द्विआधारी संचालन

Not to be confused with Bitwise operation.

एक बाइनरी ऑपरेशन $\circ$ तर्कों के संयोजन के लिए एक नियम है $x$ और $y$ उत्पादन करना $x\circ y$

गणित में, एक द्विआधारी संचालन या डायडिक ऑपरेशन दो तत्व (गणित) (जिसे ऑपरेंड्स कहा जाता है) के संयोजन के लिए एक अन्य तत्व का उत्पादन करने के लिए एक नियम है।अधिक औपचारिक रूप से, एक बाइनरी ऑपरेशन एरिटी टू का एक ऑपरेशन (गणित) है।

अधिक विशेष रूप से, एक सेट (गणित) पर एक आंतरिक बाइनरी ऑपरेशन एक बाइनरी ऑपरेशन है जिसका एक फ़ंक्शन का डोमेन और संहितात्मक एक ही सेट हैं।उदाहरणों में जोड़, घटाव और गुणन के परिचित अंकगणितीय संचालन शामिल हैं।अन्य उदाहरण आसानी से गणित के विभिन्न क्षेत्रों में पाए जाते हैं, जैसे कि वेक्टर जोड़, मैट्रिक्स गुणा, और संयुग्मन (समूह सिद्धांत)।

Arity दो का एक संचालन जिसमें कई सेट शामिल होते हैं, को कभी -कभी बाइनरी ऑपरेशन 'भी कहा जाता है।उदाहरण के लिए, वेक्टर रिक्त स्थान का स्केलर गुणा एक वेक्टर का उत्पादन करने के लिए एक स्केलर और एक वेक्टर लेता है, और स्केलर उत्पाद एक स्केलर का उत्पादन करने के लिए दो वैक्टर लेता है।इस तरह के द्विआधारी संचालन को केवल बाइनरी फ़ंक्शन कहा जा सकता है।

बाइनरी ऑपरेशंस अधिकांश बीजीय संरचनाओं के कीस्टोन हैं जो बीजगणित में अध्ययन किए जाते हैं, विशेष रूप से सेमिग्रुप्स, मोनोइड्स, ग्रुप (गणित), रिंग (बीजगणित), फील्ड (गणित), और सदिश स्थल में।

शब्दावली

अधिक सटीक रूप से, एक सेट (गणित) पर एक बाइनरी ऑपरेशन $S$ कार्टेशियन उत्पाद के तत्वों का एक नक्शा (गणित) है $S\times S$ को $S$:

$\,f\colon S\times S\rightarrow S.$

क्योंकि तत्वों की एक जोड़ी पर ऑपरेशन करने का परिणाम $S$ फिर से एक तत्व है $S$, ऑपरेशन को बंद (या आंतरिक) बाइनरी ऑपरेशन कहा जाता है $S$ (या कभी -कभी बंद (गणित) की संपत्ति के रूप में व्यक्त किया जाता है)। यदि $f$ एक फ़ंक्शन (गणित) नहीं है, लेकिन एक आंशिक कार्य है, फिर $f$ आंशिक बाइनरी ऑपरेशन कहा जाता है।उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का विभाजन एक आंशिक बाइनरी ऑपरेशन है, क्योंकि कोई शून्य से विभाजन नहीं कर सकता है: ${\frac {a}{0}}$ हर वास्तविक संख्या के लिए अपरिभाषित है $a$।सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत दोनों में, द्विआधारी संचालन को सभी तत्वों पर परिभाषित करना आवश्यक है $S\times S$।

कभी -कभी, विशेष रूप से कंप्यूटर विज्ञान में, बाइनरी ऑपरेशन शब्द का उपयोग किसी भी बाइनरी फ़ंक्शन के लिए किया जाता है।

गुण और उदाहरण

बाइनरी संचालन के विशिष्ट उदाहरण इसके अलावा हैं ($+$) और गुणा ($\times$) संख्या और मैट्रिक्स (गणित) के साथ -साथ एक ही सेट पर कार्यों की संरचना। उदाहरण के लिए,

• वास्तविक संख्याओं के सेट पर $\mathbb {R}$, $f(a,b)=a+b$ एक द्विआधारी ऑपरेशन है क्योंकि दो वास्तविक संख्याओं का योग एक वास्तविक संख्या है।
• प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर $\mathbb {N}$, $f(a,b)=a+b$ एक द्विआधारी ऑपरेशन है क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग एक प्राकृतिक संख्या है।यह पिछले एक की तुलना में एक अलग बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि सेट अलग हैं।
• मंच पर $M(2,\mathbb {R} )$ का $2\times 2$ वास्तविक प्रविष्टियों के साथ मैट्रिस, $f(A,B)=A+B$ एक द्विआधारी ऑपरेशन है क्योंकि दो ऐसे मैट्रिस का योग एक है $2\times 2$ आव्यूह।

* मंच पर $M(2,\mathbb {R} )$ का $2\times 2$ वास्तविक प्रविष्टियों के साथ मैट्रिस, $f(A,B)=AB$ एक द्विआधारी ऑपरेशन है क्योंकि दो ऐसे मैट्रिस का उत्पाद एक है $2\times 2$ आव्यूह।

• किसी दिए गए सेट के लिए $C$, होने देना $S$ सभी कार्यों का सेट हो $h\colon C\rightarrow C$।परिभाषित करना $f\colon S\times S\rightarrow S$ द्वारा $f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))$ सभी के लिए $c\in C$, दो कार्यों की रचना $h_{1}$ और $h_{2}$ में $S$।फिर $f$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो कार्यों की संरचना फिर से सेट पर एक फ़ंक्शन है $C$ (अर्थात्, एक सदस्य $S$)।

बीजगणित और औपचारिक तर्क दोनों में रुचि के कई द्विआधारी संचालन विनिमेय, संतोषजनक हैं $f(a,b)=f(b,a)$ सभी तत्वों के लिए $a$ और $b$ में $S$, या साहचर्य, संतोषजनक $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$ सभी के लिए $a$, $b$, और $c$ में $S$।कई में पहचान तत्व और उलटा तत्व भी हैं।

उपरोक्त पहले तीन उदाहरण कम्यूटेटिव हैं और उपरोक्त सभी उदाहरण साहचर्य हैं।

वास्तविक संख्याओं के सेट पर $\mathbb {R}$, घटाव, अर्थात्, $f(a,b)=a-b$, एक बाइनरी ऑपरेशन है जो सामान्य रूप से, कम्यूटेटिव नहीं है, $a-b\neq b-a$।यह भी साहचर्य नहीं है, चूंकि, सामान्य रूप से, $a-(b-c)\neq (a-b)-c$;उदाहरण के लिए, $1-(2-3)=2$ लेकिन $(1-2)-3=-4$।

प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर $\mathbb {N}$, बाइनरी ऑपरेशन घातांक, $f(a,b)=a^{b}$, तब से कम्यूटेटिव नहीं है, $a^{b}\neq b^{a}$ (cf. समीकरण x^y = y^x | समीकरण x

और

= और^x ), और तब से साहचर्य भी नहीं है $f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))$।उदाहरण के लिए, के साथ $a=2$, $b=3$, और $c=2$, $f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64$, लेकिन $f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512$।सेट को बदलकर $\mathbb {N}$ पूर्णांक के सेट पर $\mathbb {Z}$, यह बाइनरी ऑपरेशन एक आंशिक बाइनरी ऑपरेशन बन जाता है क्योंकि यह अब अपरिभाषित है $a=0$ और $b$ कोई नकारात्मक पूर्णांक है।या तो सेट के लिए, इस ऑपरेशन की एक सही पहचान है (जो है $1$) जबसे $f(a,1)=a$ सभी के लिए $a$ सेट में, जो कि एक पहचान (दो पक्षीय पहचान) नहीं है $f(1,b)\neq b$ सामान्य रूप में।

विभाजन (गणित)$\div$), वास्तविक या तर्कसंगत संख्याओं के सेट पर एक आंशिक बाइनरी ऑपरेशन, कम्यूटेटिव या सहयोगी नहीं है।टेट्रेशन ($\uparrow \uparrow$), प्राकृतिक संख्याओं पर एक बाइनरी ऑपरेशन के रूप में, कम्यूटेटिव या सहयोगी नहीं है और इसकी कोई पहचान तत्व नहीं है।

संकेतन

बाइनरी ऑपरेशन अक्सर इन्फिक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखे जाते हैं जैसे $a\ast b$, $a+b$, $a\cdot b$ या (बिना किसी प्रतीक के साथ Juxtaposition#गणित द्वारा) $ab$ फार्म के कार्यात्मक अंकन के बजाय $f(a,b)$।शक्तियां आमतौर पर ऑपरेटर के बिना भी लिखी जाती हैं, लेकिन ऊपर की ओर लिखा हुआ के रूप में दूसरे तर्क के साथ।

बाइनरी ऑपरेशंस को कभी -कभी उपसर्ग या (अधिक बार) पोस्टफिक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखा जाता है, दोनों कोष्ठक के साथ डिस्पेंस होते हैं।उन्हें क्रमशः, पोलिश अंकन और रिवर्स पोलिश नोटेशन भी कहा जाता है।

द्विआधारी संचालन टर्नरी संबंध के रूप में

एक बाइनरी ऑपरेशन $f$ एक सेट पर $S$ पर एक टर्नरी संबंध के रूप में देखा जा सकता है $S$, वह है, ट्रिपल्स का सेट $(a,b,f(a,b))$ में $S\times S\times S$ सबके लिए $a$ और $b$ में $S$।

बाहरी द्विआधारी संचालन

एक बाहरी बाइनरी ऑपरेशन एक द्विआधारी फ़ंक्शन है $K\times S$ को $S$।यह उस अर्थ में एक सेट पर एक बाइनरी ऑपरेशन से भिन्न होता है $K$ जरूरत नहीं है $S$;इसके तत्व बाहर से आते हैं।

एक बाहरी बाइनरी ऑपरेशन का एक उदाहरण रैखिक बीजगणित में स्केलर गुणा है।यहां $K$ एक क्षेत्र (गणित) है और $S$ उस क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान है।

कुछ बाहरी द्विआधारी संचालन को वैकल्पिक रूप से एक समूह कार्रवाई (गणित) के रूप में देखा जा सकता है $K$ पर $S$।इसमें एक साहचर्य गुणन के अस्तित्व की आवश्यकता होती है $K$, और फॉर्म की एक संगतता नियम $a(bs)=(ab)s$, कहाँ $a,b\in K$ और $s\in S$ (यहां, बाहरी ऑपरेशन और गुणन दोनों में $K$ juxtaposition द्वारा निरूपित किया जाता है)।

दो वैक्टर के नक्शे का डॉट उत्पाद $S\times S$ को $K$, कहाँ $K$ एक क्षेत्र है और $S$ एक वेक्टर स्थान है $K$।यह लेखकों पर निर्भर करता है कि क्या इसे बाइनरी ऑपरेशन माना जाता है।

यह भी देखें

• श्रेणी: बाइनरी संचालन के गुण

• पुनरावृत्त अविभाज्य संचालन
• प्रचालक (प्रोग्रामिंग)
• टर्नरी ऑपरेशन
• सत्य तालिका#बाइनरी संचालन
• Unary ऑपरेशन
• मैग्मा (बीजगणित), द्विआधारी संचालन से लैस एक सेट।

टिप्पणियाँ

संदर्भ

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd ed.), Boston: Allyn and Bacon

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Binary Operation". MathWorld.