सी-न्यूनतम सिद्धांत

मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क की एक शाखा, सी-न्यूनतम सिद्धांत एक सिद्धांत है जो कुछ गुणों के साथ ट्रायडिक संबंध सी के संबंध में न्यूनतम है। (क्रल) मूल्यांकन के साथ बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड शायद सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।

इस धारणा को ओ-न्यूनतम सिद्धांत|ओ-न्यूनतम सिद्धांतों के अनुरूप परिभाषित किया गया था, जो एक रैखिक क्रम के संबंध में न्यूनतम (उसी अर्थ में) हैं।

परिभाषा

C-संबंध एक त्रिक संबंध C(x;y,z) है जो निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करता है।

1. $\forall xyz\,[C(x;y,z)\rightarrow C(x;z,y)],$
2. $\forall xyz\,[C(x;y,z)\rightarrow \neg C(y;x,z)],$
3. $\forall xyzw\,[C(x;y,z)\rightarrow (C(w;y,z)\vee C(x;w,z))],$
4. $\forall xy\,[x\neq y\rightarrow \exists z\neq y\,C(x;y,z)].$

सी-न्यूनतम संरचना एक संरचना (गणितीय तर्क) एम है, एक हस्ताक्षर (तर्क) में प्रतीक सी होता है, जैसे कि सी उपरोक्त सिद्धांतों और तत्वों के हर सेट को संतुष्ट करता है एम जो एम में मापदंडों के साथ परिभाषित किया जा सकता है, सी के उदाहरणों का एक बूलियन संयोजन है, यानी फॉर्म सी(x;b) के सूत्रों का ,c), जहां b और c M के तत्व हैं।

किसी सिद्धांत को सी-मिनिमल कहा जाता है यदि उसके सभी मॉडल सी-मिनिमल हों। किसी संरचना को दृढ़ता से सी-न्यूनतम कहा जाता है यदि उसका सिद्धांत सी-न्यूनतम है। कोई सी-न्यूनतम संरचनाएं बना सकता है जो दृढ़ता से सी-न्यूनतम नहीं हैं।

उदाहरण

एक अभाज्य संख्या p और एक p-adic संख्या|p-adic संख्या a के लिए, मान लीजिए |a|_p इसके पी-एडिक निरपेक्ष मान को निरूपित करें। फिर संबंध द्वारा परिभाषित $C(a;b,c)\iff |b-c|_{p}<|a-c|_{p}$ एक सी-रिलेशन है, और 'क्यू' का सिद्धांत_p जोड़ के साथ और यह संबंध सी-न्यूनतम है। Q का सिद्धांत_p हालाँकि, एक फ़ील्ड सी-न्यूनतम नहीं है।

संदर्भ

• Macpherson, Dugald; Steinhorn, Charles (1996), "On variants of o-minimality", Annals of Pure and Applied Logic, 79 (2): 165–209, doi:10.1016/0168-0072(95)00037-2
• Haskell, Deirdre; Macpherson, Dugald (1994), "Cell decompositions of C-minimal structures", Annals of Pure and Applied Logic, 66 (2): 113–162, doi:10.1016/0168-0072(94)90064-7