समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभास

इस लेख में सेट सिद्धांत के [[विरोधाभास]]ों की चर्चा है। अधिकांश गणितीय विरोधाभासों की तरह, वे आम तौर पर आधुनिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के भीतर वास्तविक तार्किक विरोधाभासों के बजाय आश्चर्यजनक और प्रति-सहज ज्ञान युक्त गणितीय परिणाम प्रकट करते हैं।

मूल बातें

कार्डिनल संख्या

जॉर्ज कैंटर द्वारा परिकल्पित समुच्चय सिद्धांत अनंत समुच्चयों के अस्तित्व को मानता है। चूंकि इस धारणा को पहले सिद्धांतों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे अनंत के स्वयंसिद्ध द्वारा स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में पेश किया गया है, जो प्राकृतिक संख्याओं के सेट एन के अस्तित्व पर जोर देता है। प्रत्येक अनंत समुच्चय जिसकी गणना प्राकृतिक संख्याओं द्वारा की जा सकती है, उसका आकार (कार्डिनैलिटी) N के समान है, और उसे गणनीय कहा जाता है। गणनीय अनंत समुच्चयों के उदाहरण प्राकृतिक संख्याएँ, सम संख्याएँ, अभाज्य संख्याएँ और सभी परिमेय संख्याएँ, अर्थात् भिन्न हैं। इन सेटों में कार्डिनल संख्या समान है |N| = $\aleph _{0}$ (एलेफ़-नॉट), प्रत्येक प्राकृतिक संख्या से बड़ी संख्या।

कार्डिनल संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है। समान आकार वाले दो सेटों को इस प्रकार परिभाषित करें: दो सेटों के बीच एक आक्षेप मौजूद है (तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार)। फिर एक कार्डिनल संख्या, परिभाषा के अनुसार, एक वर्ग है जिसमें समान आकार के सभी सेट शामिल होते हैं। समान आकार होना एक तुल्यता संबंध है, और कार्डिनल संख्याएं तुल्यता वर्ग हैं।

क्रमवाचक संख्या

कार्डिनलिटी के अलावा, जो एक सेट के आकार का वर्णन करता है, ऑर्डर किए गए सेट भी सेट सिद्धांत का एक विषय बनाते हैं। पसंद का सिद्धांत यह गारंटी देता है कि प्रत्येक सेट को अच्छी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि उसके तत्वों पर कुल ऑर्डर लगाया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में उस ऑर्डर के संबंध में पहला तत्व होता है। एक सुव्यवस्थित सेट का क्रम एक क्रमिक संख्या द्वारा वर्णित किया गया है। उदाहरण के लिए, 3 सामान्य क्रम 0 < 1 < 2 के साथ सेट {0, 1, 2} की क्रमिक संख्या है; और ω सामान्य तरीके से क्रमित सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट की क्रमिक संख्या है। आदेश की उपेक्षा करते हुए, हमारे पास क्रमसूचक संख्या |N| रह जाता है =||ω| =$\aleph _{0}$.

क्रमसूचक संख्याओं को उसी विधि से परिभाषित किया जा सकता है जिसका उपयोग कार्डिनल संख्याओं के लिए किया जाता है। समान ऑर्डर प्रकार वाले दो सुव्यवस्थित सेटों को परिभाषित करें: ऑर्डर का सम्मान करते हुए दो सेटों के बीच एक आपत्ति मौजूद है: छोटे तत्वों को छोटे तत्वों में मैप किया जाता है। फिर एक क्रमसूचक संख्या, परिभाषा के अनुसार, एक वर्ग है जिसमें समान क्रम प्रकार के सभी सुव्यवस्थित सेट शामिल होते हैं। समान क्रम प्रकार का होना सुव्यवस्थित सेटों के वर्ग पर एक समतुल्य संबंध है, और क्रमिक संख्याएं समतुल्य वर्ग हैं।

समान ऑर्डर प्रकार के दो सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है। अनंत सेटों के लिए इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है: प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर अलग-अलग सुव्यवस्थित आदेश लागू करना संभव है जो विभिन्न क्रमिक संख्याओं को जन्म देते हैं।

क्रमसूचकों पर एक प्राकृतिक क्रम है, जो स्वयं एक सुव्यवस्थित क्रम है। किसी भी क्रमसूचक α को देखते हुए, कोई α से कम के सभी क्रमसूचकों के समुच्चय पर विचार कर सकता है। इस सेट में क्रमसूचक संख्या α है। इस अवलोकन का उपयोग ऑर्डिनल्स को प्रस्तुत करने के एक अलग तरीके के लिए किया जाता है, जिसमें एक ऑर्डिनल को सभी छोटे ऑर्डिनल्स के सेट के साथ बराबर किया जाता है। इस प्रकार क्रमसूचक संख्या का यह रूप तुल्यता वर्ग के पहले के रूप का एक विहित प्रतिनिधि है।

सत्ता स्थापित

किसी समुच्चय S के सभी उपसमुच्चय (इसके तत्वों के सभी संभावित विकल्प) बनाकर, हम शक्ति समुच्चय P(S) प्राप्त करते हैं। जॉर्ज कैंटर ने साबित किया कि पावर सबसेट हमेशा सेट से बड़ा होता है, यानी, |P(S)| > |एस|. कैंटर के प्रमेय का एक विशेष मामला साबित करता है कि सभी वास्तविक संख्याओं के सेट 'आर' की गणना प्राकृतिक संख्याओं द्वारा नहीं की जा सकती है। 'R' बेशुमार है: |'R'| > |'एन'|

अनंत समुच्चय के विरोधाभास

अस्पष्ट विवरणों पर भरोसा करने के बजाय, जैसे कि जिसे बढ़ाया नहीं जा सकता या बिना सीमा के बढ़ाया जा सकता है, सेट सिद्धांत वाक्यांशों को एक स्पष्ट अर्थ देने के लिए अनंत सेट शब्द की परिभाषा प्रदान करता है जैसे कि सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट अनंत है। परिमित सेटों की तरह, सिद्धांत आगे की परिभाषाएँ बनाता है जो हमें लगातार दो अनंत सेटों की तुलना करने की अनुमति देता है कि क्या एक सेट इससे बड़ा है, इससे छोटा है, या दूसरे के समान आकार का है। लेकिन परिमित सेटों के आकार के बारे में प्रत्येक अंतर्ज्ञान अनंत सेटों के आकार पर लागू नहीं होता है, जिससे गणना, आकार, माप और क्रम के संबंध में विभिन्न स्पष्ट रूप से विरोधाभासी परिणाम सामने आते हैं।

गणना के विरोधाभास

सेट सिद्धांत पेश किए जाने से पहले, सेट के आकार की धारणा समस्याग्रस्त थी। इस पर गैलीलियो गैलीली और बर्नार्ड बोलजानो सहित अन्य लोगों ने चर्चा की थी। क्या गणना की विधि से मापने पर उतनी ही प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं जितनी प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग होते हैं?

• इसका उत्तर हाँ है, क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए एक वर्ग संख्या n होती है², और इसी तरह दूसरे तरीके से भी।
• उत्तर नहीं है, क्योंकि वर्ग प्राकृतिक संख्याओं का उचित उपसमुच्चय हैं: प्रत्येक वर्ग एक प्राकृतिक संख्या है, लेकिन 2 जैसी प्राकृतिक संख्याएँ भी हैं, जो प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग नहीं हैं।

किसी सेट के आकार की धारणा को उसकी प्रमुखता के संदर्भ में परिभाषित करके, समस्या का समाधान किया जा सकता है। चूँकि इसमें शामिल दो सेटों के बीच एक आपत्ति है, यह वास्तव में सीधे सेट की कार्डिनैलिटी की परिभाषा से अनुसरण करता है।

गणना के विरोधाभासों पर अधिक जानकारी के लिए ग्रैंड होटल का हिल्बर्ट विरोधाभास देखें।

मैं तुम्हें जानता हूँ, लेकिन मुझे कोई समस्या नहीं है

मैं इसे देखता हूं लेकिन मुझे विश्वास नहीं होता, कैंटर ने यह साबित करने के बाद रिचर्ड डेडेकाइंड को लिखा कि एक वर्ग के बिंदुओं के सेट में वही कार्डिनैलिटी होती है जो कि वर्ग के सिर्फ एक किनारे पर मौजूद बिंदुओं में होती है: सातत्य की कार्डिनैलिटी।

यह दर्शाता है कि केवल कार्डिनैलिटी द्वारा परिभाषित सेट का आकार ही सेट की तुलना करने का एकमात्र उपयोगी तरीका नहीं है। माप सिद्धांत आकार का एक अधिक सूक्ष्म सिद्धांत प्रदान करता है जो हमारे अंतर्ज्ञान के अनुरूप है कि लंबाई और क्षेत्र आकार के असंगत उपाय हैं।

साक्ष्य दृढ़ता से सुझाव देते हैं कि कैंटर स्वयं परिणाम में काफी आश्वस्त थे और डेडेकाइंड की उनकी टिप्पणी इसके प्रमाण की वैधता के बारे में उनकी तत्कालीन चिंताओं के बजाय संदर्भित करती है। फिर भी, कैंटर की टिप्पणी इस आश्चर्य को व्यक्त करने के लिए भी अच्छी तरह से काम करेगी कि उनके बाद के कई गणितज्ञों ने पहली बार एक ऐसे परिणाम का अनुभव किया है जो इतना उल्टा है।

सुव्यवस्थितता का विरोधाभास

1904 में अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने पसंद के सिद्धांत (जो इस कारण से पेश किया गया था) के माध्यम से साबित किया कि हर सेट को अच्छी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है। 1963 में पॉल जे. कोहेन ने दिखाया कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में पसंद के सिद्धांत के बिना वास्तविक संख्याओं के सुव्यवस्थित क्रम के अस्तित्व को साबित करना संभव नहीं है।

हालाँकि, किसी भी सेट को अच्छी तरह से व्यवस्थित करने की क्षमता कुछ निर्माणों को निष्पादित करने की अनुमति देती है जिन्हें विरोधाभासी कहा गया है। एक उदाहरण बानाच-टार्स्की विरोधाभास है, एक प्रमेय जिसे व्यापक रूप से गैर-सहज ज्ञान युक्त माना जाता है। इसमें कहा गया है कि एक निश्चित त्रिज्या की एक गेंद को सीमित संख्या में टुकड़ों में विघटित करना और फिर एक मूल प्रति से दो प्रतियां प्राप्त करने के लिए सामान्य यूक्लिडियन समूह (बिना स्केलिंग के) द्वारा उन टुकड़ों को स्थानांतरित करना और फिर से जोड़ना संभव है। इन टुकड़ों के निर्माण के लिए पसंद के सिद्धांत की आवश्यकता होती है; टुकड़े गेंद के साधारण क्षेत्र नहीं हैं, बल्कि गैर-मापने योग्य सेट हैं।

सुपरटास्क के विरोधाभास

Main article: Supertask

समुच्चय सिद्धांत में, एक अनंत समुच्चय को किसी गणितीय प्रक्रिया द्वारा निर्मित नहीं माना जाता है जैसे कि एक तत्व को जोड़ना जिसे फिर अनंत बार किया जाता है। इसके बजाय, एक विशेष अनंत सेट (जैसे कि सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट) को फिएट द्वारा, एक धारणा या एक स्वयंसिद्ध के रूप में पहले से ही मौजूद माना जाता है। इस अनंत समुच्चय को देखते हुए, तार्किक परिणाम के रूप में, अन्य अनंत समुच्चय भी अस्तित्व में साबित होते हैं। लेकिन किसी भौतिक क्रिया पर विचार करना अभी भी एक स्वाभाविक दार्शनिक प्रश्न है जो वास्तव में अनंत संख्या में अलग-अलग चरणों के बाद पूरा होता है; और सेट सिद्धांत का उपयोग करके इस प्रश्न की व्याख्या सुपरटास्क के विरोधाभासों को जन्म देती है।

ट्रिस्ट्राम शैंडी की डायरी

लारेंस स्टर्न के एक उपन्यास के नायक ट्रिस्ट्राम शैंडी अपनी आत्मकथा इतनी कर्तव्यनिष्ठा से लिखते हैं कि एक दिन की घटनाओं को रेखांकित करने में उन्हें एक वर्ष लग जाता है। यदि वह नश्वर है तो वह कभी समाप्त नहीं हो सकता; लेकिन अगर वह हमेशा के लिए जीवित रहे तो उनकी डायरी का कोई भी हिस्सा अलिखित नहीं रहेगा, क्योंकि उनके जीवन के प्रत्येक दिन के साथ उस दिन के विवरण के लिए समर्पित एक वर्ष मेल खाएगा।

रॉस-लिटलवुड विरोधाभास

Main article: Ross–Littlewood paradox

इस प्रकार के विरोधाभास का एक बढ़ा हुआ संस्करण असीम रूप से दूरस्थ समापन को एक सीमित समय में स्थानांतरित कर देता है। एक विशाल भण्डार में संख्या 1 से 10 तक की गिनती वाली गेंदों को भरें और गेंद संख्या 1 को उतार लें। सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए बॉल नंबर n = 3, 4, 5, .... पहले लेनदेन को आधे घंटे तक चलने दें, दूसरे लेनदेन को सवा घंटे तक चलने दें, और इसी तरह, ताकि सभी लेनदेन एक घंटे के बाद समाप्त हो जाएं . जाहिर है जलाशय में गेंदों का सेट बिना किसी सीमा के बढ़ता है। फिर भी, एक घंटे के बाद जलाशय खाली हो जाता है क्योंकि प्रत्येक गेंद को निकालने का समय ज्ञात होता है।

निष्कासन अनुक्रम के महत्व से विरोधाभास और भी बढ़ जाता है। यदि गेंदों को क्रम 1, 2, 3, ... में नहीं, बल्कि क्रम 1, 11, 21, ... में हटाया जाता है, तो एक घंटे के बाद अनंत रूप से कई गेंदें भंडार में भर जाती हैं, हालांकि सामग्री की मात्रा पहले जितनी ही होती है। स्थानांतरित कर दिया गया.

प्रमाण और निश्चितता के विरोधाभास

अनंत समुच्चयों से संबंधित प्रश्नों को हल करने में इसकी सभी उपयोगिता के बावजूद, अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत में कुछ घातक खामियाँ हैं। विशेष रूप से, यह तार्किक विरोधाभासों का शिकार है जैसे कि रसेल के विरोधाभास द्वारा उजागर किया गया है। इन विरोधाभासों की खोज से पता चला कि सभी सेट जिन्हें अनुभवहीन सेट सिद्धांत की भाषा में वर्णित किया जा सकता है, उन्हें वास्तव में विरोधाभास पैदा किए बिना अस्तित्व में नहीं कहा जा सकता है। 20वीं सदी में आज आम उपयोग में आने वाले सेट सिद्धांतों जैसे कि ZFC और वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत के विभिन्न सिद्धांतों के विकास में इन विरोधाभासों का समाधान देखा गया। हालाँकि, इन सिद्धांतों की बहुत औपचारिक और प्रतीकात्मक भाषा (गणित) और गणितीय भाषा के हमारे विशिष्ट अनौपचारिक उपयोग के बीच का अंतर विभिन्न विरोधाभासी स्थितियों के साथ-साथ दार्शनिक प्रश्न भी पैदा करता है कि ऐसी औपचारिक प्रणालियाँ वास्तव में क्या प्रस्तावित करती हैं। के बारे में बातें कर रहे हैं।

प्रारंभिक विरोधाभास: सभी सेटों का सेट

Main article: Russell's paradox

1897 में इतालवी गणितज्ञ सेसारे बुराली-फोर्टी ने पाया कि सभी क्रमिक संख्याओं वाला कोई सेट नहीं है। चूँकि प्रत्येक क्रमसूचक संख्या को छोटे क्रमसूचक संख्याओं के एक सेट द्वारा परिभाषित किया जाता है, सभी क्रमसूचक संख्याओं का सुव्यवस्थित सेट Ω (यदि यह मौजूद है) परिभाषा में फिट बैठता है और स्वयं एक क्रमसूचक है। दूसरी ओर, कोई भी क्रमसूचक संख्या स्वयं को समाहित नहीं कर सकती, इसलिए Ω एक क्रमसूचक नहीं हो सकता। इसलिए, सभी क्रमसूचक संख्याओं का समुच्चय मौजूद नहीं हो सकता।

19वीं शताब्दी के अंत तक कैंटर को सभी कार्डिनल संख्याओं के सेट और सभी क्रमिक संख्याओं के सेट के अस्तित्व के बारे में पता चल गया था। डेविड हिल्बर्ट और रिचर्ड डेडेकाइंड को लिखे पत्रों में उन्होंने असंगत सेटों के बारे में लिखा, जिनके तत्वों को एक साथ होने के बारे में नहीं सोचा जा सकता है, और उन्होंने इस परिणाम का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि प्रत्येक सुसंगत सेट में एक कार्डिनल संख्या होती है।

इस सब के बाद, 1903 में बर्ट्रेंड रसेल द्वारा कल्पना किए गए सभी सेट विरोधाभासों के सेट के संस्करण ने सेट सिद्धांत में एक गंभीर संकट पैदा कर दिया। रसेल ने माना कि कथन x = x प्रत्येक सेट के लिए सत्य है, और इस प्रकार सभी सेटों का सेट {x | द्वारा परिभाषित किया गया है एक्स = एक्स}. 1906 में उन्होंने कई विरोधाभास सेटों का निर्माण किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध उन सभी सेटों का सेट है जिनमें स्वयं शामिल नहीं हैं। रसेल ने स्वयं इस अमूर्त विचार को कुछ अत्यंत ठोस चित्रों के माध्यम से समझाया। एक उदाहरण, जिसे नाई विरोधाभास के रूप में जाना जाता है, कहता है: वह पुरुष नाई जो केवल और केवल उन पुरुषों की हजामत बनाता है जो स्वयं हजामत नहीं बनाते हैं, उन्हें स्वयं ही हजामत बनानी होती है यदि वह स्वयं हजामत नहीं बनाते हैं।

सेट सिद्धांत में रसेल के विरोधाभास और ग्रीलिंग-नेल्सन विरोधाभास के बीच घनिष्ठ समानताएं हैं, जो प्राकृतिक भाषा में विरोधाभास को प्रदर्शित करता है।

भाषा परिवर्तन से विरोधाभास

कोनिग का विरोधाभास

1905 में, हंगेरियन गणितज्ञ जूलियस कोनिग ने इस तथ्य पर आधारित एक विरोधाभास प्रकाशित किया कि केवल गिनती की कई सीमित परिभाषाएँ हैं। यदि हम वास्तविक संख्याओं को एक सुव्यवस्थित समुच्चय के रूप में कल्पना करें, तो वे वास्तविक संख्याएँ जिन्हें परिमित रूप से परिभाषित किया जा सकता है, एक उपसमुच्चय बनाती हैं। इसलिए इस सुव्यवस्थित क्रम में एक पहली वास्तविक संख्या होनी चाहिए जो निश्चित रूप से निश्चित न हो। यह विरोधाभासी है, क्योंकि इस वास्तविक संख्या को अंतिम वाक्य द्वारा ही सीमित रूप से परिभाषित किया गया है। इससे अनुभवहीन सेट सिद्धांत में विरोधाभास पैदा होता है।

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में इस विरोधाभास से बचा जाता है। यद्यपि किसी समुच्चय के बारे में एक प्रस्ताव को एक समुच्चय के रूप में प्रस्तुत करना संभव है, कोड की एक प्रणाली द्वारा जिसे गोडेल संख्याएँ कहा जाता है, इसका कोई सूत्र नहीं है $\varphi (a,x)$ समुच्चय सिद्धांत की भाषा में जो सटीक रूप से कब लागू होता है $a$ एक सेट के बारे में एक सीमित प्रस्ताव के लिए एक कोड है, $x$ एक सेट है, और $a$ के लिए रखता है $x$. इस परिणाम को टार्स्की की अनिश्चितता प्रमेय के रूप में जाना जाता है; यह औपचारिक प्रणालियों की एक विस्तृत श्रेणी पर लागू होता है जिसमें सेट सिद्धांत के सभी सामान्य रूप से अध्ययन किए गए स्वयंसिद्धीकरण शामिल हैं।

रिचर्ड का विरोधाभास

Main article: Richard's paradox

उसी वर्ष फ्रांसीसी गणितज्ञ जूल्स रिचर्ड (गणितज्ञ) ने नैवे सेट सिद्धांत में एक और विरोधाभास प्राप्त करने के लिए कैंटर के विकर्ण तर्क के एक प्रकार का उपयोग किया|कैंटर की विकर्ण विधि। शब्दों के सभी परिमित समूहों के समुच्चय A पर विचार करें। वास्तविक संख्याओं की सभी परिमित परिभाषाओं का समुच्चय E, A का उपसमुच्चय है। जैसे A गणनीय है, वैसे ही E भी है। मान लीजिए कि p, समुच्चय E द्वारा परिभाषित nवीं वास्तविक संख्या का nवां दशमलव है; हम एक संख्या N बनाते हैं जिसमें अभिन्न भाग के लिए शून्य होता है और nवें दशमलव के लिए p + 1 होता है यदि p या तो 8 या 9 के बराबर नहीं है, और यदि p 8 या 9 के बराबर है तो एकता है। यह संख्या N सेट द्वारा परिभाषित नहीं है E क्योंकि यह किसी भी परिमित रूप से परिभाषित वास्तविक संख्या से भिन्न है, अर्थात् nवीं संख्या से nवें अंक तक। लेकिन इस अनुच्छेद में N को सीमित संख्या में शब्दों द्वारा परिभाषित किया गया है। इसलिए इसे समुच्चय E में होना चाहिए। यह एक विरोधाभास है।

कोनिग के विरोधाभास की तरह, इस विरोधाभास को स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता क्योंकि इसके लिए यह बताने की क्षमता की आवश्यकता होती है कि क्या कोई विवरण किसी विशेष सेट पर लागू होता है (या, समकक्ष रूप से, यह बताने के लिए कि क्या कोई सूत्र वास्तव में एकल सेट की परिभाषा है)।

लोवेनहेम और स्कोलेम का विरोधाभास

Main article: Skolem's paradox

जर्मन गणितज्ञ लियोपोल्ड लोवेनहेम (1915) के काम के आधार पर नॉर्वेजियन तर्कशास्त्री थोरल्फ़ स्कोलेम ने 1922 में दिखाया कि प्रथम-क्रम विधेय कलन के प्रत्येक सुसंगत सिद्धांत, जैसे कि सेट सिद्धांत, में अधिकतम गणनीय मॉडल सिद्धांत होता है। हालाँकि, कैंटर का प्रमेय साबित करता है कि अनगिनत सेट हैं। इस प्रतीत होने वाले विरोधाभास की जड़ यह है कि किसी सेट की गणनीयता या गैरगणनीयता हमेशा निरपेक्षता (गणितीय तर्क) नहीं होती है, लेकिन उस मॉडल पर निर्भर हो सकती है जिसमें कार्डिनैलिटी मापी जाती है। यह संभव है कि सेट सिद्धांत के एक मॉडल में एक सेट बेशुमार हो लेकिन एक बड़े मॉडल में गणनीय हो (क्योंकि गणनीयता स्थापित करने वाले अनुमान बड़े मॉडल में हैं लेकिन छोटे मॉडल में नहीं)।

यह भी देखें

• असंभवता का प्रमाण
• बेरी विरोधाभास

संदर्भ

• G. Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, E. Zermelo (Ed.), Olms, Hildesheim 1966.
• H. Meschkowski, W. Nilson: Georg Cantor - Briefe, Springer, Berlin 1991.
• A. Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre, Springer, Berlin 1923.
• A. A. Fraenkel, A. Levy: Abstract Set Theory, North Holland, Amsterdam 1976.
• F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre, Chelsea, New York 1965.
• B. Russell: The principles of mathematics I, Cambridge 1903.
• B. Russell: On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types, Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1907) 29-53.
• P. J. Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis, Benjamin, New York 1966.
• S. Wagon: The Banach–Tarski Paradox, Cambridge University Press, Cambridge 1985.
• A. N. Whitehead, B. Russell: Principia Mathematica I, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1910, p. 64.
• E. Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung, Math. Ann. 65 (1908) p. 107-128.

बाहरी संबंध

• Principia Mathematica
• Definability paradoxes by Timothy Gowers
• "Russell's Paradox". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• "Russell-Myhill Paradox". Internet Encyclopedia of Philosophy.