अलेफ़ संख्या

"ℵ" redirects here. For the letter, see Aleph. For other uses, see Aleph (disambiguation) and Alef (disambiguation).

एलेफ़-शून्य, एलेफ़-शून्य, या एलेफ़-नल, सबसे छोटी अनंत कार्डिनल संख्या

गणित में, विशेष रूप से सेट सिद्धांत में, एलेफ़ संख्याएँ संख्याओं का एक अनुक्रम है जिसका उपयोग अनंत सेटों की प्रमुखता (या आकार) को दर्शाने के लिए किया जाता है जिन्हें अच्छी तरह से क्रमबद्ध किया जा सकता है। इनका परिचय गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर द्वारा किया गया था और उनका नाम उस प्रतीक के नाम पर रखा गया है जिसका उपयोग उन्होंने उन्हें दर्शाने के लिए किया था, Aleph ़ अक्षर एलेफ़ ($\,\aleph \,$).

प्राकृतिक संख्याओं की प्रमुखता है $\,\aleph _{0}\,$ (एलेफ-नॉट या एलेफ-जीरो पढ़ें; एलेफ-नल शब्द का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है), एक सुव्यवस्थित सेट की अगली बड़ी कार्डिनैलिटी एलेफ-वन है $\,\aleph _{1}\;,$ तब $\,\aleph _{2}\,$ और इसी तरह। इस प्रकार जारी रखते हुए, एक कार्डिनल संख्या को परिभाषित करना संभव है $\,\aleph _{\alpha }\,$ प्रत्येक क्रमिक संख्या के लिए $\,\alpha \;,$ नीचे में वर्णित किया गया है।

अवधारणा और अंकन जॉर्ज कैंटर के कारण हैं, जिन्होंने कार्डिनलिटी की धारणा को परिभाषित किया और जॉर्ज कैंटर के पहले सेट सिद्धांत लेख को महसूस किया।

एलेफ़ संख्याएँ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से भिन्न होती हैं ($\,\infty \,$) आमतौर पर बीजगणित और कैलकुलस में पाया जाता है, जिसमें एलेफ्स सेट के आकार को मापते हैं, जबकि अनंत को आमतौर पर या तो वास्तविक संख्या रेखा की चरम सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाता है (किसी फ़ंक्शन (गणित) या अनुक्रम पर लागू होता है जो श्रृंखला को अलग करता है) अनंत या बिना किसी सीमा के बढ़ता है), या विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा के चरम बिंदु के रूप में।

अलेफ-शून्य

$\,\aleph _{0}\,$ (एलेफ़-ज़ीरो, एलेफ़-नॉट या एलेफ़-नल भी) सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी है, और एक ट्रांसफ़िनिट संख्या है। सभी परिमित क्रमसूचक संख्याओं के समुच्चय को कहा जाता है$\,\omega \,$या$\,\omega _{0}\,$(कहाँ $\,\omega \,$ यह लोअरकेस ग्रीक अक्षर ओमेगा है), इसमें कार्डिनैलिटी है $\,\aleph _{0}\,$. एक सेट में कार्डिनैलिटी होती है $\,\aleph _{0}\,$ यदि और केवल यदि यह गणनीय रूप से अनंत है, अर्थात, इसके और प्राकृतिक संख्याओं के बीच एक आपत्ति (एक-से-एक पत्राचार) है। ऐसे सबसेट के उदाहरण हैं

• सभी पूर्णांकों का समुच्चय,
• पूर्णांकों का कोई अनंत उपसमुच्चय, जैसे सभी वर्ग संख्याओं का समुच्चय या सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय,
• सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय,
• सभी रचनात्मक संख्याओं का समुच्चय (ज्यामितीय अर्थ में),
• सभी बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय,
• सभी गणना योग्य संख्याओं का समुच्चय,
• सभी गणना योग्य कार्यों का सेट,
• सीमित लंबाई की सभी बाइनरी स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) का सेट, और
• किसी दिए गए गणनीय अनंत समुच्चय के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय।

ये अनंत क्रम: $\,\omega \;,$ $\,\omega +1\;,$ $\,\omega \,\cdot 2\,,\,$ $\,\omega ^{2}\,,$ $\,\omega ^{\omega }\,$ और एप्सिलॉन संख्या (गणित)|$\,\varepsilon _{0}\,$असंख्य अनंत समुच्चयों में से हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम (क्रमानुक्रम के साथ $\,\omega \,\cdot 2\,$) सभी धनात्मक विषम पूर्णांकों के बाद सभी धनात्मक सम पूर्णांकों का

$\,\{\,1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...\,\}\,$

सेट का एक क्रम है (कार्डिनैलिटी के साथ)। $\aleph _{0}$) धनात्मक पूर्णांकों का।

यदि गणनीय विकल्प का सिद्धांत (पसंद के सिद्धांत का कमजोर संस्करण) कायम रहता है, तो $\,\aleph _{0}\,$ किसी भी अन्य अनंत कार्डिनल से छोटा है।

अलेफ़-एक

"Aleph One" redirects here. For other uses, see Aleph One (disambiguation).

$\,\aleph _{1}\,$ सभी गणनीय क्रमसूचक संख्याओं के समुच्चय की कार्डिनैलिटी कहलाती है $\,\omega _{1}\,$ या कभी-कभी $\,\Omega \,$. यह $\,\omega _{1}\,$ यह स्वयं एक क्रमसूचक संख्या है जो सभी गणनीय संख्याओं से बड़ी है, इसलिए यह एक अगणनीय समुच्चय है। इसलिए, $\,\aleph _{1}\,$ से भिन्न है $\,\aleph _{0}\,$. की परिभाषा $\,\aleph _{1}\,$ तात्पर्य (जेडएफ में, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत बिना पसंद के सिद्धांत के) कि बीच में कोई कार्डिनल संख्या नहीं है $\,\aleph _{0}\,$ और $\,\aleph _{1}\,$. यदि पसंद के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है, तो यह आगे साबित किया जा सकता है कि कार्डिनल संख्याओं का वर्ग पूरी तरह से क्रमबद्ध है, और इस प्रकार $\,\aleph _{1}\,$ दूसरी सबसे छोटी अनंत कार्डिनल संख्या है। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके, कोई सेट के सबसे उपयोगी गुणों में से एक दिखा सकता है $\,\omega _{1}\,$: का कोई भी गणनीय उपसमुच्चय $\,\omega _{1}\,$ में एक ऊपरी सीमा होती है $\,\omega _{1}\,$. (यह इस तथ्य से पता चलता है कि गणनीय संख्या में गणनीय सेटों का संघ स्वयं गणनीय है - पसंद के स्वयंसिद्ध के सबसे सामान्य अनुप्रयोगों में से एक।) यह तथ्य स्थिति के अनुरूप है $\,\aleph _{0}\;$ : प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक परिमित समुच्चय का एक अधिकतम होता है जो एक प्राकृतिक संख्या भी है, और परिमित समुच्चयों का परिमित संघ परिमित होता है।

$\,\omega _{1}~$यह वास्तव में एक उपयोगी अवधारणा है, भले ही यह कुछ हद तक विदेशी लगती हो। एक उदाहरण एप्लिकेशन गणनीय संचालन के संबंध में बंद हो रहा है; उदाहरण के लिए, उपसमुच्चय के एक मनमाने संग्रह द्वारा उत्पन्न सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित का स्पष्ट रूप से वर्णन करने का प्रयास करना (उदाहरण के लिए बोरेल पदानुक्रम देखें)। यह बीजगणित (वेक्टर रिक्त स्थान, समूह सिद्धांत, आदि) में पीढ़ी के सबसे स्पष्ट विवरणों की तुलना में कठिन है क्योंकि उन मामलों में हमें केवल परिमित संचालन - योग, उत्पाद, और इसी तरह के संबंध में बंद करना होगा। इस प्रक्रिया में, प्रत्येक गणनीय क्रमसूचक के लिए, अनंत प्रेरण के माध्यम से, सभी संभावित गणनीय संघों और पूरकों को शामिल करके एक सेट को परिभाषित करना और उन सभी के संघ को शामिल करना शामिल है। $\,\omega _{1}$.

निरंतर परिकल्पना

Main article: Continuum hypothesis

See also: Beth number

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की कार्डिनैलिटी (सातत्य की कार्डिनैलिटी) है $\,2^{\aleph _{0}}~.$ इसे ZFC (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संवर्धित ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत) से निर्धारित नहीं किया जा सकता है, जहां यह संख्या एलेफ़ संख्या पदानुक्रम में बिल्कुल फिट बैठती है, लेकिन ZFC से यह पता चलता है कि सातत्य परिकल्पना, CH, पहचान के बराबर है

$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.$

सीएच बताता है कि ऐसा कोई सेट नहीं है जिसकी कार्डिनैलिटी पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं के बीच सख्ती से हो। CH, ZFC से स्वतंत्र है: उस स्वयंसिद्ध प्रणाली के संदर्भ में इसे न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत किया जा सकता है (बशर्ते कि ZFC एकरूपता हो)। यह कि CH, ZFC के अनुरूप है, 1940 में कर्ट गोडेल द्वारा प्रदर्शित किया गया था, जब उन्होंने दिखाया कि इसका निषेध ZFC का प्रमेय नहीं है। यह ZFC से स्वतंत्र है, इसका प्रदर्शन 1963 में पॉल कोहेन ने किया था, जब उन्होंने इसके विपरीत दिखाया था कि CH स्वयं ZFC का एक प्रमेय नहीं है - फोर्सिंग (गणित) की (तत्कालीन-उपन्यास) विधि द्वारा।

अलेफ-ओमेगा

एलेफ़-ओमेगा है

$\aleph _{\omega }=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\in \omega \}=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\}~$

जहां सबसे छोटे अनंत क्रमसूचक को दर्शाया गया है ω. यानी कार्डिनल नंबर $\,\aleph _{\omega }\,$ की सबसे निचली ऊपरी सीमा है

$\left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}~.$

$\,\aleph _{\omega }$ पहली बेशुमार कार्डिनल संख्या है जिसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के भीतर प्रदर्शित किया जा सकता है जो सभी वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी के बराबर नहीं है; किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए हम लगातार यह मान सकते हैं $\,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,$ और इसके अलावा यह अनुमान लगाना भी संभव है $\,2^{\aleph _{0}}\,$ उतना बड़ा है जितना हम चाहें। हमें केवल इसे सह-अंतिमता वाले कुछ विशेष कार्डिनल्स पर सेट करने से बचने के लिए मजबूर किया जाता है $\,\aleph _{0}~,$ मतलब वहाँ से एक असीमित कार्य है $\,\aleph _{0}\,$ इसके लिए (ईस्टन का प्रमेय देखें)।

==सामान्य α== के लिए एलेफ-α परिभाषित करने के लिए $\,\aleph _{\alpha }\,$ मनमाना क्रमिक संख्या के लिए $\,\alpha ~,$ हमें उत्तराधिकारी कार्डिनल को परिभाषित करना होगा, जो किसी भी कार्डिनल नंबर को निर्दिष्ट करता है $\,\rho \,$ अगला बड़ा सुव्यवस्थित कार्डिनल $\,\rho ^{+}\,$ (यदि पसंद का सिद्धांत कायम रहता है, तो यह अगला बड़ा कार्डिनल है)।

फिर हम एलेफ़ संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

$\aleph _{0}=\omega$ :$\aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}~$ और के लिए λ, एक अनंत सीमा क्रमसूचक,

$\aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }~.$ α-वें अनंत प्रारंभिक क्रमसूचक लिखा गया है $\omega _{\alpha }$. इसकी प्रमुखता लिखी हुई है $\,\aleph _{\alpha }~.$ अनौपचारिक रूप से, एलेफ़ फ़ंक्शन $\,\aleph \,$ यह क्रमसूचकों से लेकर अनंत कार्डिनलों तक का आक्षेप है।

औपचारिक रूप से, ZFC में, $\,\aleph \,$ यह कोई फलन नहीं है, क्योंकि यह एक समुच्चय नहीं है (बुराली-फोर्टी विरोधाभास के कारण)।

ओमेगा के निश्चित बिंदु

किसी भी क्रमिक α के लिए हमारे पास है

$\alpha \leq \omega _{\alpha }~.$ कई मामलों में $\omega _{\alpha }$ से सख्ती से बड़ा है α. उदाहरण के लिए, किसी भी उत्तराधिकारी क्रमसूचक संख्या α के लिए यह मान्य है। हालाँकि, कुछ सीमा अध्यादेश हैं जो सामान्य कार्यों के लिए निश्चित-बिंदु लेम्मा के कारण ओमेगा फ़ंक्शन के निश्चित बिंदु (गणित) हैं। पहली ऐसी अनुक्रम की सीमा है

$\omega ,\,\omega _{\omega },\,\omega _{\omega _{\omega }},\,\ldots ~.$ कोई भी दुर्गम कार्डिनल भी एलेफ़ फ़ंक्शन का एक निश्चित बिंदु है। इसे ZFC में निम्नानुसार दिखाया जा सकता है। कल्पना करना $\,\kappa =\aleph _{\lambda }\,$ एक कमजोर रूप से दुर्गम कार्डिनल है। अगर $\lambda$ तब, वे एक उत्तराधिकारी अध्यादेश थे $\,\aleph _{\lambda }\,$ एक उत्तराधिकारी कार्डिनल होगा और इसलिए कमजोर रूप से दुर्गम नहीं होगा। अगर $\,\lambda \,$ एक सीमा क्रमसूचक से कम थे $\,\kappa ~,$ फिर इसकी सह-अंतिमता (और इस प्रकार इसकी सह-अंतिमता)। $\aleph _{\lambda }$) से कम होगा $\,\kappa \,$ इसलिए $\,\kappa \,$ नियमित नहीं होगा और इस प्रकार कमजोर रूप से दुर्गम नहीं होगा। इस प्रकार $\,\lambda \geq \kappa \,$ और इसके परिणामस्वरूप $\,\lambda =\kappa \,$ जो इसे एक निश्चित बिंदु बनाता है।

पसंद के स्वयंसिद्ध की भूमिका

किसी भी अनंत क्रमसूचक संख्या की कार्डिनैलिटी एक एलेफ़ संख्या होती है। प्रत्येक एलेफ किसी न किसी क्रमसूचक की प्रमुखता है। इनमें से सबसे छोटा इसका प्रारंभिक क्रम है। कोई भी सेट जिसकी कार्डिनैलिटी एक एलेफ़ है, एक ऑर्डिनल के साथ समतुल्य है और इस प्रकार सुव्यवस्थित है।

प्रत्येक परिमित सेट सुव्यवस्थित है, लेकिन इसकी प्रमुखता के रूप में कोई एलेफ़ नहीं है।

यह धारणा कि प्रत्येक अनंत सेट की कार्डिनैलिटी एक एलेफ़ संख्या है, प्रत्येक सेट के सुव्यवस्थित क्रम के अस्तित्व के लिए ZF के बराबर है, जो बदले में पसंद के सिद्धांत के बराबर है। ZFC सेट सिद्धांत, जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध शामिल है, का तात्पर्य है कि प्रत्येक अनंत सेट में इसकी कार्डिनैलिटी के रूप में एक एलेफ़ संख्या होती है (अर्थात यह अपने प्रारंभिक क्रमसूचक के साथ समतुल्य होती है), और इस प्रकार एलेफ़ संख्याओं के प्रारंभिक क्रमसूचक सभी के लिए प्रतिनिधियों के एक वर्ग के रूप में कार्य करते हैं संभावित अनंत कार्डिनल संख्याएँ।

जब ZF में कार्डिनैलिटी का अध्ययन पसंद के सिद्धांत के बिना किया जाता है, तो यह साबित करना संभव नहीं है कि प्रत्येक अनंत सेट में कार्डिनैलिटी के रूप में कुछ एलेफ़ संख्या होती है; वे सेट जिनकी कार्डिनैलिटी एक एलेफ़ संख्या है, वास्तव में अनंत सेट हैं जिन्हें सुव्यवस्थित किया जा सकता है। स्कॉट की चाल की विधि का उपयोग कभी-कभी ZF की सेटिंग में कार्डिनल संख्याओं के प्रतिनिधियों के निर्माण के वैकल्पिक तरीके के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है card(S) समान कार्डिनैलिटी वाले सेट का सेट होना S न्यूनतम संभव रैंक का. इसमें वो गुण है card(S) = card(T) अगर और केवल अगर S और T समान कार्डिनैलिटी है। (सेट card(S) की समान कार्डिनैलिटी नहीं है S सामान्य तौर पर, लेकिन इसके सभी तत्व ऐसा करते हैं।)

यह भी देखें

• बेथ संख्या
• जिमेल फ़ंक्शन
• नियमित कार्डिनल
• अनंत संख्या
• क्रमसूचक संख्या

बाहरी संबंध

• "Aleph-zero", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Aleph-0". MathWorld.