दुर्गम कार्डिनल

सेट सिद्धांत में, एक बेशुमार सेट कार्डिनल संख्या अप्राप्य है यदि इसे कार्डिनल अंकगणित के सामान्य संचालन द्वारा छोटे कार्डिनल्स से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, एक कार्डिनल κ दृढ़ता से अप्राप्य है यदि यह निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है: यह बेशुमार है, यह इससे कम का योग नहीं है κ कार्डिनल्स से छोटे κ, और $\alpha <\kappa$ तात्पर्य $2^{\alpha }<\kappa$.

दुर्गम कार्डिनल शब्द अस्पष्ट है। लगभग 1950 तक, इसका मतलब कमजोर रूप से दुर्गम कार्डिनल था, लेकिन तब से इसका मतलब आमतौर पर दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल है। एक नियमित कार्डिनल कमजोर रूप से दुर्गम है यदि यह कमजोर सीमा कार्डिनल कमजोर सीमा वाला कार्डिनल है। यदि यह एक नियमित मजबूत सीमा कार्डिनल है (यह ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर है) तो यह दृढ़ता से पहुंच योग्य नहीं है, या बस पहुंच योग्य नहीं है। कुछ लेखकों को कमजोर और दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स को बेशुमार होने की आवश्यकता नहीं है (जिस स्थिति में)। $\aleph _{0}$ अत्यंत दुर्गम है)। कमजोर रूप से दुर्गम कार्डिनल्स द्वारा पेश किया गया था Hausdorff (1908), और दृढ़ता से दुर्गम वाले Sierpiński & Tarski (1930) और Zermelo (1930), उत्तरार्द्ध में उन्हें साथ में संदर्भित किया गया था $\aleph _{0}$ सीमा संख्या के रूप में. प्रत्येक दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल भी कमजोर रूप से दुर्गम है, क्योंकि प्रत्येक मजबूत सीमा कार्डिनल भी एक कमजोर सीमा कार्डिनल है। यदि सातत्य परिकल्पना#सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना सही है, तो एक कार्डिनल दृढ़ता से दुर्गम है यदि और केवल यदि यह कमजोर रूप से दुर्गम है।

$\aleph _{0}$ (एलेफ़ संख्या|एलेफ़-नल) एक नियमित मजबूत सीमा कार्डिनल है। पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, प्रत्येक अन्य अनंत कार्डिनल संख्या नियमित या एक (कमजोर) सीमा है। हालाँकि, केवल एक बड़ी कार्डिनल संख्या ही दोनों हो सकती है और इस प्रकार कमजोर रूप से दुर्गम हो सकती है।

एक क्रमसूचक संख्या एक कमजोर रूप से दुर्गम कार्डिनल है यदि और केवल यदि यह एक नियमित क्रमसूचक है और यह नियमित क्रमसूचकों की एक सीमा है। (शून्य, एक, और ω नियमित ऑर्डिनल्स हैं, लेकिन नियमित ऑर्डिनल्स की सीमाएं नहीं हैं।) एक कार्डिनल जो कमजोर रूप से पहुंच योग्य नहीं है और एक मजबूत सीमा कार्डिनल भी दृढ़ता से पहुंच योग्य नहीं है।

अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व की धारणा को कभी-कभी इस धारणा के रूप में लागू किया जाता है कि कोई ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड के अंदर काम कर सकता है, दोनों विचार घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं।

मॉडल और स्थिरता

चॉइस (ZFC) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का तात्पर्य है कि $\kappa$वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का वां स्तर $V_{\kappa }$ जब भी ZFC का एक मॉडल सिद्धांत है $\kappa$ अत्यंत दुर्गम है. और ZF का तात्पर्य है कि गोडेल का रचनात्मक ब्रह्मांड|गोडेल ब्रह्मांड $L_{\kappa }$ जब भी ZFC का एक मॉडल है $\kappa$ कमजोर रूप से दुर्गम है. इस प्रकार, ZF के साथ एक कमजोर रूप से बड़ा कार्डिनल मौजूद है जिसका अर्थ है कि ZFC सुसंगत है। इसलिए, दुर्गम कार्डिनल एक प्रकार के बड़े कार्डिनल हैं।

अगर $V$ ZFC का एक मानक मॉडल है और $\kappa$ में एक दुर्गम है $V$, तब: $V_{\kappa }$ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के इच्छित मॉडलों में से एक है; और $Def(V_{\kappa })$ वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत के मेंडेलसन के संस्करण के इच्छित मॉडलों में से एक है जो वैश्विक पसंद को बाहर करता है, प्रतिस्थापन और सामान्य पसंद द्वारा आकार की सीमा को प्रतिस्थापित करता है; और $V_{\kappa +1}$ मोर्स-केली सेट सिद्धांत के इच्छित मॉडलों में से एक है। यहाँ $Def(X)$ Δ का समुच्चय है₀ एक्स के निश्चित उपसमुच्चय (निर्माण योग्य ब्रह्मांड देखें)। तथापि, $\kappa$ इसके लिए अप्राप्य, या यहां तक ​​कि एक कार्डिनल संख्या की भी आवश्यकता नहीं है $V$_$\kappa$ ZF का एक मानक मॉडल होना (देखें दुर्गम कार्डिनल#दुर्गमता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन)।

कल्पना करना $V$ ZFC का एक मॉडल है. या तो वी में कोई मजबूत दुर्गम या, लेना शामिल नहीं है $\kappa$ में सबसे छोटा मजबूत दुर्गम होना $V$, $V_{\kappa }$ ZFC का एक मानक मॉडल है जिसमें कोई मजबूत दुर्गमता नहीं है। इस प्रकार, ZFC की स्थिरता का तात्पर्य ZFC+ की स्थिरता से है, इसमें कोई मजबूत दुर्गमता नहीं है। इसी तरह, या तो V इसमें कोई कमजोर दुर्गम या, लेना शामिल नहीं है $\kappa$ सबसे छोटा क्रमसूचक होना जो किसी भी मानक उप-मॉडल के सापेक्ष कमजोर रूप से पहुंच योग्य नहीं है $V$, तब $L_{\kappa }$ ZFC का एक मानक मॉडल है जिसमें कोई भी कमजोर पहुंच योग्य वस्तु नहीं है। तो ZFC की स्थिरता का तात्पर्य ZFC+ की स्थिरता से है, कोई कमजोर दुर्गम नहीं है। इससे पता चलता है कि ZFC एक दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व को साबित नहीं कर सकता है, इसलिए ZFC किसी भी दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व के अनुरूप है।

यह मुद्दा अधिक सूक्ष्म है कि क्या ZFC एक दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व के अनुरूप है। पिछले पैराग्राफ में दर्शाया गया प्रमाण कि ZFC की संगति ZFC की संगति को दर्शाती है + कोई अप्राप्य कार्डिनल नहीं है जिसे ZFC में औपचारिक रूप दिया जा सकता है। हालाँकि, यह मानते हुए कि ZFC सुसंगत है, इस बात का कोई प्रमाण नहीं है कि ZFC की संगति ZFC की संगति को दर्शाती है + ZFC में एक दुर्गम कार्डिनल को औपचारिक रूप दिया जा सकता है। यह गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय से अनुसरण करता है, जो दर्शाता है कि यदि ZFC + में एक दुर्गम कार्डिनल सुसंगत है, तो यह अपनी स्वयं की स्थिरता साबित नहीं कर सकता है। क्योंकि ZFC + में एक दुर्गम कार्डिनल है जो ZFC की स्थिरता को साबित करता है, अगर ZFC ने साबित कर दिया कि उसकी अपनी स्थिरता ZFC + की स्थिरता को दर्शाती है तो यह बाद वाला सिद्धांत अपनी खुद की स्थिरता को साबित करने में सक्षम होगा, जो असंभव है यदि यह सुसंगत है.

दुर्गम कार्डिनल्स के अस्तित्व के लिए तर्क हैं जिन्हें ZFC में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है। ऐसा ही एक तर्क पेश किया है Hrbáček & Jech (1999, p. 279), यह है कि सेट सिद्धांत के एक विशेष मॉडल एम के सभी अध्यादेशों का वर्ग स्वयं एक दुर्गम कार्डिनल होगा यदि सेट सिद्धांत का एक बड़ा मॉडल एम का विस्तार करता है और एम के तत्वों के पावरसेट को संरक्षित करता है।

दुर्गमों के एक उचित वर्ग का अस्तित्व

सेट सिद्धांत में कई महत्वपूर्ण सिद्धांत हैं जो कार्डिनल्स के एक उचित वर्ग के अस्तित्व पर जोर देते हैं जो रुचि के विधेय को संतुष्ट करते हैं। दुर्गमता के मामले में, संबंधित स्वयंसिद्ध कथन यह है कि प्रत्येक कार्डिनल μ के लिए, एक दुर्गम कार्डिनल है κ जो सख्ती से बड़ा है, μ < κ. इस प्रकार, यह स्वयंसिद्ध दुर्गम कार्डिनलों के एक अनंत टावर के अस्तित्व की गारंटी देता है (और कभी-कभी इसे दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है)। जैसा कि किसी भी दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व के मामले में होता है, दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध ZFC के स्वयंसिद्धों से अप्रमाणित है। ZFC को मानते हुए, दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध ग्रोथेंडिक और जीन-लुई वर्डियर के ब्रह्मांड स्वयंसिद्ध के बराबर है: प्रत्येक सेट ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड में समाहित है। ब्रह्माण्ड स्वयंसिद्ध (या समतुल्य दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध) के साथ ZFC के स्वयंसिद्धों को ZFCU निरूपित किया जाता है (मूत्र तत्व के साथ ZFC के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)। यह स्वयंसिद्ध प्रणाली उदाहरण के लिए यह साबित करने के लिए उपयोगी है कि प्रत्येक श्रेणी (गणित) में एक उपयुक्त योनेडा एम्बेडिंग है।

यह एक अपेक्षाकृत कमजोर बड़ा कार्डिनल सिद्धांत है क्योंकि यह कहने के बराबर है कि ∞ अगले अनुभाग की भाषा में 1-पहुंच योग्य नहीं है, जहां ∞ सबसे कम क्रमसूचक को दर्शाता है जो वी में नहीं है, यानी आपके मॉडल में सभी अध्यादेशों का वर्ग।

α-दुर्गम कार्डिनल्स और अति-दुर्गम कार्डिनल्स

शब्द α-दुर्गम कार्डिनल अस्पष्ट है और विभिन्न लेखक असमान परिभाषाओं का उपयोग करते हैं। एक परिभाषा यह है एक कार्डिनल κ को किसी भी क्रमिक α के लिए α-दुर्गम कहा जाता है, यदि κ अप्राप्य है और प्रत्येक क्रमसूचक β < α के लिए, β-दुर्गम का सेट इससे कम है κ में असीमित है κ (और इस प्रकार कार्डिनैलिटी का κ, तब से κनियमित है)। इस मामले में 0-दुर्गम कार्डिनल दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल के समान हैं। एक अन्य संभावित परिभाषा यह है कि एक कार्डिनल κ को α कहा जाता है - कमजोर रूप से दुर्गम यदि κ नियमित है और प्रत्येक क्रमसूचक β < α के लिए, β-कमजोर दुर्गम का सेट इससे कम है κ κ में असीमित है। इस मामले में 0-कमजोर रूप से दुर्गम कार्डिनल नियमित कार्डिनल हैं और 1-कमजोर रूप से दुर्गम कार्डिनल कमजोर रूप से दुर्गम कार्डिनल हैं।

α-दुर्गम कार्डिनल्स को कार्यों के निश्चित बिंदुओं के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है जो निचले दुर्गमों की गिनती करते हैं। उदाहरण के लिए, ψ से निरूपित करें₀(λ) λ^वें दुर्गम कार्डिनल, फिर ψ के निश्चित बिंदु₀ 1-दुर्गम कार्डिनल हैं। फिर ψ देना_β(λ) λ हो^वें β-दुर्गम कार्डिनल, ψ के निश्चित बिंदु_β (β+1)-दुर्गम कार्डिनल (मान ψ) हैं_β+1(λ)). यदि α एक सीमा क्रमसूचक है, तो α-दुर्गम प्रत्येक ψ का एक निश्चित बिंदु है_β β < α के लिए (मान ψ_α(λ) λ है^वेंऐसे कार्डिनल). क्रमिक रूप से बड़े कार्डिनल्स उत्पन्न करने वाले कार्यों के निश्चित बिंदुओं को लेने की यह प्रक्रिया आमतौर पर बड़े कार्डिनल गुणों की सूची के अध्ययन में सामने आती है।

अति दुर्गम शब्द अस्पष्ट है और इसके कम से कम तीन असंगत अर्थ हैं। कई लेखक इसका उपयोग दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स (1-दुर्गम) की नियमित सीमा के लिए करते हैं। अन्य लेखक इसका प्रयोग इसी अर्थ में करते हैं κ है κ-दुर्गम. (यह कभी नहीं हो सकता κ+1-दुर्गम।) इसका उपयोग कभी-कभी कार्डिनल आँखें के लिए किया जाता है।

α-अति-दुर्गम शब्द भी अस्पष्ट है। कुछ लेखक इसका उपयोग α-दुर्गम के अर्थ में करते हैं। अन्य लेखक उस परिभाषा का उपयोग करते हैं किसी भी क्रमसूचक α के लिए, एक कार्डिनल κ α-अति दुर्गम है यदि और केवल यदि κ अति-दुर्गम है और प्रत्येक क्रमसूचक β < α के लिए, β-अति-दुर्गम का सेट इससे कम है κ में असीमित है κ.

हाइपर-हाइपर-दुर्गम कार्डिनल्स इत्यादि को समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, और हमेशा की तरह यह शब्द अस्पष्ट है।

दुर्गम के बजाय कमजोर रूप से दुर्गम का उपयोग करके, कमजोर α-दुर्गम, कमजोर रूप से अति-दुर्गम और कमजोर α-अति-दुर्गम के लिए समान परिभाषाएं बनाई जा सकती हैं।

महलो कार्डिनल्स दुर्गम, अति-दुर्गम, अति-अति-दुर्गम, ... इत्यादि हैं।

दुर्गमता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण

सबसे पहले, एक कार्डिनल κ अप्राप्य है यदि और केवल यदि κ में निम्नलिखित परावर्तन सिद्धांत गुण है: सभी उपसमुच्चय के लिए $U\subset V_{\kappa }$, वहां मौजूद $\alpha <\kappa$ ऐसा है कि $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ की एक प्राथमिक उपसंरचना है $(V_{\kappa },\in ,U)$. (वास्तव में, ऐसे α का सेट क्लब सेट है κ।) इसलिए, $\kappa$ है $\Pi _{n}^{0}$-सभी n ≥ 0 के लिए पूरी तरह से अवर्णनीय कार्डिनल।

यह ZF में सिद्ध है कि ∞ कुछ हद तक कमजोर प्रतिबिंब संपत्ति को संतुष्ट करता है, जहां उपसंरचना $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ सूत्रों के एक सीमित सेट के संबंध में केवल 'प्राथमिक' होना आवश्यक है। अंततः, इस कमजोर होने का कारण मॉडल-सैद्धांतिक संतुष्टि संबंध है ⊧ परिभाषित किया जा सकता है, शब्दार्थ सत्य ही (अर्थात $\vDash _{V}$) टार्स्की की अपरिभाष्यता प्रमेय|टार्स्की की प्रमेय के कारण नहीं हो सकता।

दूसरे, ZFC के तहत यह दिखाया जा सकता है $\kappa$ अप्राप्य है यदि और केवल यदि $(V_{\kappa },\in )$ द्वितीय क्रम तर्क ZFC का एक मॉडल है।

इस मामले में, उपरोक्त प्रतिबिंब संपत्ति द्वारा, अस्तित्व में है $\alpha <\kappa$ ऐसा है कि $(V_{\alpha },\in )$ (प्रथम क्रम तर्क) ZFC का एक मानक मॉडल है। इसलिए, एक दुर्गम कार्डिनल का अस्तित्व ZFC के एक संक्रमणीय मॉडल के अस्तित्व की तुलना में एक मजबूत परिकल्पना है।

की दुर्गमता $\kappa$ एक है $\Pi _{1}^{1}$ संपत्ति खत्म $V_{\kappa }$.

यह भी देखें

• सांसारिक कार्डिनल, एक कमजोर धारणा
• महलो कार्डिनल, एक मजबूत धारणा
• क्लब सेट
• आंतरिक मॉडल
• वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड
• रचनात्मक ब्रह्मांड

उद्धृत कार्य

• Drake, F. R. (1974), Set Theory: An Introduction to Large Cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 76, Elsevier Science, ISBN 0-444-10535-2
• Hausdorff, Felix (1908), "Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen", Mathematische Annalen, 65 (4): 435–505, doi:10.1007/BF01451165, hdl:10338.dmlcz/100813, ISSN 0025-5831, S2CID 119648544
• Hrbáček, Karel; Jech, Thomas (1999), Introduction to set theory (3rd ed.), New York: Dekker, ISBN 978-0-8247-7915-3
• Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
• Sierpiński, Wacław; Tarski, Alfred (1930), "Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300, doi:10.4064/fm-15-1-292-300, ISSN 0016-2736
• Zermelo, Ernst (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 16: 29–47, doi:10.4064/fm-16-1-29-47, ISSN 0016-2736. अंग्रेजी अनुवाद: Ewald, William B. (1996), "On boundary numbers and domains of sets: new investigations in the foundations of set theory", From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Oxford University Press, pp. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.

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