबसेट है Y) किसी फ़ंक्शन या छवि (गणित) की इसकी श्रेणी कहा जाता है।

किसी भी फ़ंक्शन को उसके डोमेन के सबसेट तक सीमित किया जा सकता है। का प्रतिबंध (गणित)। $f\colon X\to Y$ प्रति $A$, कहाँ पे $A\subseteq X$, के रूप में लिखा गया है $\left.f\right|_{A}\colon A\to Y$.

प्राकृतिक डोमेन

यदि एक वास्तविक कार्य f एक सूत्र द्वारा दिया गया है, इसे चर के कुछ मानों के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, यह एक आंशिक कार्य है, और वास्तविक संख्याओं का सेट जिस पर वास्तविक संख्या के लिए सूत्र का मूल्यांकन किया जा सकता है, प्राकृतिक डोमेन या परिभाषा का डोमेन कहा जाता है f. कई संदर्भों में, एक आंशिक कार्य को केवल एक कार्य कहा जाता है, और इसके प्राकृतिक डोमेन को केवल इसका डोमेन कहा जाता है।

उदाहरण

• कार्यक्रम $f$ द्वारा परिभाषित $f(x)={\frac {1}{x}}$ 0 पर मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है। इसलिए का प्राकृतिक डोमेन $f$ 0 को छोड़कर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, जिसे निरूपित किया जा सकता है $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ या $\{x\in \mathbb {R} :x\neq 0\}$.
• टुकड़ा-टुकड़ा कार्य $f$ द्वारा परिभाषित $f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}},$ इसका प्राकृतिक डोमेन सेट है $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का।
• वर्गमूल समारोह $f(x)={\sqrt {x}}$ इसके प्राकृतिक डोमेन के रूप में गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है, जिसे निरूपित किया जा सकता है $\mathbb {R} _{\geq 0}$, अंतराल $[0,\infty )$, या $\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$.
• स्पर्शरेखा समारोह, निरूपित $\tan$, का प्राकृतिक प्रांत उन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो इस रूप के नहीं हैं ${\tfrac {\pi }{2}}+k\pi$ कुछ पूर्णांक के लिए $k$, जिसे लिखा जा सकता है $\mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi :k\in \mathbb {Z} \}$.

अन्य उपयोग

Main article: Domain (mathematical analysis)

डोमेन शब्द गणित के कुछ क्षेत्रों में अन्य संबंधित अर्थों के साथ प्रयोग किया जाता है। टोपोलॉजी में, एक डोमेन एक कनेक्टेड स्पेस ओपन सेट है। वास्तविक विश्लेषण और जटिल विश्लेषण में, एक डोमेन एक वास्तविक संख्या या जटिल संख्या वेक्टर अंतरिक्ष का एक खुला सेट कनेक्टेड स्पेस सबसेट है। आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, एक डोमेन यूक्लिडियन अंतरिक्ष का खुला जुड़ा सबसेट है $\mathbb {R} ^{n}$ जहां एक समस्या उत्पन्न होती है (अर्थात, जहां अज्ञात कार्य परिभाषित होते हैं)।

सैद्धान्तिक धारणाएँ निर्धारित करें

उदाहरण के लिए, सेट थ्योरी में कभी-कभी फ़ंक्शन के डोमेन को क्लास (सेट थ्योरी) होने की अनुमति देना सुविधाजनक होता है। X, इस मामले में औपचारिक रूप से ट्रिपल जैसी कोई चीज़ नहीं है (X, Y, G). इस तरह की परिभाषा के साथ, कार्यों में एक डोमेन नहीं होता है, हालांकि कुछ लेखक फॉर्म में फ़ंक्शन पेश करने के बाद भी अनौपचारिक रूप से इसका उपयोग करते हैं f: X → Y.

यह भी देखें

• विशेषता डोमेन
• आपत्ति, इंजेक्शन और प्रक्षेपण
• कोडोमेन
• डोमेन अपघटन
• प्रभावी डोमेन
• छवि (गणित)
• लिपशिट्ज डोमेन
• भोले सेट सिद्धांत
• समर्थन (गणित)

संदर्भ

• Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.